【数学】2014高考专题复习：第9章 解析几何 第1节直线和圆 (2)

【数学】2014高考专题复习：第9章 解析几何 第1节直线和圆 (2)

‎【数学】2014版《6年高考4年模拟》‎ 第九章 解析几何 ‎ 第一节直线和圆 第一部分 六年高考荟萃 ‎2013年高考题 一、选择题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知点,直线将△分割为面积相等的两部分,则的取值范围是 （　　）‎ A． B． ( C) D． ‎ 答案：B ‎ 由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，‎ 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0，可得点M在射线OA上．‎ 设直线和BC的交点为 N，则由可得点N的坐标为（，）．‎ ‎①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则﹣=﹣1，且=，解得a=b=．‎ ‎②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即 =，‎ 即 =，解得a=＞0，故有 b＜．‎ ‎③若点M在点A的左侧，则﹣＜﹣1，b＜a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，‎ 则由 求得点P的坐标为（，），‎ 此时，NP==‎ ‎==•．‎ 此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于 ．‎ 由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•••=．‎ 化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．‎ 由于此时 0＜b＜a＜1，所以2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．‎ 两边开方可得 （1﹣b）=＜1，所以1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣．‎ 综合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞1﹣，即b的取值范围是 ，‎ 故选B ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 由图象可知，是一个切点，所以代入选项知，不成立，排除。又直线的斜率为负，所以排除C，选A.‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：C 若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C ． （2013年高考江西卷（理））过点引直线与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线的斜率等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式。由得，设直线方程为，代入整理得，设,则。则三角形AOB的面积为。因为，当且仅当，即，时取等号。此时直线方程为，即，所以直线的斜率为，选B.‎ ．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,之间//,与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点,设弧的长为,,若从平行移动到,则函数的图像大致是 答案：D 本题考查函数图象的识别和判断。设与的距离为，根据题意易知，即。又。‎ 所以，所以易得函数图像为D。‎ ．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图).若光线经过的中心,则等 ‎ （　　）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：D 本题考查直线的斜率以及向量的基本应用。以A为原点AB为x轴建立直角坐标系，取三角形的重心，其关于轴的对称点为关于BC的对称点为，则，，设，则又，所以解得。‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆,圆 ‎,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：A ‎【命题立意】本题考查圆与圆的位置关系以及距离公式。两圆的圆心和半径分别为，。两圆相离。关于的对称圆的方程为，圆心，所以，所以动点P到圆心的距离之和的最小值为，所以的最小值为，选A.‎ 二、解答题 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.‎ x y A l O 解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为 ‎ ‎∴圆的方程为: ‎ 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即 ‎ ‎∴∴∴∴或者 ‎ ‎∴所求圆C的切线方程为:或者即或者 ‎ ‎(2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4) ‎ 则圆的方程为: ‎ 又∵∴设M为(x,y)则整理得:设为圆D ‎ ‎∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点 ‎ ‎∴ ‎ 由得 ‎ 由得 ‎ 终上所述,的取值范围为: ‎ ‎2012年高考题 ．（2012天津理）设,,若直线与圆相切,则的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力. ‎ ‎【解析】∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离为,所以,设, ‎ 则,解得. ‎ ．（2012浙江理）设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的 （　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 【解析】当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0显然平行;若直线l1与直线l2平行,则有:,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件. ‎ ．（2012重庆理）对任意的实数k,直线y=kx+1与圆的位置关系一定是 （　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】圆心到直线的距离为,且圆心不在该直线上. ‎ 法二:直线恒过定点,而该点在圆内,且圆心不在该直线上,故选C. ‎ ‎【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用与的大小为判断.当时,直线与圆相交,当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离. ‎ ．（2012陕西理）已知圆,过点的直线,则 （　　）‎ A．与相交 B．与相切C．与相离D．以上三个选项均有可能 解析: ,所以点在圆C内部,故选A. ‎ ．（2012大纲理）正方形的边长为1,点在边上,点在边上,,动点从出发沿直线向运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点第一次碰到时,与正方形的边碰撞的次数为 （　　）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ 答案B ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可. ‎ ‎【解析】如图,易知.记点为,则 ‎ 由反射角等于入射角知,,得 ‎ 又由得,依此类推, ‎ ‎、、、.由对称性知,点与正方形的边碰撞14次, 可第一次回到点. ‎ 法二:结合已知中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞14次即可. ‎ ．（2012年天津理）如图,已知和是圆的两条弦.过点作圆的切线与的延长线相交于点,过点作的平行线与圆相交于点,与相交于点,,,,则线段的长为______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质. ‎ ‎【解析】∵,,,由相交弦定理得,所以,又∵BD∥CE,∴,=,设,则,再由切割线定理得,即,解得,故. ‎ ．