2019年高考数学练习题汇总压轴小题突破练(1)
压轴小题突破练(1)
1．已知M是函数f(x)＝e－2|x－1|＋2sin在x∈[－3，5]上的所有零点之和，则M的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 因为f(x)＝e－2|x－1|＋2sin＝e－2|x－1|－2cos πx，
所以f(x)＝f(2－x)，
因为f(1)≠0，
所以函数零点有偶数个，两两关于x＝1对称．
当x∈[1,5]时，y＝e－2(x－1)∈(0,1]，且单调递减；
y＝2cos πx∈[－2,2]，且在[1,5]上有两个周期，
因此当x∈[1,5]时，y＝e－2(x－1)与y＝2cos πx有4个不同的交点，
从而所有零点之和为4×2＝8，故选C.
2．设函数f(x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－3x＋1)，若对任意的x1∈[0，＋∞)，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的最大值为( )
A．2 B. C．4 D.
答案 B
解析 设g(x)＝ln(ax2－3x＋1)的值域为A，
因为f(x)＝1－在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A，
所以h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，
所以实数a需要满足a≤0或
解得a≤.所以实数a的最大值为，故选B.
3．已知函数f(x)＝x2＋ex(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，e) B. C. D.
答案 A
解析 由已知得，方程f(x)＝g(－x)在x<0时有解，
即ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，
令m(x)＝ex－ln(－x＋a)，x<0，
则m(x)＝ex－ln(－x＋a)在其定义域上是增函数，且x→－∞时，m(x)<0，当a≤0，x→a时，m(x)>0，
故ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，a)上有解，符合要求．
当a>0时，则ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解可化为e0－ln a>0，即ln a<1，故0
0，函数f(x)＝若关于x的方程f(－f(x))＝e－a＋有三个不等的实根，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 当x＜0时， f(x)为增函数，
当x≥0时， f′(x)＝ex－1＋ax－a－1, f′(x)为增函数，
令f′(x)＝0，解得x＝1，
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
最小值为f＝0.
由此画出函数f(x)的图象如图所示．
令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，
则有解得－a＝t－1，
所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1.
所以方程要有三个不同的实数根，
则需＜a－1＜＋，
解得2＜a＜＋2.
5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(x＜0)，g(x)＝ln x(x>0)，其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为( )
A．(－1＋ln 2，＋∞) B．(－1－ln 2，＋∞)
C. D．(ln 2－ln 3，＋∞)
答案 A
解析 f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为
y－＝·(x－x1)，
即y＝x－x＋a.
g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为
y－ln x2＝·(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0,
由①②得a＝x＋ln x2－1＝x＋ln－1
＝x＋ln 2－ln(x1＋1)－1,
设h(t)＝t2＋ln 2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)，
则h′(t)＝t－＝＜0，
所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数，
则h(t)＞h(0)＝－1＋ln 2，
所以a＞－1＋ln 2，
而当t∈(－1,0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大，
所以a的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞)．
6．若方程＝kx－2恰有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(－2，－1)∪(0,4) B.∪
C.∪(1,4) D．(0,1)∪(1,4)
答案 D
解析 方法一 代数求解：方程可化为或或经检验知，当k＝±1或k＝－2时，方程均有一个实根，不满足条件，故k≠±1，且k≠－2，所以要使方程＝kx－2恰有两个不同的实根，只需解得k∈(0,1)∪(1,4)．
方法二 几何求解：求方程＝kx－2恰有两个不同的实根时实数k的取值范围，即求函数y＝的图象与直线y＝kx－2有两个不同的交点时k的取值范围，作出图象如图所示，由图知k∈(0,1)∪(1,4)．
7．已知定义在[0,1]上的函数满足：
(1)f(0)＝f(1)＝0；
(2)对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|时，|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<|x－1|＋|y－0|＝－(x－y)＋<，所以kmin＝.故选B.
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a，b，c∈N*，函数f(x)在上有两个零点，则a＋b＋c的最小值为( )
A．38 B．39
C．40 D．41
答案 D
解析 由题意，考虑到f(0)＝c>0，
于是条件等价于
即2b1，从而a>b>2.
这样就得到a>16，进而b>2>8，
于是b≥9，而a>2b≥18，
当b≥13时，有a＋b＋c>>>40.
当9≤b≤12时，≤<2.
于是c＝1，且4b－160，
可解得4c0，可推得b<0且c>0，②
<1，可推得b>－2且c＋b＋1>0.③
由②③式可知－25时，|t－a|＋a>5，不合题意．
③当45，不合题意．
综上，a的取值范围是.
13．已知实数x，y满足3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，则x＋y＝________.
答案
解析 设f(t)＝ln t－t＋1，令f′(t)＝－1＝0，
得t＝1，所以当00，
当t>1时，f′(t)<0，
因此f(t)≤f(1)＝0，即ln t≤t－1，
所以ln(x＋2y－3)≤x＋2y－3－1，
ln(2x－3y＋5)≤2x－3y＋5－1，
因此ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)≤x＋2y－3－1＋2x－3y＋5－1＝3x－y，
因为3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，
所以x＋2y－3＝1,2x－3y＋5＝1，
所以x＝，y＝，
所以x＋y＝.
14．已知函数f(x)＝
①若f(x)＝a有且只有一个根，则实数a的取值范围是________；
②若关于x的方程f(x＋T)＝f(x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是_____．
答案 ①(1，＋∞) ②(－4，－2)∪(2,4)
解析 ①作出函数f(x)的图象，f(x)＝a有且只有一个根等价于y＝f(x)的图象与y＝a只有一个交点，故可得a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)；②方程f(x＋T)＝f(x)有且仅有3个不同的实根等价于y＝f(x＋T)的图象与y＝f(x)的图象有3个交点，而y＝f(x＋T)的图象是将y＝f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位长度，故可得T的取值范围是(－4，－2)∪(2,4)．
15．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 作出f(x)的图象如图所示，当y＝的图象经过点(0,2)时，可知a＝±2.当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a＝2.
要使f(x)≥在R上恒成立，只需f(0)≥|a|，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0；当a>0时，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.
16．当x∈时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，则6a＋b的最大值是________．
答案 6
解析 ∵当x∈时，不等式|ax2＋bx＋4a|≤2x恒成立，
∴≤2，即≤2，
设f(x)＝ax＋b＋＝a＋b，x＋∈[4,5]，
∵|f(x)|≤2，∴
∴6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)，
∴－2＋2×(－2)≤6a＋b＝－(4a＋b)＋2(5a＋b)≤2＋2×2，
∴6a＋b的最大值为6.
17．设a，b∈R，af(b)，
可得g(x)＝f(a)＝－a－x，
当－x≤a，即x≥－a时，区间[a，b]为增区间，
可得g(x)＝f(b)＝b＋x.
则g(x)＝
当x≤－b，g(x)≥b－a；
当－≤x<－a时，g(x)≥(b－a)；
当－b(b－a)；
当x≥－a时，g(x)≥b－a，
则g(x)的最小值为(b－a)．
