人教A版选修1-11-4全称量词与存在量词（含答案）

人教A版选修1-11-4全称量词与存在量词（含答案）

§1.4.1 全称量词与存在量词 【学情分析】： 1、 本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在 量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的 形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法； 2.全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等 词可统称为全称量词，记作 x 、 y 等； 3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在 量词，记作 x ， y 等； 4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题； 全称命题的格式：“对 M 中的所有 x，p(x)”的命题，记为: , ( )x M p x  存在性命题的格式：“存在集合 M 中的元素 x0，q(x0)”的命题，记为:  x0∈M，p（ x0） 5.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题. 6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。 【教学目标】： （1）知识目标： 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； （2）过程与方法目标： 能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容； （3）情感与能力目标： 培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力. 【教学重点】： 理解全称量词与存在量词的意义； 【教学难点】： 全称命题和特称命题真假的判定. 【教学过程设计】： 教 学 环 节 教学活动 设计意图 情 境 引 入 问题 1： 下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？ （1）x＞3； （2）2x+1 是整数； （3）对所有的 x∈R，x＞3； （4）对任意一个 x∈Z，2x+1 是整数； 通过数学实例，理 解全称量词的意义 知 识 建 构 定义： 1．全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所 有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“ x ”表示，读作“对任 意 x ”。 2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。 一般用符号简记为“ )(, xpMx  ”。读作“对任意的 x 属于 M，有 p （x）成立。（其中 M 为给定的集合， )(xp 是关于 x 的命题。）例如“对 任意实数 x，都有 02 x ”可表示为 2, 0x R x   。 引导学生通过 通过一些数学实例 分析，概括出一般 特征。 自 主 学 习 1、引导学生阅读教科书 P22 上的例 1 中每组全称命题的真假，纠正 可能出现的逻辑错误。 规律：全称命题 )(, xpMx  为真，必须对给定的集合的每一个元 素 x, )(xp 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内 找出一个 0x ，使 )( 0xp 为假 巩 固 练 习 课本 P23 练习 1 学 生 探 究 问题 2： 下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？ （1）2x+1=3； （2）x 能被 2 和整除； （3）存在一个 x0∈R，使 2x0+1=3； （4）至少有一个 x0∈Z ，x0 能被 2 和 3 整除； 通过数学实例，理 解存在量词的意义 知 识 建 构 ： 定义： （1）存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一 个”，“存在一个”,“有点”,“有些” 、至少有一个等。通常用符号 “ x ”表示，读作“存在 x ”。. （2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式  x0∈M，p（ x0）， 读作 “存在一个 x0 属于 M，有 p（x0）成立。（其中 M 为给定的集合，p （x0）是关于 x0 的命题。）例如“存在有理数 x0，使 022 x ” 可表 示为 2, 2 0x Q x    . 引导学生通过 通过一些数学实例 分析，概括出一般 特征。 自 主 学 习 1、引导学生阅读教科书 P23 上的例 2，判断每组特称命题的真假，纠正 可能出现的逻辑错误。 特称命题  x0∈M，p（ x0）为真，只要在给定的集合 M 中找出一个元素 x0，使命题 P（x0）为真，否则为假； 通过实例，使学生 会判断每组特称命 题的真假 课 堂 练 习 1．课本 P23 练习 2 通过练习，反馈学 生对本节课所学知 识理解和掌握的程 度 补充练习： 1．判断以下命题的真假： （1） 2,x R x x   （2） 2,x R x x   （3） 2, 8 0x Q x    （4） 2, 2 0x R x    分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真； 2．指出下述推理过程的逻辑上的错误： 第一步：设 a=b，则有 a2=ab 第二步：等式两边都减去 b2，得 a2-b2=ab-b2 第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以 a-b 得，a+b=b 第五步：由 a=b 代人得，2b=b 第六步：两边都除以 b 得，2=1 分析：第四步错：因 a-b＝0，等式两边不能除以 a-b 第六步错：因 b 可能为 0，两边不能立即除以 b，需讨论。 心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)  a+b=b 是存在性命题，不是全称命题，由 此得到的结论不可靠。 同理，由 2b=b 2=1 是存在性命题，不是全称命题。 3．判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符 号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0 不能作除数； （3）任何一个实数除以 1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向； 分析：（1）全称命题，  河流 x∈{中国的河流}，河流 x 注入太平洋； （2）存在性命题，  0∈R，0 不能作除数； （3）全称命题，  x∈R， 1 x x ； （4）全称命题，  a  ， a  有方向； 小结 1．全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所 有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“ x ”表示，读作“对任 意 x ”。 2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。 一般用符号简记为“ )(, xpMx  ”。读作“对任意的 x 属于 M，有 p （x）成立。（其中 M 为给定的集合， )(xp 是关于 x 的命题。）例如“对 归纳整理本节课所 学知识 任意实数 x，都有 02 x ”可表示为 2, 0x R x   。 （1）存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一 个”，“存在一个”,“有点”,“有些” 、至少有一个等。通常用符号 “ x ”表示，读作“存在 x ”。. （2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式  x0∈M，p（ x0）， 读作“存在一个 x0 属于 M，有 p（x0）成立。（其中 M 为给定的集合，p （x0）是关于 x0 的命题。）例如“存在有理数 x0，使 022 x ” 可表 示为 2, 2 0x Q x    . 布 置 作业 1． 