（2012浙江理）定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线l:y=x的距离,则实数a=______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x的距离为:,故曲线C2到直线l:y=x的距离为. ‎ 另一方面:曲线C1:y=x 2+a,令,得:,曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离的点为(,),. ‎ ．（2012上海理）若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示).‎ ‎[解析] 方向向量,所以,倾斜角a=arctan2. ‎ ．（2012山东理）如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在,此时圆上一点的位置在,圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时,‎ 的坐标为______________.‎ ‎【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧,即圆心角,,则,所以,,所以,,所以. ‎ 另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为,且,则点P的坐标为,即. ‎ ．（2012江苏）在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是____.‎ ‎【答案】. 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 ‎ ‎【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1. ‎ ‎∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有 ‎ 公共点; ‎ ‎∴存在,使得成立,即. ‎ ‎∵即为点到直线的距离,∴,解得. ‎ ‎∴的最大值是. ‎ ‎2011年高考题 一、选择题:‎ ‎1．(2011年高考江西卷理科9)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ‎ A．(，) B．(，0)∪(0，)‎ ‎ c．[，] D．(，)∪(，+)‎ 解析：选B ，由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为，故，由此，易得：，又 ‎，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ‎②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点 ‎③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点 ‎④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数 ‎⑤存在恰经过一个整点的直线 ‎2.(2011年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为 ‎ 解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线 相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）‎ 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）证明和均为定值;‎ ‎（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得 ‎，‎ 综上所述，结论成立。‎ ‎ （II）解法一：‎ ‎ （1）当直线的斜率存在时，‎ 由（I）知 因此 ‎ （2）当直线的斜率存在时，由（I）知 所以 ‎ ‎ 所以，当且仅当时，等号成立.‎ 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二：‎ 由（I）得 因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，‎ 而这三点的两两连线中必有一条过原点，‎ 与矛盾，‎ 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.‎ ‎2. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎ （2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ‎ ，若P不在直线MF上，在中有 ‎ ‎ ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎3．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）‎ 已知直线l：y=x+m，m∈R。‎ ‎（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；‎ ‎（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。‎ 解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结 合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）依题意，点P的坐标为（0，m）‎ 因为，所以，‎ 解得m=2，即点P的坐标为（0，2）‎ 从而圆的半径 故所求圆的方程为 ‎（II）因为直线的方程为 所以直线的方程为 由 ‎（1）当时，直线与抛物线C相切 ‎（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。‎ 综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；‎ 当时，直线与抛物线C不相切。‎ ‎4．(2011年高考上海卷理科23)（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点 ‎，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。‎ ‎（1）求点到线段的距离；‎ ‎（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；‎ ‎（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中 ‎，‎ 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②‎ ‎6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。‎ ‎① 。‎ ‎② 。‎ ‎③ 。‎ 解：⑴ 设是线段上一点，则 ‎，当时，。‎ ‎⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，‎ 则，点集由如下曲线围成 ‎，‎ 其面积为。‎ ‎⑶ ① 选择，‎ ‎② 选择。‎ ‎③ 选择。‎ ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010江西理）8.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.‎ 解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；‎ 解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A ‎ ‎2.（2010安徽文）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ‎（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为.‎ ‎【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.‎ ‎3.（2010重庆文）（8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】D 解析：化为普通方程，表示圆，‎ 因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得 法2：利用数形结合进行分析得 同理分析，可知 ‎4.