高考数学(理)一轮复习人教A版-第五章 平面向量-第五章 第3节平面向量的数量积及其应用

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高考数学(理)一轮复习人教A版-第五章 平面向量-第五章 第3节平面向量的数量积及其应用

第3节 平面向量的数量积及其应用 最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;2.了解平面向量 的数量积与向量投影的关系;3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向 量数量积的运算;4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断 两个平面向量的垂直关系;5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问 题;6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 1.平面向量数量积的有关概念 知 识 梳 理 |a||b|cos θ |b|cos θ 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). [常用结论与微点提醒] 1.两个向量a,b的夹角为锐角 ⇔ a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为 钝角 ⇔ a·b<0且a,b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 3.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a·b=a·c(a≠0)不能得出b=c,两边 不能约去同一个向量. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 诊 断 自 测 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0,π]. (4)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a,b〉=|a||c|·cos〈a,c〉,所以向量b 和c不一定相等. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2, 则|3a+b|等于(  ) 答案 D 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直, 则m=________. 解析 由题意得a+b=(m-1,3), 因为a+b与a垂直,所以(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得m =7. 答案 7 4.(必修4P104例1改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b 在向量a方向上的投影为________. 解析 由数量积的定义知,b在a方向上的投影为 |b|cos θ=4×cos 120°=-2. 答案 -2 考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用 解析 (1)依题意,F是△ABC的重心, (2)如图,以B为坐标原点,BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐 标系, 设|AD|=a(a>0),则|BC|=2a,又S△ABD=1, 规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的 坐标运算;利用数量积的几何意义. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运 算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角 的关系是相等还是互补. 考点二 平面向量的夹角与垂直 解析 (1)由题意,得-2×3+3m=0,∴m=2. (3)∵2a-3b与c的夹角为钝角,∴(2a-3b)·c<0, 即(2k-3,-6)·(2,1)<0,解得k<3. 【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a,b满足|a|=2|b|=2, 且(a+3b)⊥(a-b),则a,b夹角的余弦值为________. (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2, 则m=________. 解析 (1)∵|a|=2|b|=2,且(a+3b)⊥(a-b), ∴(a+3b)·(a-b)=0,即a2+2a·b-3b2=0, (2)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a⊥b,所以m×1+1×2=0,得m=-2. 考点三 平面向量的模及其应用 解析 (1)由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=9+2×2×2cos 120°+2×2×1×cos 120°+2×2×1×cos 120°=9-4-2-2=1, 则|a+b+c|=1. 答案 (1)1 (2)5
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