安徽省定远县民族中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

安徽省定远县民族中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

民族中学2018-2019学年第二学期第一次月考试卷 高二理科数学 ‎（满分：150分，考试时间：120分钟）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知i是虚数单位，则i2019＝（　　）‎ A．1 B．﹣‎1 ‎C．i D．﹣i ‎2．已知z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎3．计算（　　）‎ A．4 B． C．16 D．15‎ ‎4．已知函数f（x）＝x2﹣5x+2lnx，则函数f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A．和（1，+∞） B．（0，1）和（2，+∞） ‎ C．和（2，+∞） D．（，2）‎ ‎5．已知函数f（x）＝x3，则f（x）与y＝x围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．已知i是虚数单位，复数z＝，则z对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）‎ ‎8．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx﹣17（a，b，c∈R）的导函数为f′（x），f′（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤3}，若f（x）的极小值等于﹣98，则a的值是（　　）‎ A．﹣ B． C．2 D．5‎ ‎9．已知三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则＝（　　）‎ A．﹣1 B．‎2 ‎C．﹣5 D．﹣3‎ ‎10．已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝，g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎11．设函数f（x）＝x2+mln（1+x）有两个极值点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，） B．（0，） C．（0，] D．（﹣1，]‎ ‎12．已知直线l即是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为（　　）‎ A．2 B．‎1 ‎C．e2 D．﹣e2．‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若复数z满足zi＝（2+i）2（其中i为虚数单位），则|z|等于　 　．‎ ‎14．设函数f（x）＝2x3+ax2+bx+1的导函数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图象的顶点横坐标为﹣，且f′（1）＝0．则a+b的值为　 　．‎ ‎15．曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为　 　．‎ ‎16．已知函数，其图象上存在两点M，N，在这两点处的切线都与x轴平行，则实数a的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）设y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两个相等的实根，且f′（x）＝2x+2．‎ ‎（1）求y＝f（x）的表达式；‎ ‎（2）求y＝f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．‎ ‎18．（12分）设函数f（x）＝x+（x＞0），a∈R ‎（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）存在极值点，求a的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知复数z1＝m﹣2i，复数z2＝1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．‎ ‎（1）若n＝1，z1为纯虚数，求|z1+z2|的值；‎ ‎（2）若z1＝（）2，求m，n的值．‎ ‎20．（12分）设F（x）＝（t+2t﹣8）dt（x＞0）‎ ‎（1）求F（x）的单调区间；‎ ‎（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝2xlnx+2x，g（x）＝a（x﹣1）（a为常数，且a∈R）．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R．‎ ‎（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；‎ ‎（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．‎ 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1． D． 2． A． 3． B． 4． D． 5． C． 6． D． 7． D． 8． C．‎ ‎9． C． 10． B． 11． B． 12． B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13． 5． 14．﹣9． 15． 0． 16．﹣e﹣2＜a＜0．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．解：（1）∵f′（x）＝2x+2 设f（x）＝x2+2x+c，‎ 根据f（x）＝0有两等根，得△＝4﹣‎4c＝0解得c＝1，即f（x）＝x2+2x+1；‎ ‎（2）S＝＝．‎ ‎18．