（2010重庆理）(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 解析：数形结合 ‎ ‎ 由圆的性质可知 故 ‎5.（2010广东文）‎ ‎6.（2010全国卷1理）（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎7.（2010安徽理）9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A、 B、 C、 D、和 ‎【答案】 D ‎【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。‎ ‎【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.‎ 二、填空题 ‎1.（2010上海文）7.圆的圆心到直线的距离 。‎ ‎【答案】3‎ 解析：考查点到直线距离公式 圆心（1,2）到直线距离为 ‎2.（2010湖南文）14.若不同两点P,Q的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段PQ的垂直平分线l的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 ‎ ‎【答案】-1 ‎ ‎3.（2010全国卷2理）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.‎ ‎【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵，所以，∴，由球的截面性质，有，∵，所以与 全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得， ‎ O M N E A B ‎4.（2010全国卷2文）（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离 。‎ ‎【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识 ‎∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴ NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵ NE=，ON=3，∴ ，∴ ，∴ MN=3‎ ‎5.（2010山东文）（16） 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为 .‎ 答案：‎ ‎6.（2010四川理）（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .‎ 解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2‎ 圆心到直线的距离为d＝‎ 故 ‎ 得|AB|＝2 答案：2 ‎7.（2010天津文）（14）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。‎ ‎【答案】‎ 本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。‎ 令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为 ‎【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。‎ ‎8.（2010广东理）12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 ‎ ‎12．．设圆心为，则，解得．‎ ‎9.（2010四川文）(14)直线与圆相交于A、B两点，则 .‎ ‎【答案】2 解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2圆心到直线的距离为d＝故 得|AB|＝2 ‎10.（2010山东理）‎ ‎【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：‎ ‎，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。‎ ‎【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。‎ ‎11.（2010湖南理）‎ ‎12.（2010江苏卷）9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________‎ ‎ [解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，‎ 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎2009年高考题 一、选择题 ‎1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ ‎【答案】B ‎2.（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。‎ ‎【答案】B ‎3.（重庆文，1）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。‎ 解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。‎ ‎【答案】A ‎4.（上海文，17）点P（4，－2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是　　　（ ）‎ A.　　　　 　B.‎ C.　　　　　　D.‎ ‎【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：‎ ‎【答案】A ‎5. （上海文，15）已知直线平行，则k得值是（ ） ‎ A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 ‎ ‎【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：＝k－3，解得：k＝5，故选C。‎ ‎【答案】C ‎6. (上海文，18)过圆的圆心，作直线分 别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），‎ 若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）‎ ‎（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 ‎【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面 积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线 AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB只有一条，故选B。‎ ‎【答案】B ‎7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网 A. B.2 C. D.2 ‎ ‎【答案】D 二、填空题 ‎8. （广东文，13）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎【解析】将直线化为,圆的半径,‎ 所以圆的方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎9.（天津理，13）设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______ ‎ ‎【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。‎ ‎【答案】‎ ‎10. （天津文，14）若圆与圆的公共弦长为 ‎，则a=________.‎ ‎【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，‎ 利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1.‎ ‎【答案】1‎ ‎11.