高考数学专题复习练习第八章 第四节 圆的方程
第八章 第四节 圆的方程
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
圆的方程求法
1
4、5、6、9
10、12
与圆有关的最值问题
2、3
8
与圆有关的轨迹问题
7
11
一、选择题
1．(2009·永州模拟)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是 ( )
A.
1 C．m< D．m>1
解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0知m＜或m＞1.
答案：B
2．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．10 B．20 C．30 D．40
解析：圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝52，由题意得|AC|＝2×5＝10，|BD|＝2
＝4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝×10×4＝20.
答案：B
3．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为 ( )
A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(1，－1)
解析：方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－，因为r2＝1－≤1，所以当k＝0时，r最大，圆的面积最大，此时圆心为(0，－1)．
答案：C
4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，∴该直线恒过点(－1,2)，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
答案：C
5．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 ( )
A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0
C．x2＋y2＋10x＋16＝0 D．x2＋y2＋10x＋9＝0
解析：右焦点(5,0)，渐近线y＝±，
∴r＝4.
答案：A
6．圆心在抛物线x2＝2y(x＜0)上，并且与抛物线的准线及y轴相切的圆的方程为 ( )
A．(x－1)2＋(y－)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－)2＝ D．(x－1)2＋(y＋)2＝
解析：准线方程为y＝－，设P(t，t2)为圆心且t＜0，
∴－t＝|t2＋|⇒t＝－1.
答案：B
二、填空题
7．已知＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O为坐标原点，向量满足＋＝0，则动点Q的轨迹方程是__________．
解析：设Q(x，y)，
由＋＝(2＋2cosα＋x,2＋2sinα＋y)＝0，
∴
∴(x＋2)2＋(y＋2)2＝4.
答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
8．若实数x、y满足(x－2)2＋y2＝3，则的最大值为______．
解析：＝，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．
设＝k，则kx－y＝0.由＝，得k＝±，
故( )max＝，( )min＝－.
答案：
9．求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为__________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，
∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D，
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，
∴圆在y轴的截距之和为y1＋y2＝－E，
由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
∴D＋E＝－2. ①
又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，
∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ②
1＋9－D＋3E＋F＝0， ③
由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为：x2＋y2－2x－12＝0.
答案：x2＋y2－2x－12＝0
三、解答题
10．已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程．
解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.
故2|b|＝r，得r2＝2b2，
又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得
r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1.
又因为P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，
得d＝＝，
即有a－2b＝±1，
综前述得或
解得或于是r2＝2b2＝2.
所求圆的方程是：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，
或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
11.如图，已知点A(-1,0)与点B(1,0)，C是圆x2+y2=1上的动点，连结BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，故连接AD.
由A(-1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)，
由重心坐标公式：
则代入x2＋y2＝1，整理得
所求轨迹方程为(x＋)2＋y2＝(y≠0)．
12．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．
(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且只有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.
又∵动圆过点(－5,0)，故(－5－a)2＋(0－b)2＝25.
解方程组
可得或
故所求的圆C方程为
(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.
当r满足r＋5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2＋y2＝r2相切的圆；
当r满足r＋5＝d，即r＝5－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；当r满足r＋5＞d，与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有两个．
综上：r＝5－5时，动圆C中满足与圆
O：x2＋y2＝r2相外切的圆有一个．
