重庆市渝西九校2020届高三5月联考数学(理)试题 Word版含解析

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重庆市渝西九校2020届高三5月联考数学(理)试题 Word版含解析

- 1 - 2020 年重庆市渝西九校高考数学联考试卷(理科)(5 月份) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合   2| 6 8 0A x x x x    ,  0,2,4,6A B  ,则集合 B 中必有的元素是 ( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 先由  2 6 8 0x x x   解方程,求出集合 A ,然后结合  0,2,4,6A B  可得答案. 【详解】解:由  2 6 8 0x x x   ,得 0x  ,或 2x = ,或 4x  所以  0,2,4A  , 因为  0,2,4,6A B  , 所以集合 B 中必有的元素是 6. 故选:D 【点睛】此题考查集合的并集运算的应用,属于基础题. 2.若复数 z 满足 1 z ii   ,则 z 在复平面内的对应点( ) A. 在直线 y=﹣x 上 B. 在直线 y=x 上 C. 在直线 y=﹣2x 上 D. 在直线 y=2x 上 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用复数的乘法法则进行整理,再利用复数的几何意义写出对应点坐标,分别代入检验即 可得出结果. 【详解】由 1 z ii   , 得  1 1z i i i      , 则 z 在复平面内的对应点坐标为 1, 1 , - 2 - 把 1, 1 代入选项可得 A 正确. 故选:A. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及几何意义.属于容易题. 3.若双曲线 2 2 : 13 x yC m   的离心率为 3 ,则 C 的虚轴长为( ) A. 4 B. 2 3 C. 2 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用离心率得到关于 m 的方程,求出其解后可得虚轴长. 【详解】因为双曲线 2 2 : 13 x yC m   的离心率为 3 ,故 3 3 3 m  , 解得 6m  ,所以虚轴长为 2 6 . 故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率及虚轴长,注意双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     中各 几何量计算公式的正确应用,如虚轴长指 2b ,本题属于基础题. 4.已知 *n N ,则 2 3 4 5 12 2 2 2 n     ( ) A. 25 4n  B. 5 12 36n  C. 32 4n  D. 5 12 12n  【答案】C 【解析】 【分析】 利用等比数列的前 n 项和的公式即可求解. 【详解】 2 5 1 2 3 4 5 1 52 2 22 2 2 2 2 4 32 41 2 n n n n             . 故选:C 【点睛】本题考查了等比数列的前 n 项和的公式,需熟记公式,属于基础题. - 3 - 5.北京公交 101 路是北京最早的无轨电车之一,最早可追溯至 1957 年.游客甲与乙同时从红 庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的 101 路公交车,甲将在故宫站之前的任意一站下车, 乙将在展览路站之前的任意一站下车,他们都至少坐一站再下车,则甲比乙后下车的概率为 ( ) A. 48 209 B. 11 48 C. 50 209 D. 5 19 【答案】D 【解析】 【分析】 首先计算出基本事件总数,再对乙的下车情况分类讨论,根据古典概型的概率公式计算可得; 【详解】解:甲乙下车的所有可能情况有11 19 209  种, 若乙在小庄路口东站下车,则甲在呼家楼西站到沙滩路口西站任意一站下车,共有 10 种可能; 若乙在呼家楼西站下车,则甲在关东店站到沙滩路口西站任意一站下车,共有 9 种可能; …… 若乙在美术馆东站下车,则甲只能在沙滩路口西站下车,只有 1 种可能. 故甲比乙后下车的概率为10 9 1 55 5 11 19 11 19 19        . 故选:D 【点睛】本题考查古典概型的概率计算公式的应用,属于基础题. 6.已知二次函数   2f x ax bx  在 1, 上单调递减,则 a ,b 应满足的约束条件为( ) A. 0 2 0 a a b     B. 0 2 0 a a b     C. 0 2 0 a a b     D. 0 2 0 a a b     【答案】D 【解析】 【分析】 - 4 - 由二次函数在 1, 上单调递减,得开口向下,对称轴小于等于 1,可得答案. 