2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练62 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练62 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时分层训练(六十二) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎(对应学生用书第323页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为(  )‎ A.20    B.25‎ C.32 D.60‎ C [依据题意知,后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为25=32.]‎ ‎2.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为(  )‎ A.40 B.16‎ C.13 D.10‎ C [分两类情况:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.]‎ ‎3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有(  )‎ A.50个 B.45个 C.36个 D.35个 C ‎ ‎[由题意知,十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,共8类,在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.]‎ ‎4.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为(  )‎ A.3 B.4‎ C.6 D.8‎ D [以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.‎ 以4为首项的等比数列为4,6,9.‎ 把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,‎ 所以所求的数列共有2(2+1+1)=8个.]‎ ‎5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有(  )‎ ‎【导学号:79140339】‎ A.18个 B.15个 C.12个 D.9个 B [依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031;由2,2、0组成3个数分别为220、202、022;由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计:3+6+3+3=15(个).]‎ ‎6.如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为(  )‎ A.240 B.204‎ C.729 D.920‎ A [若a2=2,则凸数为120与121,共1×2=2个.若a2=3,则凸数有2×3=6个.若a2=4,则凸数有3×4=12个,…,若a2=9,则凸数有8×9=72个.所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240个.]‎ ‎7.如图1014是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法有(  )‎ 图1014‎ A.24种 B.72种 C.84种 D.120种 C [如图,设四个直角三角形顺次为A,B,C,D,按A→B→C→D顺序涂色,‎ 下面分两种情况:‎ ‎(1)A,C不同色(注意:B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色):有4×3×2×2=48(种)不同的涂法.‎ ‎(2)A,C同色(注意:B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色):有4×3×1×3=36(种)不同的涂法.故共有48+36=84(种)不同的涂色方法.故选C.]‎ 二、填空题 ‎8.有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.‎ ‎120 [每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120种.]‎ ‎9.从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数,其中奇数的个数是________.‎ ‎18 [从1,3中取一个排个位,故排个位有2种方法;排百位不能是0,可以从另外3个数中取一个,有3种方法;排十位有3种方法.故奇数的个数为3×3×2=18.]‎ ‎10.在连接正八边形的顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个. ‎ ‎【导学号:79140340】‎ ‎40 [分两类:①有一条公共边的三角形共有8×4=32个;②有两条公共边的三角形共有8个.故共有32+8=40个.]‎ B组 能力提升 ‎11.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有(  )‎ A.32个 B.34个 C.36个 D.38个 A [将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C=2种,共有2×2×2×2×2=32个.]‎ ‎12.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(  )‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 B [当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2A个偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有CA个偶数.故符合条件的偶数共有2A+CA=120(个).]‎ ‎13.一个旅游景区的游览线路如图1015所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有(  )‎ 图1015‎ A.6种 B.8种 C.12种 D.48种 D [从P点处进入结点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口),若先游览完A景点,再进入另外两个景点,最后从Q点处出有(4+4)×2=16种不同的方法;同理,若先游览B景点,有16种不同的方法;若先游览C景点,有16种不同的方法,因而所求的不同游览线路有3×16=48(种).]‎ ‎14.(2018·重庆调研(二))从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中任取6个不同的数,则这6个数的中位数恰好是的概率为(  )‎ A. B. C. D. D [从10个数中任取6个不同的数的取法有C=210种,其中中位数是的取法要分两类:一类以5,6为中间两个数,取法共有CC=30种;另一类以4,7为中间两个数,取法共有CC=6种,则所求概率为=,故选D.]‎ ‎15.已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=25,则符合条件的三角形共有________个.‎ ‎325 [根据三角形的三边关系可知,c<25+a.‎ 第一类,当a=1,b=25时,c可取25,共1个;‎ 第二类,当a=2,b=25时,c可取25,26,共2个;…‎ 当a=25,b=25时,c可取25,26,…,49,共25个.‎ 所以符合条件的三角形的个数为1+2+…+25=325.]‎ ‎16.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则 ‎(1)4位回文数有________个;‎ ‎(2)2n+1(n∈N+)位回文数有________个. ‎ ‎【导学号:79140341】‎ ‎(1)90 (2)9×10n [(1)4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法;中间两位一样,有10种填法,共计9×10=90种填法,即4位回文数有90个.‎ ‎(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格,由分步计数原理,共有9×10n种填法.]‎
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