第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型

1 第二章 控制系统的数学模型 本章难点及基本要求 ： 能利用学过的各方面知识建立简单数学模型。 熟练运用方框图变换化简方法获得系统的传递函数（ 这是本章的重点 ） 本章主要介绍 4 种数学模型：微分方程、传递函数、结构图、 信号流图 以及相关的一些知识。这是控制系统分析的基础。 2 在生产实际中的自动控制系统的种类很多，有机械的、生物的、电器的、社会经济的等，对于一个具体的自动控制系统来说，我们最关心的是该系统最终是否能为我们服务，也就是说我们关心的是对某自动控制系统给一个输入信号后，它的输出将如何变化，能不能达到我们的要求。这是我们设计控制系统最为关心的事情 。 为此我们要对系统进行分析 何谓系统分析？ 在分析控制系统时已知系统的输入，来研究系统的输出将如何变化，称为系统分析 。 3 设计和分析任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法 建模方法： 解析法 ： 根据所遵循的物理、化学、生物等规律 列写系统的运动 方程。 实验法 ： 通过实验的方法，由系统对输入信号响 应，确定系统的运动方程 。 总结： 前种方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而后种适用于复杂，非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效 . 5 一、列写运动方程的步骤 用解析法建立运动方程的步骤是： 1 ）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量； 2 ）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。 3 ）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准 方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列；③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。 6 线性系统的特点 线性微分方程有一定标准解法； 适用叠加原理 工程控制中，大多数系统都可以忽略一些因素看作为线性系统。 经典控制理论主要研究的线性定常系统 7 2-1 控制系统微分方程的建立 基本步骤： 分析各元件工作原理 , 明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程 8 列写微分方程的一般方法 例 2-1. 列写如图所示 RC 网络的微分方程 。 R C u r u c i 解：由基尔霍夫定律得 : 式中 : i 为流经电阻 R 和电容 C 的电流 , 消去中间变 量 i, 可得 : 令 （时间常数），则微分方程为： 例 2-2 ， RLC 无源网络 解： 根据电路理论中的基尔霍夫定律，可得 例 2-3. 设有一弹簧 -- 质量 -- 阻尼动力系统如图所示，当外力 F(t ) 作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力 F(t ) 与质量块的位移 y(t ) 之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为 k ，阻尼器的阻尼系数为 f ，质量块的质量为 M 。 13 解： 分析质量块 m 受力，有 外力 F, 弹簧恢复力 Ky （ t ） 阻尼力 惯性力 根据牛顿第二定律 式中： F i 是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。 将各力代入上等式，则得 式中： y——m 的位移（ m ）； f—— 阻尼系数（ N/ m/s ); K —— 弹簧刚度（ N/m) 。 将（ 2-4 ）式的微分方程标准化 T 称为时间常数， 为阻尼比。显然， 上式描述了 M － K － f 系统的动态，它是一个二阶线性定常微分方程。 令 ， 即 ， 则 可写成 16 例 3 液面控制系统，这里我们主要研究进水量 Q 1 与液面高度 H 的变化关系 , 即 Q 1 位输入量， H 为输出量。其它量均为中间变量 给定输入 Q1 干扰输入 Q2 液面 H S — 水箱底面积 解 ：若研究 Q 1 变化后，液面高度 H 的变化规律，我们知道水是不可压缩，根据质量守恒定律 （ 1 ） 式中： --- 为中间变量， 为流量系数 将（ 1 ）式整理得： 将 代入上式 得： 很显然这是一非线性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统 例 2-4 ： 直流电机转速开环控制系统 ua Ed La Ra ia La— 电枢绕组的电感 Ra— 电枢绕组的电阻 Ia — 电枢电流 Ed— 电枢转动时，在电枢绕组上产生的反电势 将以上系统用方框图描述 直流电动机开环 速度控制系统 给定输入 Ua 系统输出 