【详解】解:因为  f x 在 1, 上单调递减, 所以 0a  ,且 12 b a   , 所以 0 2 0 a a b     . 故选:D 【点睛】此题考查二次函数的性质,属于基础题. 7.设函数 ( ) sin 2 cos 23 3f x x x              的最小正周期为T ,则  f x 在 0,T 上的零 点之和为( ) A. 13 12  B. 7 6  C. 11 12  D. 5 6  【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知 7( ) 2 sin 2 12f x x      ,可得T  ,再令 72 ( )12x k k Z    ,可得  f x 在 0,T 上的零点,由此即可求出结果. 【详解】因为 7( ) 2 sin 2 2 sin 23 4 12f x x x                ,所以T  . 令 72 ( )12x k k Z    ,得  7 2 24 kx k Z    , 所以  f x 在 0,T 上的零点为 7 24  ,19 24  ,则所求零点之和为 7 19 13 24 24 12     . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了函数  siny A ωx φ  的性质的应用,属于基础题. 8.执行如图所示的程序框图,则输出的 a ( ) - 5 - A. 1 2  B. 2 3 C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】 由算法和程序框图的循环结构依次计算即可得答案. 【详解】解:第 1 次, 3a  , 1 5i   成立,则 3 1 2 3 3a   , 2i  ; 第 2 次, 2 5i   成立,则 2 1 13 2 2 3 a     , 3i  ; 第 3 次, 3 5i   成立,则 1 12 31 2 a      , 4i  ; 第 4 次, 4 5i   成立,则 2 3a  , 5i  , 第 5 次, 5 5i   成立, 1 2a   , 6i  . 6 5i   不成立,所以输出的 1 2a   . 故选:A 【点睛】此题考查算法和程序框图的循环结构,考查计算能力,属于基础题. 9.某品牌牛奶的保质期 y (单位:天)与储存温度 x (单位: C )满足函数关系 - 6 -  0, 1kx by a a a   .该品牌牛奶在 0 C 的保质期为 270 天,在8 C 的保质期为 180 天,则 该品牌牛奶在 24 C 的保质期是( ) A. 60 天 B. 70 天 C. 80 天 D. 90 天 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意将 0x  或8 代入表达式即可求解. 【详解】由题意可知, 0 270ba   , 8 180k ba   ,可得 8 8 2 3 k b k b aa a    , 所以   3 324 8 2 270 803 k b k ba a a        , 故该品牌牛奶在 24 C 的保质期是 80 天. 故选:C 【点睛】本题考查了函数模型的应用,考查了分析能力以及基本运算求解能力,属于基础题. 10.已知椭圆 C 的焦点为 F1(﹣c,0),F2(c,0),其中 c>0,C 的长轴长为 2a,过 F1 的直线 与 C 交于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,4|BF2|=5|AB|,则|AF2|=( ) A. 5 4 a B. 4 3 a C. 2 3 a D. a 【答案】D 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义求解. 【详解】设 1F B x ,则∵|AF1|=3|F1B|,∴ 1 3AF x ,又 4|BF2|=5|AB|,∴ 2 5BF x , ∴ 1 2 6 2BF BF x a   , 3a x ,∴ 2 12AF a AF a   . 故选:D. 【点睛】本题考查椭圆的定义,只要用定义表示出 ,A B 两点到焦点的距离之和即可求解. 11.已知QA  平面 ABC ,PC  平面 ABC ,AB BC , 1PC  , 3AB AQ  , 4BC  , 现有下述四个结论:①四边形 ACPQ 为直角梯形;②四面体 PABC 的外接球的表面积为 25 ; - 7 - ③平面 PBC  平面QAB ;④四面体 PABC 与四面体QABC 的公共部分的体积为 3 2 .其中所 有正确结论的编号是( ) A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 利用线面垂直的性质定理可判断①;求出四面体 PABC 的外接球的球心O 为线段 PA 的中点, 利用球的表面积公式可判断②;利用面面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理可判断③; 利用锥体的体积公式即可判断④. 