课本 P26A 组 1、2； 2． 完成课后练习 课后练习 1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ） A．所有奇数都是质数 B． 2, 1 1x R x    C．对每个无理数 x，则 x2 也是无理数 D．每个函数都有反函数 2．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ） A． ,x y R  ，都有 2 2 2x y xy  B． ,x y R  ，都有 2 2 2x y xy  C． 0, 0x y   ，都有 2 2 2x y xy  D． 0, 0x y   ，都有 2 2 2x y xy  3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是 A． 2, 1 0x R x    B． 2, 1 0x R x    C． ,sin tanx R x x   D． ,sin tanx R x x   4．下列命题中的假命题是（ ） A．存在实数α和β，使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B．不存在无穷多个α和β，使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C．对任意α和β，使 cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ D．不存在这样的α和β，使 cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ 5．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是 0 的整数，可以被 2 整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等； A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列存在性命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A §1.4.2 全称量词与存在量词 【学情分析】： （1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的 变化规律； （2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一 个量词的命题进行否定； （3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规 律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。 【教学目标】： （1）知识目标： 通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义.能正确地对含有一个量词的命 题进行否定； （2）过程与方法目标： 进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力； （3）情感与能力目标： 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力。 【教学重点】： 通过探究，了解含有一个量词的命题与他们的否定在形式上的变化规律，会正确的对含有一个量词的 命题进行否定。 【教学难点】： 正确的对含有一个量词的命题进行否定。 【教学过程设计】： 教 学 环 节 教学活动 设计意图 复 习 引 入 判断下列命题是全称命题,还是特称命题,并指出它们的关系. (1)所有的人都喝水 (2)有的人不喝水 (3)存在有理数 x ,使 2 2 0x   . (4)不存在有理数 x ,使 2 2 0x   . (5)对于所有实数 a ,都有|a|≥0. (6)并非对所有实数 a.都有|a|≥0. 解:全称命题(1) (4) (5) 存在性命题(2) (3) (6) (2)是(1)的否定. (4)是(3)的否定. (6)是(5)的否定. 回顾旧知，为问题的 引入做准备。 探 究 新 知 例 1、 你能写出下列命题的否定形式吗？ （1） 所有自然数的平方是正数； （2） x， 5x-12=0； （3） x，  y， x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根。 （3）的否定：存在实数 x,对所有实数 y，有 x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 引入本节课要讨论的 内容，激发学生探究 新知的兴趣。 定义：对含有一个量词的命题的否定的形式: 全称命题 p：" , ( )"x M P x  的否定为  x0∈M，  p（ x0）， 特称命题 q：  x0∈M，p（ x0），的否定为“ x∈M，  p（ x）。 通过观察，使学生归 纳总结出含一个量词 的命题与它们的否定 在 形 式 上 的 变 化 规 律。 注 意 与 区 别 (1)命题的否定与命题的否命题是不同的. (2)要正确使用否定词. (3)常用否定词的否定. 正面词: 等于、大于、 小于、是 、都是、至少一个、至多一个、小于 等于. 否定词:不等于、不大于、不小于、不是、不都是 、一个也没有、 至少 两个、 大于. 提醒学生注意命题的 否定与命题的否命题 是不同的 自 主 学 习 1、引导学生阅读教科书 P24 上的例 3 中每个全称命题，让学生尝试写出 这些全称命题的否定，纠正可能出现的逻辑错误。 2、引导学生阅读教科书上的例 4 中每个特称命题，让学生尝试写出这些 特称命题的否定，纠正可能出现的逻辑错误。 根据含一个量词的命 题与它们的否定在形 式上的变化规律，学 习对含一个量词的命 题进行否定。 巩 固 与 练 习 1、课本 P26 练习题 2、写出下列命题的否定，判断真假： （1）一切分数都是有理数； （2）有些三角形是锐角三角形； （3）x∈R，2x+4≥0 （4）  x∈R，使 x2+x=x+2 解：（1）存在一个分数不是有理数，假命题； （2）所有的三角形都不是锐角三角形，假命题； （3）  x∈R，使 2x+4<0，真命题； （4）x∈R，x2+x≠x+2，假命题。 通过练习，反馈学生 对本节课所学知识理 解和掌握的程度 课 堂 小 结 1。回忆几个概念:全称量词,存在量词,全称命题的概念及表示法 2.含有一个量词的否定 3.语言运用转化,语言用词准确, 书写合理规范. 归纳整理本节课所学 知识 布 置 作 业 1、 课本 P26A 组 1、2、3； 2、 B 组. 3、 课本 P28A 组 5、6 4、 B 组 2. 课后练习 1．全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定（ ） A．所有被 5 整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被 5 整除 C．存在一个被 5 整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被 5 整除 2． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ） A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 3． 命题“存在一个三角形，内角和不等于 1800”的否定为（ B ） A．存在一个三角形，内角和等于 1800 B．所有三角形，内角和都等于 1800 C．所有三角形，内角和都不等于 1800 D．很多三角形，内角和不等于 1800 4． “ 2 2 0a b  ”的含义是（ ） A． ,a b 不全为 0 B． ,a b 全不为 0 C． ,a b 至少有一个为 0 D． a 不为 0 且b 为 0，或b 不为 0 且 a 为 0 5. 命题 p：存在实数 m，使方程 x2＋mx＋1＝0 有实数根，则“非 p”形式的命题是（ ） A．存在实数 m，使得方程 x2＋mx＋1＝0 无实根； B．不存在实数 m，使得方程 x2＋mx＋1＝0 有实根； C．对任意的实数 m，使得方程 x2＋mx＋1＝0 有实根； D．至多有一个实数 m，使得方程 x2＋mx＋1＝0 有实根； 6. “至多四个”的否定为 （ ） A．至少有四个 B．至少有五个 C．有四个 D．有五个 参考答案： 1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B