（全国Ⅰ文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ‎ ① ② ③ ④ ⑤ ‎ 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）‎ ‎【解析】解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。‎ ‎【答案】①⑤‎ ‎12.（全国Ⅱ理16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。‎ ‎【解析】设圆心到的距离分别为,则.‎ 四边形的面积 ‎【答案】5‎ ‎13.（全国Ⅱ文15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ‎ ‎【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。‎ ‎【答案】 ‎ ‎14.（湖北文14）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，‎ 则线段PQ的长为 。‎ ‎【解析】可得圆方程是 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得.‎ ‎【答案】4‎ ‎15.（江西理16）．设直线系,对于下列四个命题：‎ ‎ ．中所有直线均经过一个定点 ‎ ．存在定点不在中的任一条直线上 ‎ ．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上 ‎ ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．‎ ‎【解析】因为所以点到中每条直线的距离 即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,‎ 所以A错误；‎ 又因为点不存在任何直线上,所以B正确； ‎ 对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确；‎ 中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,‎ 故命题中正确的序号是 B,C.‎ ‎【答案】　‎ 三、解答题 ‎16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分） ‎ 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ 解 (1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 结合点到直线距离公式，得： ‎ 化简得：‎ 求直线的方程为：或，即或 ‎(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： ‎ ‎，即：‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。‎ 由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。 ‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 关于的方程有无穷多解，有： ‎ 解之得：点P坐标为或。‎ ‎2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0,‎ 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）.‎ A．3 B．2 C． D．‎ 答案 A 解析 ，，设底边为 由题意，到所成的角等于到所成的角于是有 再将A、B、C、D代入验证得正确答案 是A。‎ ‎2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线的距离为 （ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ 答案 D 解析 。‎ ‎3.（2008四川４）将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为 ( )‎ A.　 　 B.　　‎ C.　 D.‎ 答案 A ‎4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 （　　　）‎ Ａ．　　　　　　　B． C． D．‎ 答案 D ‎5.（2007重庆文）若直线 与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为 （ ）‎ A.-或 B. C.-或 D.‎ 答案 A ‎6.（2007天津文）“”是“直线平行于直线”的 （ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 二、填空题 ‎8. （2008天津文15，）已知圆C的圆心与点 关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0‎ 与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______. ‎ 答案 ‎ ‎9.（2008四川文14）已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______.‎ 答案 ‎ ‎10.（2008广东理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线 程是 ． ‎ 答案 ‎ ‎ 第二部分 四年联考汇编 ‎2013-2014年联考题 一．基础题组 ‎1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】直线与圆C：交于两点，则的面积为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ 二．能力题组 ‎1.【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 (　　)‎ A．5 B．4 C．2 D．1‎ 三、拔高题组 ‎1. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知圆,圆,分别是圆上的动点, 为轴上的动点,则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ 一．基础题组 ‎1. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷（理）】直线和直线平行，则（ ）‎ A． B． C．7或1 D．‎ ‎2. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷（理）】已知实数满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题】若直线与的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题】已知直线与互相垂直，则 .‎ 二．能力题组 ‎1.【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷（理）】圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题】(本小题满分12分）‎ 已知定点，,直线(为常数). ‎ ‎（1）若点、到直线的距离相等，求实数的值；‎ ‎（2）对于上任意一点，恒为锐角，求实数的取值范围.‎ 试题解析：(1)∵点M,N到直线l的距离相等，‎ 三．拔高题组 ‎1. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学试卷（理）】（本小题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),直线：，设圆的半径为1，圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点A作圆的切线,求切线的方程；‎ ‎ (2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.[学科 ‎2.【玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试高二数学（理科）试卷】(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎ (2）设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.‎ ‎【答案】(1) 或；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎，关于的方程由无穷多解，则有 ‎，故.