【详解】因为 QA  平面 ABC , PC  平面 ABC , 所以 / /QA PC ,且 PC AC ,又 3QA PC ,所以四边形 ACPQ 为直角梯形. 依题意可得,四面体 PABC 的外接球的球心O 为线段 PA 的中点, 因为 2 23 4 5AC    , 1PC  ,所以 2 25 1 26 2 2AO   , 所以球O 的表面积为 26 . 由QA  平面 ABC ,则 QA BC , AB BC ,且 QA AB A  可证 BC ⊥平面QAB ,而 BC 平面 PBC ,所以平面 PBC  平面QAB . 设 PA QC D ,则四面体 PABC 与四面体QABC 的公共部分为四面体 ABCD . 过 D 作 DE AC 于 E ,则 3 3 1 DE PC   ,所以 3 3 4 4DE PC  , 所以四面体 ABCD 的体积为 1 1 3 33 43 2 4 2      . 故所有正确结论的编号是①③④. - 8 - 故选:B 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、面面垂直的判定定理、球的表面积公式、锥体的 体积公式,属于中档题. 12.设数列 2 na 为等差数列,且 0na  , 4 2a  , 9 3a  .记    1 1 1 1 1n n n n n b a a a a      , 正整数 m 满足    98 99lg 10 1 lg 10 1m    ,则数列 nb 的前 m 项和为( ) A. 5 11 B. 5 12 C. 9 22 D. 11 24 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 na n ,化简得出 1 1 1 1 1nb n n     ,并结合题意求得正整数 m 的值,然后利 用裂项相消法可求得结果. 【详解】设 2 na 的公差为 d ,则  2 2 2 2 9 49 4 3 2 5d a a      ,即 1d  , 所以    2 2 2 4 4 2 4na a n d n d n       ,又 0na  ,所以 na n ,        1 1 1 1 1 1 1 1 1nb n n n n n n n n                   1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 n n n nn n             , 因为  9898 lg 10 1 99   ,  9999 lg 10 1 100   ,所以 99m  , 所以数列 nb 的前 m 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 10 1 2 11 222 1 2 1 3 1 99 1              . 故选:C. 【点睛】本题考查裂项求和法,同时也考查了等差数列通项公式的应用,考查计算能力,属 于中等题. - 9 - 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在答题卡中的横线上. 13.设向量  1,2AB  ,  2,AC x  ,若 A , B ,C 三点共线,则 x ______. 【答案】-4 【解析】 【分析】 由 A , B ,C 三点共线,可得 / /AB AC   ,从而由共线向量的性质列方程可求出 x 的值. 【详解】解:因为 A , B ,C 三点共线, 所以 / /AB AC   , 因为  1,2AB  ,  2,AC x  , 所以 2 2 4x      . 故答案为:-4 【点睛】此题考查共线向量的性质,属于基础题. 14.《九章算术》中有这样一个问题:“今有方锥,下方二丈七尺,高二丈九尺.问积几何?” 其意思是:今有一个正四棱锥,其下底边长为 2 丈 7 尺(1丈 10 尺),高为 2 丈9尺,则其 体积为______立方尺. 【答案】 7047 【解析】 【分析】 根据题意得出该正四棱锥的高与底面边长,然后利用锥体的体积公式可计算得出结果. 【详解】因为该正四棱锥的底边长为 27 尺,高为 29 尺,所以其体积为 21 27 29 70473    立 方尺. 故答案为: 7047 . 【点睛】本题考查正四棱锥的体积的计算,关键就是根据题意得出该正四棱锥的底面边长和 高,考查计算能力,属于基础题. 15.甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动,该活动有任务需要完成,甲、乙完成任务的 概率分别为 0.7,0.8,且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人 数为 X ,则 EX  ______. - 10 - 【答案】1.5(或 3 2 ) 【解析】 【分析】 由题意得 X 的可能取值,利用独立时间概率公式求得分布列,利用期望的定义计算即可. 