2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ ‎ ‎ 数学试题（理工农医类）‎ ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一．选择题 ‎1．已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】的共轭复数，则，对应点的坐标为，故答案为D．‎ ‎2．已知集合,,则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，或3．因此是充分不必要条件．‎ ‎3．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 的顶点坐标为，渐近线为，即．带入点到直线距离公式=．‎ ‎4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）‎ A．588 B．480 C．450 D．120‎ - 14 -‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道 故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．‎ ‎5．满足，且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）‎ A．14 B．13 C．12 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程有实数解，分析讨论 ‎①当时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时可以取4个值．故有4种有序数对 ‎②当时，需要，即．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．‎ 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．‎ ‎6．阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）‎ A．计算数列的前10项和 B．计算数列的前9项和 C．计算数列的前10项和 D．计算数列的前9项和 ‎【答案】C ‎【解析】第一循环：，第二条：第三条：‎ - 14 -‎ ‎ ‎ ‎…．．第九循环：．第十循环：，输出S．‎ 根据选项，，故为数列的前10项和．故答案A．‎ ‎7．在四边形ABCD中，，，则四边形的面积为（ ）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C ‎8．设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）‎ A． B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A．，错误．是的极大值点，并不是最大值点．‎ B．是的极小值点．错误．相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点 C．是的极小值点．错误．相当于关于x轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系．‎ D．是的极小值点．正确．相当于先关于y轴的对象，再关于x轴的对称图像．故D正确 ‎9．已知等比数列的公比为q，记 则以下结论一定正确的是（ ）‎ A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等比数列，公比为 - 14 -‎ ‎ ‎ C．数列为等比数列，公比为 D．数列为等比数列，公比为 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】等比数列的公比为q, 同理可得,数列为等比数列，故选C ‎10．设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：对任意当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】根据题意可知，令，则A选项正确；‎ 令，则B选项正确；‎ 令，则C选项正确；故答案为D．‎ 二．填空题 ‎11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则时间“”发生的概率为________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】产生0~1之间的均匀随机数 ‎12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________‎ - 14 -‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，‎ ‎13．如图中，已知点D在BC边上，ADAC，则的长为_______________ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 根据余弦定理可得 ‎14．椭圆的左．右焦点分别为，焦距为2c，若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由直线方程直线与x轴的夹角，且过点即由椭圆的第一定义可得 ‎15．当时，有如下表达式:‎ - 14 -‎ ‎ ‎ 两边同时积分得：‎ 从而得到如下等式： ‎ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由 两边同时积分得：‎ 从而得到如下等式：‎ 三．解答题 ‎16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；‎ ‎（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？‎ ‎ 本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能 ‎ 力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．‎ 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分”的事件为A，则A事件的对立事件为“”， ‎ ‎，‎ 这两人的累计得分的概率为．‎ ‎（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为，都选择方案乙抽奖中奖的次数为 - 14 -‎ ‎ ‎ ‎，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 由已知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．‎ ‎17．（本小题满分13分）已知函数 ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ 本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．‎ 解：函数的定义域为，．‎ ‎（Ⅰ）当时，，，‎ ‎，‎ 在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）由可知：‎ ‎①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；‎ ‎②当时，由，解得；‎ 时，，时，‎ - 14 -‎ ‎ ‎ 在处取得极小值，且极小值为，无极大值．‎ 综上：当时，函数无极值 当时，函数在处取得极小值，无极大值．‎ ‎18．（本小题满分13分）如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结，过做轴的垂线与交于点．‎ ‎（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线的方程；‎ ‎（2）过点做直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积比为，求直线的方程．‎ 本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）依题意，过且与x轴垂直的直线方程为 ‎，直线的方程为 设坐标为，由得：，即，‎ 都在同一条抛物线上，且抛物线方程为 ‎（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为 由得 此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点 设：，则 又，‎ - 14 -‎ ‎ ‎ 分别带入，解得 直线的方程为，即或 ‎19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱，，，，，，．‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；‎ ‎（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）‎ 本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分．‎ 解：（Ⅰ）取中点，连接 ‎， ‎ 四边形为平行四边形 且 在中，‎ ‎,即，又，所以 平面，平面 - 14 -‎ ‎ ‎ ‎，又，‎ 平面 ‎（Ⅱ）以为原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，‎ 所以，，‎ 设平面的法向量，则由 得取，得 设与平面所成角为，则 ‎，解得．故所求的值为1‎ ‎（Ⅲ）共有种不同的方案 ‎20．（本小题满分14分）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．‎ ‎（1）求函数与的解析式；‎ ‎（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；‎ ‎ 若不存在，说明理由．‎ ‎（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．‎ 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．‎ - 14 -‎ ‎ ‎ 函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分．‎ 解：（Ⅰ）由函数的周期为，，得 又曲线的一个对称中心为，‎ 故，得，所以 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ‎（Ⅱ）当时，，‎ 所以 问题转化为方程在内是否有解 设，‎ 则 因为，所以，在内单调递增 又，‎ 且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，‎ 即存在唯一的满足题意 ‎（Ⅲ）依题意，，令 当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，‎ 现研究时方程解的情况 令，‎ 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 - 14 -‎ ‎ ‎ ‎，令，得或 当变化时，和变化情况如下表 当且趋近于时，趋向于 当且趋近于时，趋向于 当且趋近于时，趋向于 当且趋近于时，趋向于 故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；‎ 当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；‎ 当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点 由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以 综上，当，时，函数在内恰有个零点 ‎21．（本题满分14分）‎ ‎（1）（本小题满分7分）矩阵与变换 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若点在直线上，且，求点的坐标．‎ - 14 -‎ ‎ ‎ 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：解：（Ⅰ）设直线上任意一点在矩阵对应的变换作用下的像是 由，得 又点在上，所以，即 依题意，解得 ‎（Ⅱ）由，得解得 又点在直线上，所以 故点的坐标为 ‎（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎（1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）圆c的参数方程为，（为参数），试判断直线与圆的位置关系．‎ 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．‎ 解：（Ⅰ）由点在直线上，可得 所以直线的方程可化为 从而直线的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）由已知得圆的直角坐标方程为 所以圆心为，半径 以为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交 - 14 -‎ ‎ ‎ ‎（3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式的解集为，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小值．‎ 本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．‎ 解：（Ⅰ）因为，且，所以，且 解得，又因为，所以 ‎（Ⅱ）因为 当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为 。‎ ‎ ‎ - 14 -‎ ‎ ‎