‎ 考点：(1)点到直线距离公式；（2）方程解的个数问题．‎ ‎ ‎ ‎2012-2013年联考题 ‎1.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D.‎ ‎2.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】在直角坐标系中，直线的倾斜角是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线的斜截式方程为，即直线的斜率，所以，选D.‎ ‎3.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 1或2 C. -2 D. 1或-2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线的方程为，若，则两直线不平行，所以，要使两直线平行，则有，由，解得或。当时，，所以不满足条件，所以，选A.‎ ‎4.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】“”是“直线与圆 相交”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】要使直线与圆 相交，则有圆心到直线的距离。即，所以，所以“”是“直线与圆 相交”的充分不必要条件，选A.‎ ‎5.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】直线与圆相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )‎ A. B.2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为△AOB是直角三角形，所以圆心到直线的距离为，所以，即。所以，由，得。所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为，即，因为，所以当时，为最大值，选A.‎ ‎6.【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（　　）‎ ‎． ． ． ．‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的标准方程为，圆心为,因为点弦的中点，所以,AP的斜率为，所以直线的斜率为2，所以弦 所在直线方程为，即，选D.‎ ‎7.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C）或 （D）或 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。若直线不经过原点，在设直线方程为，即。把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.‎ ‎8.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，即。双曲线的右焦点为，圆心到直线的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。‎ ‎9.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知圆：，则圆心的坐标为 ；‎ 若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.要使直线与圆相切，且切点在第四象限，所以有。圆心到直线的距离为，即，所以。‎ ‎10.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知直线与平面区域C:的边界交于A，B两点，若，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式对应的区域为，因为直线的斜率为1，由图象可知，要使，则，即的取值范围是。‎ ‎11.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大． 因为A（-1，1）、B（2，-4），所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即。‎ ‎12.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离，即，所以。‎ ‎13.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】点在不等式组 表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则 ‎【答案】‎ ‎【解析】做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。‎ ‎14.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ； 若点，则 的最大值为 . ‎ ‎【答案】2；6‎ ‎【解析】如图不等式组对应的平面区域为三角形，由图象知。其中，所以所以三角形的面积为，所以。由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线截距最大，此时也最大，把代入得。‎ ‎15.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】已知点P的坐标，过点P的直线与圆 相交于A、B两点，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】如图，点P位于三角形内。圆的半径为。要使的最小值，则有圆心到直线的距离最大，有图象可知当点P位于E点时，圆心到直线的距离最大，此时直线,所以，所以,即最小值为4.‎ ‎2011-2012年联考题 题组一 一、选择题 ‎1．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是 （ ）‎ ‎ A．相切 B．直线过圆心 ‎ ‎ C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 答案 B.‎ ‎2．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是( ) ‎ ‎ ‎ 答案 A.‎ ‎3、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 C.‎ ‎3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）已知点是曲线C:上的一点，过点与此曲线相切的直线平行于直线，则切线的方程是（ ）‎ A． B．y= [来源:Z&xx&k.Com]‎ C． D．或 答案 A.‎ ‎4. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）设斜率为1的直线与椭圆相交于不同的两点A、B，则使为整数的直线共有（ ） ‎ A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 答案 C.‎ ‎5.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） 已知圆与抛物线的准线相切，则p＝ （ ▲ ）‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ 答案 B.‎ ‎6．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）过点圆的切线,则切线方程为（ ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案 C.‎ ‎7．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知圆关于直线 的最小值是（ ）‎ ‎ A．4 B．6 C． 8 D．9‎ 答案 D.‎ ‎8．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足 ‎，则实数a的值是（ ）‎ ‎（A）2 （B） （C）或 （D）2或 答案 D.‎ ‎9. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）曲线处的切线方程为（ ）[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案 C.‎ ‎10.