高考数学专题复习练习：高考专题突破五
1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2 C. D.
答案 D
解析 如图，
设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，
∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，
∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，
x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝，选D.
2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.
由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝＝＝8.
由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，
所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.
3．(2017·太原质检)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，
将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，
则|CD|＝|x1－x2|＝.
又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，
所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD|
＝(d1＋d2)·|CD|＝··
＝ab·.
令t＝，
则t2＝＝1＋2ab·
＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，
当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，
所以S四边形ACBD的最大值为ab.
由条件，有ab＝2c2，
即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，
解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.
4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案 2
解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．
∵四边形OABC为正方形且边长为2，
∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．
答案 －＝1
解析 由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，
双曲线的方程为－＝1.
题型一 求圆锥曲线的标准方程
例1 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝，
设直线方程为y＝(x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝＝2，
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．
(2015·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
答案 D
解析 双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，
则a2＋b2＝4，①
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝，②
联立①②解得b＝，a＝1，
所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.
题型二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2015·湖南)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．
答案 (1)D (2)
解析 (1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
(2)由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴F，
|AB|＝|AF|＝p，
可得A(p，p)．
易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，
故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×
＝p2＝3，
∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.
思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．
已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q
是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．
答案 －1
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.
当x＝时，代入抛物线方程得
y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.
所以|PE|＝ ＝p，
|PF|＝p，|EF|＝p.
故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.
题型三 最值、范围问题
例3 若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．
解 (1)由题意，可得c＝2，＝，
所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，
解得a＝，b＝1.
故双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为
y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，
所以x1＋x2＝，
Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0⇒0
b>0)和椭圆T2：＋＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”．
(1)若“猫眼曲线”Γ过点M(0，－)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”Γ的方程；
(2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；
(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值．
(1)解 由题意知，b＝，＝＝，
∴a＝2，c＝1，
∴T1：＋＝1，T2：＋x2＝1.
(2)证明 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，
线段CD的中点为M(x0，y0)，
∴x0＝，y0＝，
由得
＋＝0.
∵k存在且k≠0，∴x1≠x2且x0≠0，
故上式整理得·＝－，
即k·kOM＝－.
同理，k·kON＝－2，∴＝.
(3)解 设直线l的方程为y＝x＋m，
联立方程得
整理得(b2＋2c2)x2＋2mc2x＋m2c2－b2c2＝0，
由Δ＝0化简得m2＝b2＋2c2，
取l1：y＝x＋.
联立方程
化简得(b2＋2a2)x2＋2ma2x＋m2a2－b2a2＝0.
由Δ＝0得m2＝b2＋2a2，
取l2：y＝x－，
l1，l2两平行线间距离
d＝，
又|AB|＝，
∴△ABN的面积最大值为S＝|AB|·d
＝.
题型四 定值、定点问题
例4 (2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解 (1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．
思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
(1)解 由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，
令x＝0，得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|＝·
＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
∴|AN|·|BM|＝4.
故|AN|·|BM|为定值．
题型五 探索性问题
例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
解 (1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设M(x，y)，
∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知MC1⊥MO，
∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，
∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，
解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，
化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴0时，
①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；
②若x＝是方程的解，则f＝0⇒k＝±⇒另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一根，满足题意；
③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f
eq lc(
c)(avs4alco1(f(5,3)))·f(3)<0⇒－0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
(1)解 由题意知F(，0)．
设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为(，0)．
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)①证明 由(1)知F(1,0)．
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)．
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0，得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)，
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)．
由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1,0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，
所以直线AE过定点F(1,0)．
②解 由①知直线AE过焦点F(1,0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1.
因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.
设B(x1，y1)．直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0，
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝＝4.
则△ABE的面积
S＝×4≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
1．(2017·石家庄质检)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.
又原点O到直线DF的距离为，
∴＝，∴bc＝，
又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.
∵2＝4·，
即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，
即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
∴4[－2×＋4](1＋k2)＝4×＝5，
解得k＝±，
k＝－不符合题意，舍去．
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围．
解 (1)由双曲线－＝1的焦距为3，
得c＝，∴a2＋b2＝.①
由题意知＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知P(－，0)．
设G(x0，y0)，由＝2，
得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)．
即解得∴G(－，0)．
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
||2＋||2＝(x1＋)2＋y＋(x1－)2＋y
＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋
＝x＋.
又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，
∴≤x＋≤，
∴||2＋||2的取值范围是[，]．
3．(2016·北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，
从而椭圆的半焦距c＝＝1.
所以椭圆的离心率为e＝＝.
(2)依题意，直线BC的斜率不为0，
设其方程为x＝ty＋1.
将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，
从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．
假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，
则有·＝0.
所以(p－4)2＋＝0.
将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得
(p－4)2＋＝0，
所以(p－4)2＋＝0，
即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.
所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，
使得MP⊥NP.
*4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，过它的左，右焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2（如图所示）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围．
解 (1)由＝⇒a＝2c，∴a2＝4c2，b2＝3c2，
将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，
则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S＝6.
若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，
则l2的斜率为－，
则直线l1的方程为y＝k(x＋1)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.①
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝，②
注意到方程①的结构特征和图形的对称性，
可以用－代替②中的k，得|CD|＝，
∴S＝|AB|·|CD|＝，
令k2＝t∈(0，＋∞)，
∴S＝＝
＝6－≥6－＝，
当且仅当t＝1时等号成立，∴S∈[，6)，
综上可知，四边形ABCD的面积S∈[，6]．
