2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练62 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课时分层训练(六十二) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(对应学生用书第323页)
A组 基础达标
一、选择题
1．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为( )
A．20 B．25
C．32 D．60
C [依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.]
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16
C．13 D．10
C [分两类情况：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )
A．50个 B．45个
C．36个 D．35个
C
[由题意知，十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．]
4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
D [以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
所以所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个．]
5．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有( )
【导学号：79140339】
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
B [依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2,2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15(个)．]
6．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1
a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为( )
A．240 B．204
C．729 D．920
A [若a2＝2，则凸数为120与121，共1×2＝2个．若a2＝3，则凸数有2×3＝6个．若a2＝4，则凸数有3×4＝12个，…，若a2＝9，则凸数有8×9＝72个．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．]
7．如图1014是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有( )
图1014
A．24种 B．72种
C．84种 D．120种
C [如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A→B→C→D顺序涂色，
下面分两种情况：
(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(种)不同的涂法．
(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(种)不同的涂法．故共有48＋36＝84(种)不同的涂色方法．故选C.]
二、填空题
8．有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
120 [每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120种．]
9．从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是________．
18 [从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法．故奇数的个数为3×3×2＝18.]
10．在连接正八边形的顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个.
【导学号：79140340】
40 [分两类：①有一条公共边的三角形共有8×4＝32个；②有两条公共边的三角形共有8个．故共有32＋8＝40个．]
B组 能力提升
11．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个 B．34个
C．36个 D．38个
A [将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个．]
12．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
B [当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．]
13.一个旅游景区的游览线路如图1015所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )
图1015
A．6种
B．8种
C．12种
D．48种
D [从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法；同理，若先游览B景点，有16种不同的方法；若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48(种)．]
14．(2018·重庆调研(二))从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中任取6个不同的数，则这6个数的中位数恰好是的概率为( )
A. B.
C. D.
D [从10个数中任取6个不同的数的取法有C＝210种，其中中位数是的取法要分两类：一类以5,6为中间两个数，取法共有CC＝30种；另一类以4,7为中间两个数，取法共有CC＝6种，则所求概率为＝，故选D.]
15．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝25，则符合条件的三角形共有________个．
325 [根据三角形的三边关系可知，c<25＋a.
第一类，当a＝1，b＝25时，c可取25，共1个；
第二类，当a＝2，b＝25时，c可取25,26，共2个；…
当a＝25，b＝25时，c可取25,26，…，49，共25个．
所以符合条件的三角形的个数为1＋2＋…＋25＝325.]
16．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
【导学号：79140341】
(1)90 (2)9×10n [(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．
(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，由分步计数原理，共有9×10n种填法．]