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（    ） ‎ A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8‎ 答案 A.‎ ‎11.（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理） 若直线是曲线的切线，则=（ ）‎ ‎ 或 答案 D.‎ ‎12．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）“”是“直线”与“直线平行”的 （ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 C．必要不充分条件 ‎ ‎ D．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B.‎ ‎13．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中 ‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 ‎ C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 答案 D.‎ ‎14．（重庆市南开中学2011届高三12月月考文）已知圆C与直线都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为 （ ）[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案 B.‎ 二、填空题 ‎14．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知两点，则直线与轴的交点分有向线段的比为 　　．‎ 答案 2.‎ ‎15. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线，求椭圆的离心率▲▲.‎ 答案 .‎ ‎16．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设直线与圆 相交于、两点，且弦的长为，则　　　　‎ 答案 0.‎ ‎17. （广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆的圆心到直线的距离为 .‎ ‎18．（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）如下图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点， ，，则 .‎ 第3题 答案 ‎ ‎19.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求 ‎=_____________。‎ 答案 0.5‎ ‎20．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考）设圆为常数）被轴所截得弦为AB，若弦AB所对圆心角为，则实数 。[来源:学_科_网]‎ 答案 ‎ 三、简答题 ‎21. （甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）（12分）已知圆C经过P（4，– 2），Q（– 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．‎ ‎（1）求直线PQ与圆C的方程．‎ ‎（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．‎ 答案 （12分）‎ 解：(1) PQ为 ‎ C在PQ的中垂线即y = x – 1上 设C（n，n – 1），则 由题意，有 ∴ ∴ n = 1或5，r 2 = 13或37（舍）‎ ‎∴圆C为 解法二：设所求圆的方程为 由已知得解得 当时，；当时，（舍）‎ ‎∴ 所求圆的方程为 ‎ (2) 设l为 由，得 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ‎∵ ， ∴ [来源:学。科。网]‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∴ m = 3或 – 4（均满足）‎ ‎∴ l为 ‎4y=－x2‎ y=－x2‎ ‎22．（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）‎ ‎（13分）如图，求由两条曲线y=－x2，4y=－x2‎ 及直线y=－1所围成图形的面积.‎ 答案 （13分）如图，求由两条曲线y=－x2，4y=－x2‎ 及直线y=－1所围成图形的面积.‎ ‎ 解：（理）由对称性，所求图形面积为位于y轴在侧图形面积 ‎ 的2倍…2分由得C（1，－1）同理得D（2，－1）……5分 ‎∴所求图形的面积……8分[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ‎ ‎4y=－x2‎ y=－x2‎ ‎……13分 ‎（理科图）‎ ‎23. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）（本小题满分14分）已知圆O：，点O为坐标原点,一条直线：与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B ‎ （1）设,求的表达式； ‎ ‎ （2）若，求直线的方程；‎ ‎ （3）若，求三角形OAB面积的取值范围.‎ 答案 【解】 （1）与圆相切,则,即,‎ 所以.……………………………4分 ‎（2）设则由，消去 得:‎ 又，所以 …………6分 则由, 所以所 ……………………8分 所以. …………………9分 ‎（3）由（2）知： 所以 ‎ ………………………12分 由弦长公式得所以 解得 ………………………14分 ‎24．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）（12分）已知圆及定点，点是圆上的动点，‎ ‎ 点在上，点在上，且满足，．‎ ‎ （1）求的轨迹的方程；‎ ‎ （2） 过点作直线，与曲线交于两点，为坐标原点，设，是否存在这样的直线，使四边形的对角线相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ 答案 24. （1），所以椭圆方程为 ‎（2）四边形为平行四边形，又其对角线相等，则 当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等；‎ 当直线的斜率存在时，设直线，联立 ‎，‎ 整理得（*）‎ 代入得 所以存在直线 ‎25．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）（12分）已知直线 与圆相交于两点，为坐标原点，的面积为．‎ ‎ （1）试将表示成的函数，并求出其定义域；‎ ‎ （2）求的最大值，并求取得最大时的值．‎ 答案 25. （1）设圆心到直线的距离为，则，所以，故 ‎ （2）‎ ‎ 当且仅当时取等号，此时 题组二 一、 选择题 ‎1．（广东省河源市龙川一中2011届高三理）‎ 平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为（ ）[来源:Z&xx&k.Com]‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ 答案 B.‎ 二、填空题 ‎2．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）函数的图象关于直线对称．则_____________．‎ 答案 2. ‎ ‎3．（广东省湛江一中2011届高三10月月考理）‎ 如图，为圆的直径，弦、交于，若，，则 A B C D O P ‎．‎ 答案 3．答：．连结AD,OD,OC,则 ‎4．（2011湖南嘉禾一中）（本题满分13 分）‎ ‎ 已知椭圆的右焦点F 与抛物线y2 = 4x 的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴．‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；‎ ‎ （2）求证：线段EF被直线AC 平分．