【详解】 X 的可能取值为 0,1,2,且     0 1 0.8 1 0.7 0.06P X      ,      1 1 0.8 0.7 0.8 1 0.7 0.38P X         ,  2 0.8 0.7 0.56P X     , 故 1 0.38 2 0.56 1.5EX      . 故答案为:1.5(或 3 2 ). 【点睛】本题考查简单离散型概率分布列的期望,根据事件的独立性概率公式求得分布列是 关键,属基础题,难度不大. 16.已知函数    x xf x x ae e  为偶函数,函数     xg x f x xe  ,则 a ______;若  g x mx e  对  0,x  恒成立,则 m 的取值范围为______. 【答案】 (1). 1 (2).  ,2e 【解析】 【分析】 由已知条件,利用函数奇偶性的性质可得 x xy ae e  为奇函数,进而根据奇函数的定义求得 1a  ;将题中不等式分离参数为 x em e x   ,构造函数    0x eh x e xx    ,利用导数求 得其最小值,根据不等式恒成立的意义得到 m 的取值范围为 ,2e . 【详解】因为 y x 为奇函数,    x xf x x ae e  为偶函数, 所以 x xy ae e  为奇函数, ∴ 0 00 ae e  ,所以 1a  ,则   xg x xe . 因为  g x mx e  对  0,x  恒成立, 所以 x em e x   对  0,x  恒成立. 设函数    0x eh x e xx    ,则   2' x eh x e x   , - 11 - 显然   2' x eh x e x   在  0,x  上单调递增,且  ' 1 0h  , 所以当 0 1x  时,  ' 0h x  ;当 1x  时,  ' 0h x  . 从而可得    min 1 2h x h e  , 故 m 的取值范围为 ,2e . 故答案为:1; ,2e . 【点睛】本题考查函数的奇偶性,利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题,难度中 等,关键是分离参数,构造函数并利用导数求函数的最值. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17~21 题为必考题,每 道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.世界各国越来越关注环境保护问题,某检测点连续 100 天监视空气质量指数( AQI ),将 这 100 天的 AQI 数据分为五组,各组对应的区间分别为 0,50 , 50,100 , 100,150 ,  150,200 , 200,250 ,并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图. (1)请将频率分布直方图补充完整; (2)已知空气质量指数 AQI 在 0,50 内的空气质量等级为优,在 50,100 内的空气质量等 级为良,分别求这 100 天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数; (3)若这 100 天中, AQI 在 0,100 的天数与 AQI 在 ,250m 的天数相等,估计 m 的值. 【答案】(1)直方图见解析;(2)20,40;(3)75. 【解析】 【分析】 - 12 - (1)根据总频率和为 1 求得 AQI 在 100,150 内的频率,进而计算 频率 组距的值,即可将直方 图补充完整;(2)先求得相关频率,即可得到所求天数;(3)依题意,可得 AQI 在 0,100 的 频率等于 AQI 在 ,250m 的频率,可得到  50,100m ,从而列式求得 m 的值. 【 详 解 】 ( 1 ) 因 为 AQI 在  100,150 内 的 频 率 为 1 50 (0.004 0.008 0.002 0.001) 0.25      , 所以 AQI 在 100,150 内的 0.005频率 组距 , 故频率分布直方图补充完整如图所示. (2)这 100 天中空气质量等级为优的天数为50 0.004 100 20   , 空气质量等级为良的天数为 50 0.008 100 40   . (3)依题意,可得 AQI 在 0,100 的频率等于 AQI 在 ,250m 的频率, 因为 AQI 在 0,100 内的频率为 0.6, AQI 在 50,100 内的频率为 0.4, 所以  50,100m , 则 100 0.008 1 0.6 0.6m     , 解得 75m  . 【点睛】本题考查频率直方图,涉及频率直方图的性质,频率和频数的计算,属基础题. 18.a,b,c 分别为 ABC 的内角 A,B,C 的对边,已知 sin ( 3 )sinb A b c B  . - 13 - (1)求 2b ac 的最小值; (2)若 4 cosc a B ,求 A,B,C. 