高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-4古典概型、几何概型练习理北师大版

高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-4古典概型、几何概型练习理北师大版

‎12.4 古典概型、几何概型 核心考点·精准研析 考点一　古典概型 ‎ ‎1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率. 【解析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为.‎ ‎2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},　{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},‎ ‎{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 所以,事件M发生的概率为P(M)=.‎ ‎1.求古典概型概率的步骤 ‎(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;‎ - 10 -‎ ‎(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;‎ ‎(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.‎ ‎2.求基本事件个数的三种方法 ‎(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.‎ ‎(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.‎ ‎(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.‎ 考点二　几何概型 ‎ ‎【典例】‎ ‎1.在区间[-4,1]上随机地取一个实数x,若x满足|x|0),若01,则P(A)==,解得a=3,符合题意.‎ ‎2.选A.设正方形ABCD的边长为1,则可求得S总=3,阴影部分为两个对称的三角形,又∠EAB=∠AGB,所以sin∠AGB==,S阴影=2×××1×=1,所以所求概率为P=.‎ ‎3.选C.设球O的半径为R,球O的内接正四面体的棱长为a,所以正四面体的高为a,所以R2=+,即a=2R,所以正四面体的棱长为,底面面积为××R=R2,高为,所以正四面体的体积为R3,又球O的体积为R3,所以P点在球O的内接正四面体中的概率为.‎ ‎1.与长度等有关的几何概型题目的解法 ‎ 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度、弧长、角度等表示,则把题中所表示的几何模型化为长度、弧长、角度等,然后代入概率的计算公式求解.‎ ‎2.与面积有关的几何概型题目的解法 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.‎ ‎3.与体积有关的几何概型题目的解法 - 10 -‎ 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积以及事件的体积,对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.‎ ‎1.折扇由扇骨和扇面组成,初名腰扇,滥觞于汉末,曾是王公大人的宠物.到了明清时期在折扇扇面上题诗赋词作画,成为当时的一种时尚,并一直流行至今.现有一位折扇爱好者准备在如图的扇面上作画,由于突然停电,不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域,则墨汁恰好落入扇面的概率约为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.由题得,扇面的面积为S1=··182-··62=96π,‎ 扇子的面积为S2=··182=108π,‎ 则墨汁恰好落入扇面的概率P==.‎ ‎2. (2019·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽的弦图.弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实=弦2,化简得:勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶,若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约 为 (　　)‎ A.866 B.500 C.300 D.134‎ - 10 -‎ ‎【解析】选D.设勾为a,则股为a,所以弦为2a,小正方形的边长为a-a,所以题图中大正方形的面积为4a2,小正方形的面积为(-1)2a2,所以小正方形与大正方形的面积比为=1-,所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.‎ ‎3.在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD -A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为　　　　　. ‎ ‎【解析】正方体的体积为2×2×2=8,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3=×π×13=π,则点P到点O的距离大于1的概率为:1-=1-.‎ 答案:1-‎ 考点三　古典概型与几何概型的综合问题 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查数学文化背景下的古典概型与几何概型问题 ‎(2)考查与实际生活有关的概率问题 ‎2.怎么考:以数学文化或实际生活为载体考查概率问题 ‎3.新趋势:考查与向量、线性规划、函数等知识交汇的概率问题 学 霸 好 方 法 ‎1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法:‎ 充分读取题目信息,恰当转化为古典概型、几何概型问题,代入概率公式求解.‎ ‎2.考查与向量、线性规划、函数等知识交汇的概率问题:‎ 脱去向量、线性规划、函数的“外衣”,构造概率模型求解.‎ 与数学文化有关的古典概型、几何概型问题 - 10 -‎ ‎【典例】1.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2018·全国卷I)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 ‎ A.p1=p2 B.p1=p3‎ C.p2=p3 D.p1=p2+p3‎ ‎【解析】1.选D.记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d,则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd,共6种,符合条件的情况为ab共1种,故概率为.‎ ‎2.选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=2,‎ 所以区域Ⅰ的面积为SⅠ=×2×2=2,区域Ⅲ的面积为SⅢ=·π()2-2=π-2,区域Ⅱ的面积为SⅡ=π·12-SⅢ=2,故p1=p2.‎ 方法二:设AC=b,AB=c,BC=a,则有b2+c2=a2,‎ 从而可以求得△ABC的面积为SⅠ=bc,‎ 黑色部分的面积为SⅡ=·+·-=+bc ‎=·+bc=bc,‎ - 10 -‎ 其余部分的面积为SⅢ=·-bc=-bc,‎ 所以有SⅠ=SⅡ,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p1=p2.‎ 如何解决与数学文化有关的古典概型、几何概型问题?‎ 提示:读取数学文化背景下的题目信息,构建出古典概型、几何概型的数学模型,然后利用概率公式求解.‎ 与函数、向量、线性规划等知识交汇的古典概型、几何概型问题 ‎【典例】1.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. ‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值.‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ ‎【解析】1.选A.由-1≤lo≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.‎ ‎2.(1)X的所有可能取值为-2 ,-1,0, 1. ‎ ‎(2)数量积为-2的只有·一种;‎ 数量积为-1的有·,·,·,·,·,·六种;‎ 数量积为0的有·,·,·,‎ - 10 -‎ ‎·四种;‎ 数量积为1的有·,·,·,‎ ‎·四种,‎ 所以所有可能的情况共有15种.‎ 所以小波去下棋的概率为p1=.‎ 因为去唱歌的概率为p2=,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-=.‎ 与实际生活有关的古典概型、几何概型问题 ‎【典例】1.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”,刘徽称之为“以盈补虚”,即以多余补不足,是数量的平均思想在几何上的体现.如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法.△ABC内任取一点,则该点落在标记“盈”的区域的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,向正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】1.选C.由题得S△ABC=ah,S矩形=h,所以S△ABC=S矩形.‎ - 10 -‎ 所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.‎ 而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一,‎ 所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一,‎ 故该点落在标记“盈”的区域的概率为.‎ ‎2.选B.向正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率P==,即=,‎ 解得S阴影=.‎ 如何解决与实际生活有关的古典概型、几何概型问题?‎ 提示:把实际生活中的语言转化为概率问题下的数学语言,正确解读题目中的已知与未知信息,设置变量,构成概率问题,然后求解.‎ ‎1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 (　　)‎ A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1‎ ‎【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.‎ ‎【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),　(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.‎ ‎2.现在某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为　　　　　　　. ‎ ‎【解析】因为正整数m的选取有1,2,3,4,5,6,7,共7种情况,而对于m的每一种取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9种方法,所以基本事件空间中有7×9=63个元素,其中事件“m,n都取到奇数”包含的基本事件数为4×5=20,所以所求的概率为.‎ - 10 -‎ 答案:‎ ‎1.若a,b∈{-1,0,1,2},则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为　　　　　　　. ‎ ‎【解析】要使方程有实数解,则a=0或 所有可能的结果为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),　(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个,其中符合要求的有13个,‎ 故所求概率P=.‎ 答案:‎ ‎2.甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.‎ ‎(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.‎ ‎(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.‎ ‎【解析】(1)设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.又甲、乙两人取出的数字共有6×6=36种等可能的结果,故P(A)=.‎ ‎(2)这种游戏规则是公平的.‎ 设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),　(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.所以甲赢的概率P(B)==,故乙赢的概率P(C)=1-==P(B),所以这种游戏规则是公平的. ‎ - 10 -‎