寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题9 互斥事件与对立事件（解析）x

寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题9 互斥事件与对立事件（解析）x

专题9　互斥事件与对立事件 ‎1．事件的包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)记作B⊇A(或A⊆B)．‎ ‎2．事件的相等关系 一般地，若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.‎ ‎3．互斥事件与对立事件 ‎(1)若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥．‎ ‎(2)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件．‎ 例1　判断下列给出的每对事件，是互斥事件还是对立事件，并说明理由．‎ 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．‎ ‎(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；‎ ‎(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；‎ ‎(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．‎ 变式1　抛掷一个骰子(各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，判断下列给出的每对事件，是否为对立事件．‎ ‎(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；‎ ‎(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面数字大于4”．‎ 例2　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是，取到方块(事件B)的概率是，问：‎ ‎(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？‎ ‎(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？‎ 变式2　袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？‎ A级 ‎1．给出以下结论：‎ ‎①互斥事件一定对立；‎ ‎②对立事件一定互斥；‎ ‎③互斥事件不一定对立；‎ ‎④事件A与事件B的和事件的概率一定大于事件A的概率；‎ ‎⑤事件A与事件B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为(　　)‎ A．0.95 B．0.97‎ C．0.92 D．0.08‎ ‎5．口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从袋中任取一球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是________．‎ ‎6．如图所示， ‎ 靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______．‎ ‎7．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．‎ B级 ‎8．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)‎ A．A⊆D B．B∩D＝∅‎ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D ‎10．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________.‎ ‎11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．‎ ‎12．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．‎ ‎13．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：‎ ‎(1)至多2人排队等候的概率是多少？‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率是多少？‎ ‎14．在一个袋子中放入3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球，摸出的球不放回袋中．‎ ‎(1)求第1次或第2次摸出红球的概率；‎ ‎(2)摸出的球放回袋中连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率．‎ 详解答案 典型例题 例1　解　(1)是互斥事件，不是对立事件．‎ 原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．‎ ‎(2)既是互斥事件，又是对立事件．‎ 原因：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．‎ ‎(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．‎ 原因：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．‎ 变式1　‎ 解　(1)根据题意可作出图．由图可知：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含的结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．‎ ‎(2)根据题意作图可得．由图可知，“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面数字大于4”各自所含的结果组成的集合互为补集，它们构成对立事件．‎ 例2　解　(1)因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝.‎ ‎(2)事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，P(D)＝1－P(C)＝.‎ 变式2　解　设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得 解得：x＝，y＝，(1－－－)＝.所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.‎ 强化提高 ‎1．C　2.A ‎3．C　[(间接法)“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为P＝1－＝.]‎ ‎4．C　5.0.2‎ ‎6．0.10‎ 解析　射手命中圆环Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则A、B、C互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.‎ 因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.‎ ‎7. ‎8．D　[4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝.]‎ ‎9．D　[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，‎ ‎∴A∪B≠B∪D.]‎ ‎10. 解析　将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”‎ ‎，则C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D)‎ ‎＝P(C)＋P(D)＝.‎ ‎11. 解析　设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A、B为对立事件，∴P(B)＝1－P(A)＝.‎ ‎12. 解析　记“没有5点或6点”的事件为A，则P(A)＝，“至少有一个5点或6点”的事件为B.因A∩B＝∅，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.‎ 故至少有一个5点或6点的概率为.‎ ‎13．解　记事件在窗口等候的人数为0,1,2，3,4,5人及5人以上分别为A、B、C、D、E、F.‎ ‎(1)至多2人排队等候的概率是 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.‎ ‎(2)方法一　至少3人排队等候的概率是 P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)‎ ‎＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.‎ 方法二　因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件，故由对立事件的概率公式，至少3人排队等候的概率是P(D＋E＋F)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.56＝0.44.‎ 所以至多2人排队等候的概率是0.56，至少3人排队等候的概率是0.44.‎ ‎14．解　(1)记第1次摸到红球为事件A，第2次摸到红球为事件B.显然A、B为互斥事件，易知P(A)＝.现在我们计算P(B)．‎ 摸两次球可能出现的结果为 ‎(白1，白2)、(白1，白3)、(白1，红)、(白2，白1)、(白2，白3)、(白2，红)、(白3，白1)、(白3，白2)、(白3，红)、(红，白1)、(红，白2)、(红，白3)，‎ 在这12种情况中，第二次摸到红球有3种情况，所以P(B)＝，故第1次或第2次摸到红球的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.‎ ‎(2)把第1次、第2次摸球的结果列举出来，除了(1)中列举的12种以外，由于放回，又会增加4种即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(红，红)．这样共有16种摸法．‎ 其中第1次摸出红球，第2次摸出不是红球的概率为P1＝.‎ 第1次摸出不是红球，第2次摸出是红球的概率为P2＝.‎ 两次都是红球的概率为P3＝.‎ 所以第1次或第2次摸出红球的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝.‎