‎ 答案 解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为……1分 ‎ 的焦点为F（1，0）‎ ‎ ‎ ‎ ……………………3分 ‎ 所以，椭圆的标准方程为 ‎ 其离心率为 ……………………5分 ‎ （2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，‎ ‎ ∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则 ‎ 若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1）‎ ‎ ∴AC的中点为 ‎ ∴线段EF的中点与AC的中点重合，‎ ‎ ∴线段EF被直线AC平分，…………………………6分 ‎ 若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为 ‎ ‎ ‎ 则…………………………7分 ‎ 把[来源:学科网ZXXK]‎ 得 ………………8分 则有………………9分 ‎∴‎ ‎……………………10分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，‎ ‎∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分 ‎5．（江苏泰兴2011届高三理）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为 ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）是否存在最小的正整数，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数，如果不存在，请说明理由。‎ 答案 5．依题意，得 ‎ 因为…………6分 ‎ （II）令…………8分 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 又 ‎ 因此， 当…………12分 ‎ 要使得不等式恒成立，则 ‎ 所以，存在最小的正整数使得不等式恒成立 ‎6．（福建省福州八中2011届高三文）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆经过点（0，1），离心率 ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设直线与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A’.试问：当m变化时直线与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。‎ 答案 6．解：（I）依题意可得 …………2分 ‎ 解得 …………3分 ‎ 所以椭圆C的方程是 …………4分 ‎ （II）由 ‎ 得即且△>0恒成立.…………6分 记，则 ‎ …………8分 ‎∴的直线方程为 …………9分 ‎ 令y=0，得 …………10分 又， …………11分 ‎ ∴ …………12分 ‎ …………13分 ‎ 这说明，当m变化时，直线与x轴交于点S（4，0） …………14分 ‎7. （河北省唐山一中2011届高三理）已知过点（1,1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.‎ 答案 4.设直线l方程为,则P（），…………2分 从而PR和QS的方程分别为，……5分[来源:学科网ZXXK]‎ 又，又 四边形PRSQ为梯形………………………………9分[来源:学科网ZXXK]‎ 四边形PRSQ的面积的最小值为 ……………… 12分 ‎8. （福建省四地六校联考2011届高三理）（本小题满分14分）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）(本小题满分7分) 选修4-2:矩阵与变换 已知，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵。‎ ‎（2）（本题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：。‎ ①将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ②判断直线和圆的位置关系。‎ ‎（3）（本题满分7分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ①解不等式；‎ ②证明：对任意，不等式成立.‎ ‎ 答案 5、（1） 设为直线上任意一点其在M的作用下变为 则 代入得： ……………3分 其与完全一样得 则矩阵 则 ……………7分 ‎（2） 解：①消去参数，得直线的普通方程为 ……………3分 ‎，即，‎ 两边同乘以得，‎ 得⊙的直角坐标方程为 ………5分 ②圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交…7分 ‎（3）①由，解得 ‎∴原不等式的解集为 ……………………3分 x y ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎-2‎ ②证明：即 令及由图得 当，不等式成立. ……………………7分 ‎2010年联考题 ‎1.（马鞍山学业水平测试）如果方程表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是 A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) 　D. (0,1)‎ 答案 D ‎2.（池州市七校元旦调研）已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( ) ‎ ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ 答案 B ‎ 解:设切点，则,又 ‎.故答案选B ‎3.曲线在点处的切线方程为 （ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B 解：,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎4.（昆明一中三次月考理）是圆上任意一点，若不等式恒成立，则c的取值范围是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案：B ‎5.（岳野两校联考）若直线和圆O：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）‎ A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个 答案 B ‎6．（昆明一中四次月考理）已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是（ ）‎ ‎（A）2 （B） （C）或 （D）2或 答案：D ‎7．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）圆的方程为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最小值是 （ ）‎ A．12 B．10 C．6 D．5‎ 答案C ‎8.（马鞍山学业水平测试）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　　　　　　　　　　.　 ‎ 答案 .‎ ‎9．（安庆市四校元旦联考）已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 .‎ 答案 ‎ ‎10. （安庆市四校元旦联考）设直线的方程为，将直线绕原点 按逆时针方向旋转得到直线，则的方程是 。‎ 答案 ‎ ‎11．（安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）如图，在矩形中，‎ ‎，以为圆心1为半径的圆与交于（圆弧为圆在矩形内的部分）‎ ‎（Ⅰ）在圆弧上确定点的位置，使过的切线平分矩形ABCD的面积；‎ ‎（Ⅱ）若动圆与满足题（Ⅰ）的切线及边都相切，试确定的位置，使圆为矩形内部面积最大的圆．‎ 解（Ⅰ）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．‎ 设，，，圆弧的方程 切线l的方程：（可以推导：设直线的斜率为，由直线与圆弧相切知：，所以，从而有直线的方程为，化简即得）．‎ 设与交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面积，‎ ‎ ……①‎ 又……② 解①、②得：．‎ ‎（Ⅱ）由题（Ⅰ）可知：切线l的方程：，‎ 当满足题意的圆面积最大时必与边相切，设圆与直线、分别切于，则（为圆的半径）．‎ ‎，由．‎ 点坐标为．‎ 注意：直线与圆应注意常见问题的处理方法，例如圆的切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思路。‎