n 干扰输入 Mc 解： 根据刚体旋转运动定律 （ 1 ） 式中： --- 电机的转动惯量 -- 电磁力矩； ； 电磁力矩常数 由（ 1 ）式整理，得 得： --- 中间变量 又由克希夫电压平衡定律 （ 2 ） 又 反电势常数 联立（ 1 ），（ 2 ）式消除中间变量，得系统的数学模型 式中： 讨论： 当系统负载不变时，改变输入电压，观察电机转速变化情况 当输入电压不变时，改变负载，观察电机转速变化情况 当输入电压和负载同时变化时，观察电机转速变化情况 22 例 5 直流电机转速闭环控制系统 解：解此题我们首先绘制出系统的方框图 u b 电压 放大 功率 放大 电机 测速发电机 u b u e u i u a n u f - Mc 从系统方框图中可见，系统有两个输入量 U b ,Mc ，系统的输出为电机的转速 n 逐个写出个环节的微分方程 比较环节 放大环节 控制对象 — 电机（例 3 ） ， 测速发电机 联立以上四个方程，消除中间变量，得 系统可简化为： 电动机 Ub Mc n 25 2 － 2 微分方程的线性化 在实际工程中，构成系统的都具有不同程度的非线性，如下图所示 一、小偏差线性化的基本概念 于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化很有必要。 对弱非线性的线性化 如上图（ a ），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（ b ）和（ c ），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。 平衡位置附近的小偏差线性化 输入和输出关系为如下所示的非线性 27 在平衡点 A （ x 0 ， y 0 ）处，当系统受到干扰， y 只在 A 附近变化，则可对 A 处的输出 — 输入关系函数进行泰勒展开，由数学关系可知，当 很小时，可用 A 处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差 线性化 。 可得 ，简记为 y= kx 。 若非线性函数由两个自变量，如 z ＝ f （ x,y ），则在平衡点处可展成（忽略高次项） 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（ d ）所示的非线性为强非线性， 只能采用第七章的非线性理论来分析。 对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。 29 叠加原理 叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。 例： 设线性微分方程式为 若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 ＋ 时，必存在解为 ，即为可叠加性。 30 上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是 叠加原理 。 若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。 二、微分方程的增量化描述 以电机转速闭环控制系统为例 电压 放大 功率 放大 电机 测速发电机 u b u e u i u a n u f - Mc 系统的微分方程为 可见系统有两个输入量 { U b -- 系统的给定输入 Mc -- 系统的干扰输入 要想知道 U b ， Mc 变化时，输出量 n 的具体变化情况，就要解上述微分方程，我们知道解二阶微分方程需要两个初始条件，才能确定积分常数。 即 时， 对于转速控制系统来说，有两种情况是我们关心的问题 1 ）当系统处于静止状态，开始进入运行时，系统能否进入我们需要的工作状态。 ---- 初始条件全为 0 此时： 系统的初始条件不全为 0 ，给我们带来一个十分 麻烦 的问题，使得我们 无法定义传递函数。 我们知道传递函数是经典控制理论的数学基础， 2 ）当系统已经处于一个相对稳定的运行状态，此时系统突然出现干扰，系统是否具有抗干扰的能力，当干扰消除或系统是否回到原有的平衡状态 ---- 初始条件不全为 0 此时： 为此我们要寻找一种方法 把初始条件不全为 0 初始条件全为 0 采用方法 将系统原平衡状态电（相对静止点）作为新的坐标原点，以新坐标原点的增量作为系统的变量，取代原变量，得到以增量形式的运动方程，对增量形式的运动方程，求解时，其初始条件就全为 0 。解决了定义传递函数的问题。 我们以电机转速控制系统为例，来看看此方法在实际中是否可行 该系统有两个输入量，当系统的两个输入量均为常数时，系统的输出也应为一个常数 （ 1 ） } 系统输出 此时系统的静态方程为 （ 2 ） 当系统在原输入的基础上有个总量变化 } 系统输出 系统数学模型，得 化简 （ 3 ） 输入发生变化时系统的变化情况，将（ 3 ）式与（ 2 ）相减，得 （ 4 ） 从（ 4 ）可见它与（ 1 ）在形式上完全一样，只是（ 4 ）的变量前面多了一个 增量符号，实际上控制理论书中的微分方程均为增量方程， 只是为书写方便书写时省去了增量符号而已。