【答案】(1) 4 3 ;(2) 30A   , 60B   , 90C  . 【解析】 【分析】 (1)首先正弦定理的边角互化可得 ( 3 )ab b c b  ,从而可得 3a c b  ,再利用基本不 等式即可求解. (2)利用余弦定理可得 2 2 22 2a c b  ,根据 3a c b  ,解得 2c a ,再求出 3b a , 根据勾股定理可得 90C  ,再根据边长关系即可求解. 【详解】(1)∵ sin ( 3 )sinb A b c B  , ∴ ( 3 )ab b c b  , ∴ 3a b c  , 3a c b  . ∵ 2a c ac  , ∴ 3 2b ac , 当且仅当 3 2a c b  时,等号成立, ∴ 2 4 3 b ac  , 故 2b ac 的最小值为 4 3 . (2)∵ 2 2 2 4 cos 4 2 a c bc a B a ac     , ∴ 2 2 22 2a c b  ; ∵ 3a c b  , - 14 - ∴ 2 2 22 2 3 a ca c       , ∴ 22 0c a  , ∴ 2c a , ∴ 3b a , ∴ 2 2 2 a b c , ∴ 90C  . ∵ 2c a , ∴sin 2sin 1C A  , ∴ 30A   , 60B   , 综上所述: 30A   , 60B   , 90C  . 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形,需熟记定理内容.属于中档题. 19.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 为 AB 的中点,E 为棱 BB1 上一点,且 1AE AC . (1)在下列两个问题中任选一个作答,如果两个都作答,则按第一个解答计分. ①证明:AE⊥平面 A1CD; ②证明:BC1∥平面 A1CD. (2)若 AB=2,AA1=3,求二面角 A1﹣BC1﹣C 的余弦值. 【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2) 3 4  . 【解析】 【分析】 - 15 - (1)选择①,利用已知条件先证CD  面 1 1ABB A ,再利用线面垂直的性质定理推出线线垂 直,结合已知条件即可得出线面垂直;选择②要证线面平行,先证线线平行,通过作辅助线 及题设条件可得OD ∥ 1BC ,从而得到线面平行;(2)建立空间坐标系,找到相关点的坐标, 找出要求的两个面的法向量,再由向量的夹角公式求解. 【详解】(1)选择① 证明:因为 D 为 AB 的中点, AC BC , 所以 CD AB , 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 1AA  面 ABC , 则 1AA CD , 因为 1AB AA A , 所以CD  面 1 1ABB A , 因为 AE  面 1 1ABB A , 所以 CD AE ,又 1 1,AE AC CD AC C  , 所以 AE⊥平面 A1CD. - 16 - 选择② 证明:设 1 1AC AC O  , 因为侧面 1 1ACC A 为平行四边形, 所以O 为线段 1AC 的中点, 连接 OD ,因为 D 为 AB 的中点, 所以 OD ∥ 1BC , 因为 OD  面 1ACD , 1BC  面 1ACD , 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz , 则        1 11,0,0 , 0, 3,0 , 0, 3,0 , 1,0,3B C C A  , 所以      1 1 11, 3,0 , 1, 3,3 , 1, 3,0AC BC BC       , 设面 1 1A BC 的法向量为  , ,m x y z , 则 1 1 1 0AC m BC m       , - 17 - 即 3 3 3 0x y x y z      ,令 3x  ,得  3, 3,2m   , 设面 1BCC 的法向量为  , ,n a b c , 则 1 0BC n BC n       , 即 3 3 3 0a b a b c       ,令 1b  ,得  3,1,0n  . 2 3 3cos , 2 4 4 m nm n m n         , 由图可知,二面角 A1﹣BC1﹣C 为钝角, 故二面角 A1﹣BC1﹣C 的余弦值为 3 4  . 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理,线面垂直的判定和性质定理以及二面角求解 等知识点,旨在考查学生的空间想象能力.属于中档题. 20.