解：（1）当a＝1时，f′（x）＝1+＝（x＞0），‎ 设g（x）＝x2+1﹣lnx，则g′（x）＝2x﹣＝（x＞0），‎ 令g′（x）＝0，解得：x＝，‎ 故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，‎ 故g（x）≥g（）＝﹣ln＞0，‎ 故f′（x）＞0恒成立，‎ 故f（x）在（0，+∞）递增；‎ ‎（2）∵f（x）存在极值点，‎ ‎∴f′（x）＝0在x＞0上有解，‎ 即f′（x）＝1+＝＝0有解，‎ 即a（1﹣lnx）+x2＝0在x＞0上有解，‎ 当x＝e时，上式不成立，‎ 即当x≠e，a＝在（0，e）∪（e，+∞）上有解，‎ 即曲线y＝a与曲线g（x）＝在（0，e）∪（e，+∞）上有交点，‎ 故g′（x）＝＝0，故x＝，‎ 当0＜x＜e或e＜x＜时，g′（x）＜0，‎ 当x＞，g′（x）＞0，‎ 故g（x）min＝g（）＝2e3，‎ ‎∵0＜x＜e时，g′（x）＜0，‎ 故作出y＝g（x）的图象如图示：‎ 有a＜0或a＞2e3，‎ 即a∈（﹣∞，0）∪（2e3，+∞）．‎ ‎19．解（1）因为z1＝m﹣2i为纯虚数，所以m＝0．‎ 又n＝1，‎ 所以z1＝﹣2i，z2＝1﹣i，从而z1+z2＝1﹣3i．‎ 因此|z1+z2|＝＝．‎ ‎（2）因为z1＝（）2，所以m﹣2i＝（1+ni）2，‎ 即m﹣2i＝（1﹣n2）+2ni．‎ 又m，n为实数，‎ 所以，‎ 解得 ‎ ‎20．解：依题意得，F（x）＝（t+2t﹣8）dt＝（t3+t2﹣8t）＝x3+x2﹣8x，定义域是（0，+∞），‎ ‎（1）F'（x）＝x2+2x﹣8，‎ 令F'（x）＞0，得x＞2或x＜﹣4； 令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2，‎ 且函数定义域是（0，+∞），‎ ‎∴函数F（x）的单调增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．‎ ‎（2）令F'（x）＝0，得x＝2（x＝﹣4舍），‎ 由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，‎ 且F（1）＝﹣，F（2）＝﹣，F（3）＝﹣6，‎ ‎∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）＝﹣6，最小值是F（2）＝﹣．‎ ‎21．解：（1）函数f（x）＝2xlnx+2x，x＞0；‎ 所以f′（x）＝2lnx+4，显然f′（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，且f′（e﹣2）＝0，‎ 当x∈（0，e﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x∈（e﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ 所以x＝e﹣2时，f（x）取得极小值为f（e﹣2）＝2•e﹣2•lne﹣2+2e﹣2＝﹣2e﹣2；‎ ‎（2）记F（x）＝f（x）﹣g（x）＝2xlnx+（2﹣a）x+a，则F′（x）＝2lnx+4﹣a，‎ 当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）＝2，‎ 函数y＝F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；‎ 当a＞4时，令F′（x）＝0，得出x＝＞1，‎ 且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，‎ 所以，F（x）min＝F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，‎ 得F（x）min＝F（）＝0，‎ 化简得：a﹣2＝0，‎ 记h（a）＝a﹣2，h′（a）＝1﹣＜0，‎ 所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，‎ 又h（6）＝6﹣2e＞0，h（7）＝7﹣2e＜0，‎ 所以a∈（6，7），即n＝6．‎ ‎22．解：（1），‎ 当0＜a≤1时，f’（x）＞0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为增函数，‎ ‎∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令 得 （舍去），‎ 当1＜a＜3时，由f’（x）＝0得，x＝a∈（1，3），‎ 若x∈（1，a），有f’（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，‎ 若x∈（a，3）有f’（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，‎ f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得．‎ 当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，‎ ‎∴，令 得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）．‎ 综上知，．‎ ‎（2）∵函数 ，‎ 令g（x）＝0，得．‎ 设，‎ 当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，‎ 当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，‎ 所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，‎ φ（x）的最大值为．‎ 又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：‎ ‎①当 时，函数g（x）无零点；‎ ‎②当 时，函数g（x）有且仅有一个零点；‎ ‎③当 时，函数g（x）有两个零点；‎ ‎④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；‎ 综上所述，当 时，函数g（x）无零点；当 或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；‎ 当 时，函数g（x）有两个零点．‎