所以在以后在控制理论书中见到的微分方程多应该想到它是 增量方程 （ 1 ） （ 4 ） 由此可见上式描述的是在平衡状态点（ u b0, M c0 ， n 0 ）的基础上改变 U b ， Mc 时，系统输出 n 对应的变化关系。这种增量表示，好似数学中的 坐标原点平移法 (u b0 ,M c0 ,n 0 ) U b0 M Ub M c0 ( ) 在新的坐标下的变量 n 0 40 我们将系统的平衡状态点（相对静止点）作为新的坐标原点的方法是有其使用价值的，因为对于一个控制系统我们做关心的应该是当其受到外界干扰影响时，它是否能够抵抗干扰重新回到稳定状态。 增量化方程有两大优点： （ 1 ）以增量方程表示的系统，可以使系统的运动初始条件全为 0 （ 2 ）以增量化表示系统便于非线性系统的线性化处理 41 二、举例 在实际中完全的线性系统几乎是不存在的，既是我们常说的线性系统，也是在一定的工作范围内才保持一定的线性关系，也就说我们滤去那些对控制过程的进行不会有重大影响的因素，来建立微分方程，以求得方程的简化。 42 我们为什么要这样做？ 在高等数学的学习中我们知道，对于非线性微分方程至今尚没有通用的求解方法，这就给我们进行系统分析带来了困难，为此要解决此问题提出了非线性系统的线性化问题。 下面我们以水面控制系统为例，讲述非线性系统线性化的问题 43 例 液面控制系统 给定输入 Q1 干扰输入 Q2 液面 H S— 水箱地面积 解 ： 若研究 Q 1 变化后，液面高度 H 的变化规律 ， 很显然这是一非线性微分方程，也就是说此液面控制系统为非线性系统。为研究问题方便，对此方程进行线性化处理也就是说要将 ，这种非线性关系用线性关系取代。 具体方法 是将 ，这一非线性函数在原平衡点（ H a0 ， Q a0 ) 处展开成泰勒级数 在此平衡点工况下，对应有： 将 在平衡点 a 处展开成泰勒级数 在液面变化过程中，由于 Q 1 变化，对应于水位变化 很小，那么 更小，可视为高阶无穷小而忽略不计。 H 故 所以系统的增量方程为： a 平衡点 Q2 H a0 Q 20 Q 2 H 所以非线性方程 经线性化处理后为 线性化处理 从上例的线性化处理过程可见 Q 1 变化 S 很大 使 H 变化很小 才有 很小， 故 维高阶无穷小而忽略不计 否则在 Q 1 变化，使得 H 变化较大，则线性化后将产生较大的误差，可见线性化是有条件。 48 2-3 传递函数 前面我们已经向大家介绍了自动控制系统在一定输入作用下，系统输入、输出相关的线性微分方程的编写的基本方法，为了进一步研究自动控制系统在一定输入作用下系统的输出的性能如何？最直接的方法就是求解系统的微分方程，取得输出量的时间函数曲线，然后再根据曲线对系统进行分析。 但是对于复杂的系统（高阶系统）直接求解方程式非常困难的，于是我们引入了新的数学方法 --- 拉普拉斯变 换 ， 这样可以把高数中求解微分方程中的积分和微分的运算转化代数方程的求解和直接查表的方法，使得求解微分方程变得简单化。在此基础上人们引入了传递函数的概念。 49 在以后的学习中可以看到，传递函数是分析和综合自动控制系统的一种很方便的数学工具，通过传递函数的使用可是系统分析和设计工作大大简化 。 例 1 利用拉普拉斯变换的方法求解微分方程 初始条件： 解：为求解，首先对原微分方程进行拉普拉斯变换 将初始条件代入 等式的右边的常数 2 ，视为幅值为 2 的阶跃函数，即为 2*1(t) 所以经过拉普拉斯变化后的微分方程为： 整理后得出 对上式进行拉普拉斯反变换，即可的出方程的解 y(t ) 如何进行拉普拉斯反变换？ 一般情况下 y(s ) 的形式是各种各样，有些是不能直接从拉普拉斯表中查出，需要进行一定的变换成为最简式后，在查拉普拉斯变换表，即可得出 y(s ) 的原函数 Y(t ) 。 (1) 式中： k1,k2,k3 为待定系数 求 k1: 将（ 1 ）式两边同乘以 s ，后令 s=0 求 k2: 将（ 1 ）式两边同乘以（ s-3 ），后令 s=3 求 k3 : 将（ 1 ）式两边同乘以（ s+2 ），后令 s=-2 得，系统输出的原函数 查拉普拉斯反变换表，得 从一上解微分方程的全过程可见，整个过程都在进行一些代数运算，而没有高数中求解微分方程的积分和微分的运算，使整个求解过程简单方便 。 一、传递函数的概念与定义 所谓传递函数 --- 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉斯拉斯变换 y(s ) 与输入量的拉普拉斯变换 R(s ) 之比，称为该系统的 传递函数 一般记为： 例 2 ： 我们以 RC 网络为例，看看如何建立系统的传递函数 R C u r u c i 解： 联立方程组，消除 中间变量 i ，得 ： 在零初始条件下，进行拉普拉斯变换，得： 根据传递函数的定义，得： --- RC 网络系统的传递函数 56 在此基础上我们加以推广 假设某系统的运动微分方程为： 式中： Y(t )--- 系统的输出量； r(t )--- 系统的 输入量 在零初始条件下，对上式进行拉普拉斯变换，得 ： 整理，得 58 则系统的传递函数 注意 传递函数是微分方程在初始条件为零的情况下，通过拉普拉斯变换得到的，因此它也是系统的一种数学模型。 