高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.5.3 定积分的概念
1.5.3 定积分的概念
明目标、知重点
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．
2．理解定积分的几何意义．
3．掌握定积分的基本性质．
定积分
概念
一般地，如果函数 f(x)在区间 a，b]上连续，用分点 a＝x0
0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)b－a
n
≤0.从而定积分ʃb
af(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即
ʃb
af(x)dx＝－S.
当 f(x)在区间 a，b]上有正有负时，定积分ʃb
af(x)dx 表示介于 x 轴、函数 f(x)的图象及直线 x
＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负)．(如图
②)，即ʃb
af(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例 2 利用几何意义计算下列定积分：
(1)ʃ3
－3 9－x2dx；(2)ʃ3
－1(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆，
其面积为 S＝1
2
·π·32.
由定积分的几何意义知ʃ3
－3 9－x2dx＝9
2
π.
(2)由直线 x＝－1，x＝3，y＝0，以及 y＝3x＋1 所围成的图形，如图所示：
ʃ3
－1(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y＝3x＋1 所围成的图
形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积，
∴ʃ3
－1(3x＋1)dx＝1
2
×(3＋1
3
)×(3×3＋1)－1
2
(－1
3
＋1)×2＝50
3
－2
3
＝16.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正
确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)ʃ1
－1xdx；(2)ʃ2π
0 cos xdx；(3)ʃ1
－1|x|dx.
解 (1)如图(1)，ʃ1
－1xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)，ʃ2π
0 cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ʃ1
－1|x|dx＝2A1＝2×1
2
＝1.
(A1，A2，A3 分别表示图中相应各处面积)
探究点三 定积分的性质
思考 1 定积分的性质可作哪些推广？
答 定积分的性质的推广
①ʃb
af1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝ʃb
af1(x)dx±ʃb
af2(x)dx±…±ʃb
afn(x)dx；
②ʃb
af(x)dx＝ʃc1af(x)dx＋ʃc2c1f(x)dx＋…＋ʃbcnf(x)dx(其中 n∈N*)．
思考 2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
答 奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分
①若奇函数 y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃa
－af(x)dx＝0.
②若偶函数 y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则ʃa
－ag(x)dx＝2ʃa
0g(x)dx.
例 3 计算ʃ3
－3( 9－x2－x3)dx 的值．
解 如图，
由定积分的几何意义得ʃ3
－3 9－x2dx＝π×32
2
＝9π
2
，
ʃ3
－3x3dx＝0，由定积分性质得
ʃ3
－3( 9－x2－x3)dx＝ʃ3
－3 9－x2dx－ʃ3
－3x3dx＝9π
2
.
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相
关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练 3 已知ʃ1
0x3dx＝1
4
，ʃ2
1x3dx＝15
4
，ʃ2
1x2dx＝7
3
，ʃ4
2x2dx＝56
3
，求：
(1)ʃ2
03x3dx；(2)ʃ4
16x2dx；(3)ʃ2
1(3x2－2x3)dx.
解 (1)ʃ2
03x3dx＝3ʃ2
0x3dx＝3(ʃ1
0x3dx＋ʃ2
1x3dx)
＝3×(1
4
＋15
4
)＝12；
(2)ʃ4
16x2dx＝6ʃ4
1x2dx＝6(ʃ2
1x2dx＋ʃ4
2x2dx)＝6×(7
3
＋56
3
)＝126；
(3)ʃ2
1(3x2－2x3)dx＝ʃ2
13x2dx－ʃ2
12x3dx
＝3ʃ2
1x2dx－2ʃ2
1x3dx＝3×7
3
－2×15
4
＝7－15
2
＝－1
2
.
