湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学（文）试题（含解析）

湖南师范大学附属中学2020届高三5月模拟考试数学（文）试题（含解析）

‎湖南师范大学附属学校2020 届高三5 月模拟 文科数学试题卷 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 注意事项：‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合 A = {(x，y) | x + y = 2}，B = {(x ，y) | y = x 2} ，则 A I B = 文科数学试卷第 1页 共 6页 A． {(1,1)} ‎B．{(-2, 4)} ‎C． {(1,1)},{(-2, 4)} ‎‎ D． F 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎2．已知 （ii 为虚数单位），则复数 z = 文科数学试卷第 1页 共 6页 A. ‎1+ i B.1- I C.-1+ i D.-1- i 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎3．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎4．已知直线a,b 表示不同的直线,则a / /b 的充要条件是 A．存在平面 a ,使a / /a,b / /a B．存在平面 a ,使a ^a,b ^a 文科数学试卷第 1页 共 6页 C．存在直线 c ,使a ^ c,b ^ c D．存在直线c ,使a,b 与直线c 所成的角都是60o 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎5．函数 f (x) = 2x - 4sin x ， x Î[- ,]的图像大致是 文科数学试卷第 1页 共 6页 A. B.‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 C. D.‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎6．某几何体三视图如图，则该几何体体积是 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎4 8‎ A．4 B． C．‎ ‎3 3‎ ‎‎ D．2‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎7．“割圆术”是我国古代计算圆周率p的一种方法．在公元 263 年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆 的面积，进而求p．当时刘微就是利用这种方法，把p的近似值计算到 3.1415‎ 和 3.1416 之间，这是当时世界上对圆周率p的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近 无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影 响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率p，则p的近似值是 （精确到0.01) （参考数据sin15° » 0.2588)‎ A．3.05 B．3.10 C．3.11 D．3.14‎ ‎8．关于函数 f (x) = 有下述三个结论：‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎①函数 f (x) 的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；‎ ‎②函数 f (x) 的最小正周期为π ； ③ $x0 Î R ， f (x0 ) =-1．‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 其中正确结论的个数为 文科数学试卷第 1页 共 6页 A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎9．设 A, B, C Î ，且cos A + cos B = cos C ， sin A - sin B = sin C ，则 C-A＝‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 文科数学试卷第 1页 共 6页 A． B． C． D．或 ‎10．已知椭圆 ，作倾斜角为的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的 中点为 M,O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为q,且 tanq =3，则b =‎ A．1 　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D． ‎11．在四面体 ABCD中，AB = AC = 2，BC= 6，AD^底面ABC，G 为DDBC 的重心，且直 线 DG 与平面 ABC 所成的角是30°，若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O的 表面积是 A. 24π B. 32π C. 46π D. 49π 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎12．已知函数 f(x)= －1－nln x(m>0,0≤n≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。‎ 开始 n = 1, S = 0‎ S = S + tan n p ‎3‎ n = n + 1‎ n < 2019 ?‎ 是 否 输 S 结束 ‎13．执行如图所示的程序框图，输出S 的值是 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎14．在锐角三角形 ABC 中，sin 2C = ‎3 cos 2C + ‎3, c cos B + b cos C = 2‎ ‎，则△ABC 的面积的取值 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎2‎ 范围为 。‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎15．已知P为椭圆,点 M ， N 分别在直线l1 : y = x 与l2 : y = - x 上，且 PM / /l2 ， PN / /l1 ，若 PM 2 + PN 2 为定值，则椭圆的离心率为 ．‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎16．已知数列{an}的前 n 项和Sn=2an-2n+1，若不等式2n2-n-3<(5-l)an对"nÎN*恒成立，则 整数l的最大值为 .‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60 分。‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎17．已知数列{an }的前 n 项和为Sn , a1 = a(a > 0, a Î N* ) , Sn = pan+1( p ¹ 0 且 p ¹ -1, n Î N* )‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎(1)求数列{an }的通项公式;‎ ‎(2)在① ak +1 , ak +3 , ak + 2 ,② ak + 2 , ak +1 , ak +3 这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,要使问题成立,‎ 对任意的正整数k,若将ak +1 , ak + 2 , ak +3 按 的顺序排列后构成等差数列,且公差为dk ,求p 的值 及对应的dk .‎ ‎2‎ ‎18．如图，在三棱锥 A - BCD 中，DABD 是等边三角形，平面 ABD ^ 平面 BCD ，BC ^ CD ，BC = CD = ‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎，‎ E 为三棱锥 A - BCD 外一点，且DCDE 为等边三角形．‎ ‎（Ⅰ）证明： AC ^ BD ；‎ ‎（Ⅱ）若 AE ^ 平面CDE ，求点 E 到平面 BCD 的距离．‎ ‎19．已知eM 过点 A(， 0) ，且与eN : (x +)2 + y 2 = 16 内切，设eM 的圆心 M 的轨迹为C ，‎ ‎（1）求轨迹C 的方程；‎ ‎（2）设直线l 不经过点 B(2, 0) 且与曲线C 交于点 P ，Q 两点，若直线 PB 与直线QB 的斜率之积 为- ，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．‎ ‎20．2019 年，中国的国内生产总值(GDP) 已经达到约 100 万亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎112‎ ‎61‎ ‎44.5‎ ‎35‎ ‎30.5‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎24‎ 的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本 y （元) 与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下数据：‎ 根据以上数据，绘制了如下的散点图．‎ 现考虑用反比例函数模型 y = a + b 和指数函数模型 y = cedx 分别对两个变量的关系进行拟合．为此变换如下：‎ x 令u = 1 ，则 y = a + bu ，即 y 与u 满足线性关系；令 v = lny ，则v = lnc + dx ，即v 与 x 也满足线性关系．这 x 样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 yˆ = 96.54edx ，v 与 x 的相关系数 r 1= -0.94 ，其他参考数据如表（其中 ) :‎ i e-2‎ ln96.54‎ ‎183.4‎ ‎0.34‎ ‎0.115‎ ‎1.53‎ ‎360‎ ‎22385.5‎ ‎61.4‎ ‎0.135‎ ‎4.6‎ ‎3.7‎ ‎（Ⅰ）求指数函数模型和反比例函数模型中 y 关于 x 的回归方程；‎ ‎（Ⅱ）试计算 y 与u 的相关系数 r2 ，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01) ？‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）．根据市场调研数据，该产品单价定为 100 元时得到签订订单的情况如表：‎ 订单数（千件 ‎） 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 概率 ‎( 1 )10‎ ‎2‎ ‎( 1 )9‎ ‎2‎ ‎( 1 )8‎ ‎2‎ ‎( 1 )7‎ ‎2‎ ‎( 1 )6‎ ‎2‎ ‎( 1 )5‎ ‎2‎ ‎( 1 )4‎ ‎2‎ ‎( 1 )3‎ ‎2‎ ‎( 1 )2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎( 1 )10‎ ‎2‎ 已知每件产品的原料成本为 10 元，试估算企业的利润是多少？（精确到 1 千元） 参考公式：‎ 对于一组数据(u1 ， v1 ) ， (u2 ， v2 ) ， ， (un ， vn ) ，‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 其回归直线v = a+ bu 的斜率和截距的最小二乘估计分 å n ‎ ui vi - nuv n ‎ 别为：bˆ = i =1 ，aˆ = v - bˆu ，相关系数 r = i åu2 - nu 2‎ ‎n ‎ å ui vi - nuv ‎( u - nu )( v - nv )‎ å n ‎2‎ ‎2‎ å i n ‎2‎ ‎2‎ i i =1‎ i =1‎ i =1 ．‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 i =1‎ ‎21．已知函数 f (x) = lnx - ax(a Î R) ．‎ ‎（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性；‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页 ‎（Ⅱ）当 a = 1时，设 g(x) = xe- f ( x) - x -1(e 为自然对数的底）．若正实数l1，l2满足l1 + l2 = 1， x1 ，x2 Î (0 ，‎ +¥)(x1 ¹ x2 ) ，证明： g(l1 x1 + l2 x2 ) < l1 g(x1 ) + l2 g(x2 ) ．‎ ‎2‎ ‎（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]‎ ìx = 2 + 2 cosj î 在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í y = 2sinj (j为参数，以原点O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为r= 4sinq.‎ ‎（1）求曲线C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3 的极坐标方程为q=a(0 1，求 a 的取值范围；‎ ‎（2）若 a<0，对 x，y∈(－∞，a]，都有不等式 f(x)≤|y＋2020|＋|y－a|恒成立，求 a 的取值范围．‎ 文科数学试卷第 1页 共 6页