直线 l 过点 P(0,b)且与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A,B(A,B 都在 x 轴同侧)两点, 过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C,D. (1)若 b>0,|AC|+|BD|=p,证明:l 的斜率为定值; (2)若 Q(0,﹣b),设△QAB 的面积为 S1,梯形 ACDB 的面积为 S2,是否存在正整数λ,使 3S1=λS2 成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由, 【答案】(1)证明见解析;(2)存在,且 1  . 【解析】 【分析】 (1)设直线 l 方程是 ( 0)y kx b k   ,设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,由|AC|+|BD|= 1 2y y p  , 直线方程与抛物线方程联立 消去 x 后应用韦达定理可得; (2)由(1)直线与抛物线相交得 10 2kb p  ,计算 1 2,S S 并作比 1 2 S S ,假设存在正整数  , 使 1 23S S 成立,由此可得  的范围,在此范围内的只要有正整数即可得结论. 【详解】(1)证明:据题意设直线l 方程是 ( 0)y kx b k   ,设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , ∵|AC|+|BD|=p,∴ 1 2y y p  , - 18 - 由 2 , 2 , y kx b y px     得 2 2 2 0ky py pb   , ∴ 1 2 2py y pk    ,∴ 2k  ,即 l 的斜率为定值; (2)由(1) 24 8 0p pkb    ,即 10 2kb p  , ∵点Q 到直线l 的距离 2 2 1 bd k   ,且 2 1 21AB k x x   , ∴ 1 1 2 1 2S AB d b x x   , 2 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ,2 2 pS AC BD CD y y x x x xk        ∴ 1 2 k b kbS kb S p p p    , ∵ 10 2kb p  ,∴ 10 2 kb p   , 假设存在正整数  ,使 1 23S S 成立,则 10 3 2   , ∴ 30 2   . ∴存在正整数 1  ,使 1 23S S 成立. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题,考查抛物线中的定值问题,存在性问题.解题方 法是“设而不求”的思想方法,设直线方程,设交点坐标 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,直线方程与抛 物线方程联立消元应用韦达定理,把韦达定理所得结论代入其他条件求解. 21.已知函数   cos 3xf x ae x   的图象在点   0, 0f 处的切线与直线 0x y  垂直. (1)判断  f x 的零点的个数,并说明理由; (2)证明:   lnf x x 对  0,x  恒成立. 【答案】(1)1,理由见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用导数运算和导数的几何意义求得 1a  ,当 0x  时,直接分析可得  f x 无零点; - 19 - 当 0x  时,利用指数函数和三角函数的性质可得  ' 0f x  ,得到  f x 的单调性,进而判 定零点个数;(2)首先利用导数可证 1 lnx x  ,于是将问题转化为证明   1f x x  对  0,x  恒成立.作差得到函数        1 cos 2 0xg x f x x e x x x        ,则利用 导数,三角函数的有界性可得  g x 的单调性,从而证得结论. 【详解】(1)解:  ' sinxf x ae x  ,    ' 0 1 1f a      ,则 1a  . 当 0x  时, 0 1xe  , 1 cos 1x   ,则   0f x  ,此时  f x 无零点; 当 0x  时, e 1x  , 1 sin 1x   ,  ' sin 0xf x e x   , 所以  f x 在 0,  上单调递增. 因为  0 0f  ,  2 0f  , 所以  f x 在 0,  上存在唯一的零点. 综上,  f x 的零点的个数为 1. (2)证明:设   1 lnp x x x   ,则    1' 0xp x xx   , 当 0 1x  时,  ' 0p x  ;当 1x  时,  ' 0p x  . 所以    min 1 0p x p  ,则   1 ln 0p x x x    ,即 1 lnx x  . 要证   lnf x x 对  0,x  恒成立,只需证   1f x x  对  0,x  恒成立. 设函数        1 cos 2 0xg x f x x e x x x        , 则  ' 1 sinxg x e x   ,设    'h x g x ,则  ' cosxh x e x  . 