高等数学下册 chap2(导数与微分)2-5(高阶导数与高阶微分)

高等数学下册 chap2(导数与微分)2-5(高阶导数与高阶微分)

一、高阶导数 二、高阶微分 第二节 高阶导数与高阶微分 问题 : 变速直线运动的加速度 . 定义 高阶导数也是由实际需要而引入的 . 这就是二阶导数的物理意义 一、高阶导数 ' 存在 , 二阶导数 . ' ' 记作 三阶导数的导数称为 二阶和二阶以上的导数统称为 二阶导数的导数称为 高阶导数 . 三阶导数 , 四阶导数 , n 阶导数 , 记作 一般地 , 例 解 由高阶导数的定义 , 欲求函数的高阶导数 , 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去 , 而不需要新的方法 . 求二阶导数的方法 一般函数导数求法 一般函数求高阶导数：逐阶求导即可 . 2. 抽象函数高阶导数求法 注意抽象复合函数高阶导数求法 解 练习 3. 隐函数二阶导数求法 方法 1 、在求导后的方程两边继续求导，并将一阶导数代入； 方法 2 、由一阶导数的表达式求二阶导数 . 解 方法 1 方法 2 4. 由参数方程确定函数二阶导数求法 解 例 解 几个基本初等函数的 n 阶导数 则 例 解 例 解 例 解 同理可得 即 求 n 阶导数时 , 关键要寻找规律 , 注 另外在 的规律性 , 写出 n 阶导数 . 便可看出规律 ; 一般求至三阶 , 求导过程中不要急于合并 , 分析结果 例 解 求 n 阶导数需要运用技巧 几个常用高阶导数公式 函数的 n 阶导数公式 , 使问题简化 . 尽可能化为求某些熟知 ( 通过四则运算 , 变量代换 , 恒等变形 ) 例 解 若直接求导 , 将是很复杂的 , 且不易找出规律 , 所以将式子恒等变形 . 例 解 例 解 分析 此函数是 6 次多项式 , 故不需将函数因式全乘出来 . 因为 其中 为 x 的 5 次多项式 , 故 又是求 6 阶导数 , 莱布尼兹公式 可类比着牛顿二项公式加强记忆 则 莱布尼兹 (Leibniz,1646—1727) 德国数学家 . 莱布尼兹公式 例 解 则由莱布尼兹公式知 设 练习 提示 经上面这样变形后再求 n 阶导数 , 就方便多了 . 二、高阶微分 高阶微分没有形式不变性！！ 小结 高阶导数的定义及物理意义 ; 高阶导数的运算法则 ( 莱布尼兹公式 ); n 阶导数的求法 ; 1. 直接法 ; 2. 间接法 . 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求