大学课件 高等数学 4-2(不定积分的换元积分法)

大学课件 高等数学 4-2(不定积分的换元积分法)

问题 ？ 解决方法 利用复合函数，设置中间变量 . 过程 令 一、第一类换元法 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理 第一类换元公式 （ 凑微分法 ） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同 . 定理 1 例 1 求 解 （一） 解 （二） 解 （三） 例 2 求 解 一般地 例 3 求 解 例 4 求 解 例 5 求 解 例 6 求 解 例 7 求 解 例 8 求 解 例 9 求 原式 例 10 求 解 例 11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分 . 例 12 求 解 例 13 求 解 （一） （使用了三角函数恒等变形） 解 （二） 类似地可推出 解 例 14 设 求 . 令 例 15 求 解 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法 . 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果） 二、第二类换元法 证 设 为 的原函数 , 令 则 则有换元公式 定理 2 第二类积分换元公式 例 16 求 解 令 例 17 求 解 令 例 18 求 解 令 说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换 . 三角代换的 目的 是化掉根式 . 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用 双曲代换 . 也可以化掉根式 例 中 , 令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定 . 说明 (3) 例 19 求 （三角代换很繁琐） 令 解 例 20 求 解 令 说明 (4) 当分母的阶较高时 , 可采用 倒代换 例 21 求 令 解 例 22 求 解 令 （分母的阶较高） 说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的 最小公倍数 ） 例 23 求 解 令 基本积分表  三、小结 两类积分换元法： （一） 凑微分 （二） 三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表 (2) 思考题 求积分 思考题解答