因为 0x  ,所以 e 1x  , 1 cos 1x   ,所以  ' 0h x  , 则  h x 在 0,  上单调递增,则    0 0h x h  , 即  ' 0g x  ,从而  g x 在 0,  上单调递增, 于是    0 0g x g  , 故    1 0f x x   ,即   1f x x  对  0,x  恒成立, - 20 - 又 1 lnx x  ,所以   lnf x x 对  0,x  恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数和证明不等式问题,属中高档题,难度较大. (1)中的关键是注意分类讨论;(2)中的关键时要注意利用 1 lnx x  (需证明)将问题转 化为证明   1f x x  ,进而构造函数,利用导数研究单调性并证明. (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题 计分. 22.在极坐标系中,曲线C 由圆 M 与圆 N 构成,圆 M 与圆 N 的极坐标方程为 2cos   , 6cos  ,直线 l 的极坐标方程为   sin cos 4 0k k      . (1)求圆 M 与圆 N 的圆心距; (2)若直线 l 与曲线C 恰有 2 个公共点,求 k 的取值范围. 【答案】(1) 4 ;(2) 2 3 10,4 20       . 【解析】 【分析】 (1)将圆 M 与圆 N 的极坐标方程化为直角坐标方程,求出两圆圆心的直角坐标,然后利用 两点间的距离公式可计算出圆 M 与圆 N 的圆心距; (2)分别求得当直线 l 与圆 M 、圆 N 相切时直线 l 的斜率 k 的值,数形结合可求得当直线 l 与 曲线C 恰有 2 个公共点时,实数 k 的取值范围. 【详解】(1)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy . 由 2cos   ,得 2 2 cos    ,则 2 2 2x y x   ,即 2 21 1x y   , 所以圆 M 的圆心的直角坐标为  1,0M  . 由 6cos  ,得 2 6 cos   ,则 2 2 6x y x  ,即  2 23 9x y   , 所以圆 N 的圆心的直角坐标为  3,0N . 故圆 M 与圆 N 的圆心距 1 3 4MN    ; (2)因为直线l 的极坐标方程为  sin cos 4k     , 所以直线 l 的直角坐标方程为  4y k x  . - 21 - 当直线l 与圆 M 相切时, 2 3 1 1 k k   ,又 0k  ,所以 2 4k  ; 当直线l 与圆 N 相切时, 2 7 3 1 k k   ,又 0k  ,所以 3 10 20k  . 由图象可知,当直线l 与曲线C 恰有 2 个公共点时, k 的取值范围为 2 3 10,4 20       . 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化,同时也考查了利用直线与两圆的 公共点个数求参数,考查数形结合思想的应用,属于中等题. 23.已知函数   1 2f x x x   . (1)求不等式   8f x  的解集; (2)若直线 y kx 与曲线  y f x 仅有1个公共点,求 k 的取值范围. 【答案】(1)  3,3 ;(2)     , 3 2,2 3,      . 【解析】 【分析】 (1)分 1x   、 1 0x ≤ ≤ 、 0 1x  、 1x  解不等式   8f x  ,综合可得出该不等式 的解集; (2)作出函数  y f x 与 y kx 的图象,数形结合可求得实数 k 的取值范围. - 22 - 【详解】(1)当 1x   时,   3 1 8f x x    ,解得 3 1x    ; 当 1 0x ≤ ≤ 时,   1 8f x x   恒成立,则 1 0x ≤ ≤ ; 当 0 1x  时,   1 8f x x   恒成立,则 0 1x  ; 当 1x  时,   3 1 8f x x   ,解得1 3x  . 故不等式   8f x  的解集为 3,3 ; (2)作出函数  y f x (实线)与 y kx (虚线)的图象,如图所示: 直线 y kx 过原点,当此直线经过点 1,2 时, 2k  ; 当此直线与直线 3 1y x  平行时, 3k  . 结合  y f x 的图象的对称性,可得 k 的取值范围为     , 3 2,2 3,      . 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用两函数图象的交点个数求参数 的取值范围,考查分类讨论思想以及数形结合思想的应用,属于中等题. - 23 -
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