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高中数学必修2同步练习:第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A)
必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A) 一、选择题 1、如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 2、下列推理错误的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈l,l⊂α⇒A∈α 3、给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 4、在空间中,下列说法中不正确的是( ) A.两组对边相等的四边形是平行四边形 B.两组对边平行的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 5、长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6、正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7、已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m⊥α,n⊥α,则n⊥m C.若m⊥α,m∥β,则α⊥β D.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β 8、如图(1)所示,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,如图(2)所示,那么,在四面体S-EFG中必有( ) A.SG⊥△EFG所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥△SEF所在平面 9、如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线AB、CD在原正方体中的位置关系是( ) A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°角 10、在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF,GH交于一点P,则( ) A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P一定在直线AC或BD上 D.P既不在直线AC上,也不在直线BD上 11、如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1D1 12、矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为( ) A.π B.π C.π D.π 二、填空题 13、设平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________. 14、如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________. 15、如图所示,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况). 16、下列四个命题:①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题 17、如图,在五面体ABC-DEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°. (1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值; (2)证明CD⊥平面ABF; (3)求二面角B-EF-A的正切值. 18、如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、A1D1的中点,判断MN与平面A1BC1的位置关系,为什么? 19、如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点. 求证:(1)EF∥面ACD; (2)面EFC⊥面BCD. 20、如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB于点E,过E作EF⊥SC于点F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于点G,求证:AG⊥SD. 21、如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC 的中点. (1)求证:PA∥面BDE;平面PAC⊥平面BDE; (2)若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥P-ABCD的体积. 22、如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到C′点,且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上. (1)求证:BC′⊥平面AC′D; (2)求点A到平面BC′D的距离. 以下是答案 一、选择题 1、A [连接B′C,则△AB′C为等边三角形,设AD=a, 则B′C=AC=a,B′D=DC=a, 所以∠B′DC=90°.] 2、C [若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.] 3、D [当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.] 4、A 5、D [由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.] 6、B 7、C [A中还有可能n⊂α;B中n∥m;D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直;C中,由于m∥β,设过m的平面γ与β交于b,则m∥b,又m⊥α,则b⊥α,又b⊂β,则α⊥β,所以C正确.] 8、A [∵四边形SG1G2G3是正方形, ∴SG1⊥G1E,EG1⊥G2F,FG3⊥SG3. 当正方形折成四面体之后,上述三个垂直关系仍保持不变, EG,GF成为四面体的面EGF的相邻两条边, 因此,在四面体S-EFG中侧棱SG⊥GE,SG⊥GF, ∴SG⊥平面EFG.] 9、D [恢复成正方体(如图), 易知△ABC为等边三角形, 所以∠ABC=60°.选D.] 10、B [(如图),∵P∈HG,HG⊂面ACD, ∴P∈面ACD,同理P∈面BAC, 面BAC∩面ACD=AC; ∴P∈AC,选B.] 11、B [证BD⊥面CC1E,则BD⊥CE.] 12、C [球心O为AC中点,半径为R=AC=, V=πR3=π.选C.] 二、填空题 13、9 解析 由面面平行的性质得AC∥BD,=, 解得SD=9. 14、a>6 解析 (如图) 由题意知:PA⊥DE, 又PE⊥DE, 所以DE⊥面PAE,∴DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设BE=x,则=,即=. ∴x2-ax+9=0,由Δ>0,解得a>6. 15、B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1, 所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A1C, 只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C1, 还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形,正方形等条件. 16、④ 解析 ①中b可能在α内;②a与b可能异面;③a可能与α内的直线异面. 三、解答题 17、(1)解 因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED. 所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角. 因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD. 在Rt△CDE中,CD=1,ED=2, CE==3, 所以cos ∠CED==. 所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为. (2)证明 如图,过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°. 由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,从而CD⊥AB. 又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF. (3)解 由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点. 取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF. 因为BC∥AD,所以BC∥EF. 过点N作NM⊥EF,交BC于点M, 则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角. 连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM, 从而BC⊥GM. 由已知,可得GM=. 由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM. 在Rt△NGM中,tan ∠GNM==. 所以二面角B-EF-A的正切值为. 18、解 直线MN∥平面A1BC1, 证明如下: ∵MD/∈平面A1BC1,ND/∈平面A1BC1. ∴MN⊄平面A1BC1. 如图,取A1C1的中点O1,连接NO1、BO1. ∵NO1綊D1C1, MB綊D1C1,∴NO1綊MB. ∴四边形NO1BM为平行四边形.∴MN∥BO1. 又∵BO1⊂平面A1BC1, ∴MN∥平面A1BC1. 19、证明 (1)∵E,F分别是AB,BD的中点, ∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD, ∵EF⊄面ACD,AD⊂面ACD,∴EF∥面ACD. (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD. 又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD⊂面BCD, ∴面EFC⊥面BCD. 20、证明 (1)∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC, ∴SA⊥BC, ∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE. 又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC. ∴AE⊥SC.又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF. ∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC. 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD. ∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂面AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD. 21、(1)证明 连接OE,如图所示. ∵O、E分别为AC、PC中点, ∴OE∥PA. ∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE, ∴PA∥面BDE. ∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD. 在正方形ABCD中,BD⊥AC, 又∵PO∩AC=0,∴BD⊥面PAC. 又∵BD⊂面BDE,∴面PAC⊥面BDE. (2)解 取OC中点F,连接EF. ∵E为PC中点, ∴EF为△POC的中位线,∴EF∥PO. 又∵PO⊥面ABCD, ∴EF⊥面ABCD ∵OF⊥BD,∴OE⊥BD. ∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角, ∴∠EOF=30°. 在Rt△OEF中, OF=OC=AC=a, ∴EF=OF·tan 30°=a,∴OP=2EF=a. ∴VP-ABCD=×a2×a=a3. 22、(1)证明 ∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上, ∴C′O⊥平面ABD,∴C′O⊥DA. 又∵DA⊥AB,AB∩C′O=O, ∴DA⊥平面ABC′,∴DA⊥BC′. 又∵BC⊥CD,∴BC′⊥C′D. ∵DA∩C′D=D,∴BC′⊥平面AC′D. (2)解 如图所示, 过A作AE⊥C′D,垂足为E,连接BE. ∵BC′⊥平面AC′D,∴BC′⊥AE. ∴AE⊥平面BC′D. 故AE的长就是A点到平面BC′D的距离. ∵AD⊥AB,DA⊥BC′, ∴AD⊥平面ABC′,∴DA⊥AC′. 在Rt△AC′B中,AC′==3. 在Rt△BC′D中,C′D=CD=3. 在Rt△C′AD中,由面积关系,得 AE===. ∴点A到平面BC′D的距离是.查看更多