1．下列结论中成立的个数是( )
①ʃ1
0x3dx＝错误!
i3
n3·1
n
；
②ʃ1
0x3dx＝lim
n→∞
错误!i－13
n3 ·1
n
；
③ʃ1
0x3dx＝lim
n→∞
错误!
i3
n3·1
n
.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②③成立．
2．定积分ʃb
af(x)dx 的大小( )
A．与 f(x)和积分区间 a，b]有关，与ξi 的取法无关
B．与 f(x)有关，与区间 a，b]以及ξi 的取法无关
C．与 f(x)以及ξi 的取法有关，与区间 a，b]无关
D．与 f(x)、积分区间 a，b]和ξi 的取法都有关
答案 A
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①ʃ1
0xdx________ʃ1
0x2dx；
②ʃ2
0 4－x2dx________ʃ2
02dx.
答案 ①> ②<
4．若ʃT
0x2dx＝9，则常数 T 的值为________．
答案 3
解析 令 f(x)＝x2.
(1)分割
将区间 0，T]n 等分，则Δx＝T
n
.
(2)近似代替、求和
取ξi＝Ti
n
(i＝1,2，…，n)，
Sn＝错误!(Ti
n
)2·T
n
＝T3
n3错误!2＝T3
n3(12＋22＋…＋n2)
＝T3
n3·nn＋12n＋1
6
＝T3
6
(1＋1
n
)(2＋1
n
)．
(3)取极限
S＝lim
n→∞
T3
6
×2＝T3
3
＝9,
∴T3＝27，∴T＝3.
呈重点、现规律]
1．定积分ʃb
af(x)dx 是一个和式 错误!
b－a
n
f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用
几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、基础过关
1．下列命题不正确的是( )
A．若 f(x)是连续的奇函数，则ʃa
－af(x)dx＝0
B．若 f(x)是连续的偶函数，则ʃa
－af(x)dx＝2ʃa
0f(x)dx
C．若 f(x)在 a，b]上连续且恒正，则ʃb
af(x)dx>0
D．若 f(x) 在 a，b]上连续且ʃb
af(x)dx>0，则 f(x)在 a，b]上恒正
答案 D
解析 对于 A，f(－x)＝－f(x)，ʃa
－af(x)dx
＝ʃ0
－af(x)dx＋ʃa
0f(x)dx＝－ʃa
0f(x)dx＋ʃa
0f(x)dx＝0，同理 B 正确；由定积分的几何意义知，当
f(x)>0 时，ʃb
af(x)dx>0 即 C 正确；但ʃb
af(x)dx>0，不一定有 f(x)恒正，故选 D.
2．已知定积分ʃ6
0f(x)dx＝8，且 f(x)为偶函数，则ʃ6
－6f(x)dx 等于( )．
A．0 B．16 C．12 D．8
答案 B
解析 偶函数图象关于 y 轴对称，
故ʃ6
－6f(x)dx＝2ʃ6
0f(x)dx＝16，故选 B.
3．已知ʃt
0xdx＝2，则ʃ0
－txdx 等于( )
A．0 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x 在－t，t]上是奇函数，
∴ʃt
－txdx＝0.而ʃt
－txdx＝ʃ0
－txdx＋ʃt
0xdx，
又ʃt
0xdx＝2，
∴ʃ0
－txdx＝－2.故选 D.
4．由曲线 y＝x2－4，直线 x＝0，x＝4 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A．ʃ4
0(x2－4)dx
B.|ʃ 4
0x2－4dx|
C．ʃ4
0|x2－4|dx
D．ʃ2
0(x2－4)dx＋ʃ4
2(x2－4)dx
答案 C
5．设 a＝ʃ1
0x1
3
dx，b＝ʃ1
0x2dx，c＝ʃ1
0x3dx，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
答案 B
解析 根据定积分的几何意义，易知ʃ1
0x3dx<ʃ1
0x2dx<ʃ1
0x1
3
dx，a>b>c，故选 B.
6．若ʃa
－a|56x|dx≤2 016，则正数 a 的最大值为( )
A．6 B．56 C．36 D．2 016
答案 A
解析 由ʃa
－a|56x|dx＝56ʃa
－a|x|dx≤2 016，
得ʃa
－a|x|dx≤36，∴ʃa
－a|x|dx＝2ʃa
0xdx＝a2≤36，
即 0
查看更多