如果已知系统的传递函数和系统的输入量的拉普拉斯变换，可由上式得到在零初始条件下，系统的输出的拉普拉斯变换。 传递函数是复变量 s 的有理真分式 ，各系数为实数 从物理意义上讲，我们知道任何系统都是有惯性，能量也不会自行产生。 系数为实数，因为方程中的系数，都是组成系统元件的具体参数，而元件参数只能是实数。 传递函数只取决于系统的结构，而与外作用形式无关 一定的传递函数有一定的零、极点与之对应 式中： -- 传递函数的零点 -- 传递函数的极点 传递函数的分母，即为系统的特征方程，所以极点又称为系统的特征根 传递函数是由拉普拉斯变换得到的，所以传递函数只适用于线性定常系统 二、典型环节 在实际中的自动控制系统，其种类很多，构成系统的物理意义和功能上有本质的差别，但我们抛开它们物理意义和功能，仅仅从描述它们的数学模型 ( 微分方程、传递函数等等）的类型去分类，那么构成控制系统基本类型共有六大类，我们把这些基本类型成为 典型环节 。 这些典型环节，尽管它们的物理本质差别和很大，但它们的动态性能却是相同的。 例如 ： 两级 RC 串联滤波网络和弹簧 — 阻尼 — 质块系统，它们在物理上本质在有本质的区别，但它们有相同类型的数学模型 u r R 1 R 2 C 1 C 2 i 1 i 2 U c2 一个描述系统的传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称作 典型环节 。常见的几种形式有： 比例环节 （放大环节或无惯性环节 ） 凡是系统的输入、输出之间可以用以下数学方程描述的系统统称为比例环节 式中 ： y(t )- 系统的输出； r(t )- 系统的输入 对上式进行拉普拉斯变换得到放大环节的传递函数。 放大环节我们见到的很多，例如： 测速发电机、齿轮传动 等等 64 放大环节的特点 比例环节其输入与输出之间无时滞和失真，输出按比例的反映系统的输入变化。 t 比例环节 G(s )=k r(t ) t 1 Y(t ) k 比例环节运用实例 65 惯性环节 凡是系统的输入、输出之间可以用一阶微分方程描述的系统统称为惯性环节 式中： T--- 为环节的时间常数 环节的传递函数 66 惯性环节 r(t ) 1 Y(t ) k 特点： 系统的输出量的变化落后于系统的输入量的变化。 T 越大，系统的惯性越大，系统的输出落后越大。当 T 很小时，可忽略系统惯性，把此环节 视为比例环节。 惯性环节应用实例 微分环节 微分环节又分为理想微分环节和实际微分环节两种 理想微分 凡是系统的输出量与输入量的导数成正比的系统，统称为理想微分环节。 其数学描述为： 68 将上式经过拉普拉斯变换后，得到环节的传递函数 式中： T--- 为系统的时间常数 为什么称此环节为理想微分环节？ 是因为此环节在实际工程中是难以构造的 例如 理想微分环节输入一单位阶跃信号，即 r(t ) 1 在 t=0 时刻，输入量 r(t ) 从 0 变化为 1 当 t>0 时， r(t )=1 理想微分 G(s )=Ts 可见理想环节的输出量，在 t=0 时刻， y(t ) 为无穷大，在 t>0 时， y(t )=0 ， r(t ) 1 Y(t ) 0 我们知道任何元件都具有惯性，像这样瞬间从无穷大变化到 0 ，这样的元件在实际中无法构造，所以我们称它为理想微分环节。 实际微分 凡是系统的输入量与系统的输出量之间可以用一下微分方程描述的，统称为实际微分环节。 上式进行拉普拉斯变换，得到环节的传递函数 可见实际微分环节实际上由理想微分和惯性环节串联组成的，此环节在实际中我们是可以构造出来的。 实际微分环节的输出特点 实际微分 1 r(t ) Y(t ) 例： 实际中的 CR 网络，就是一典型的实际微分环节 u i R C i 解：根据克希夫定律 u o 联立方程组，消除中间变量，得到系统数学模型 式中： T=RC 故 CR 网络的传递函数为 如给 CR 网络输入一单位阶跃信号，即： 系统输出得像函数为： 74 系统输出为 ：（ 经过整理变换后，查拉普拉斯反变换表得） 其输出曲线为： 当 t=0 时 当 t>0 时 呈指数衰减变化 当 t= 时 Y(t ) 从 CR 电路输出特性可清楚地说明，电路电压不能突变，当输入电压突然加上去时，电容仍为通路，因此 ，随着电容的充电，电容电压升高，电路电流减少， 最终当电容两端的电压等于 输入电压时， i=0 ， 75 微分环节对控制系统的影响 使系统输出提前 例：一比例环节，其环节的传递函数 G(s )=1 比例环节 G(s )=1 r(t ) Y(t ) 再在此环节中并联一微分环节后，系统的输出情况。 比例环节 G(s )=1 Y 1 (t) 微分环节 G(s )=Ts r(t ) r(t ) T Y 2 (t) Y(t ) 理想微分环节：输入 r(t )=t ，输出 b t1 t2 从上途中可见，在相同输入的情况下，输出要达到 y(s ） =b ，在步并联微分环节需要经过时间 t 2 ，而并联微分环节后只需要时间为 t 1 ，显然 t 1

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