高中数学必修2同步练习:第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A)

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高中数学必修2同步练习:第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A)

必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系(A)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示,将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角,此时∠B′AC=60°,那么这个二面角大小是(  )‎ A.90° B.60°‎ C.45° D.30°‎ ‎2、下列推理错误的是(  )‎ A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈l,l⊂α⇒A∈α ‎3、给定下列四个命题:‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行;‎ ‎④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.‎ 其中,为真命题的是(  )‎ A.①和② B.②和③‎ C.③和④ D.②和④‎ ‎4、在空间中,下列说法中不正确的是(  )‎ A.两组对边相等的四边形是平行四边形 B.两组对边平行的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 ‎5、长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎6、正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎7、已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,则下列命题中正确的是(  )‎ A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m⊥α,n⊥α,则n⊥m C.若m⊥α,m∥β,则α⊥β D.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β ‎8、如图(1)所示,在正方形SG‎1G2G3中,E,F分别是G‎1G2及G‎2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,如图(2)所示,那么,在四面体S-EFG中必有(  )‎ A.SG⊥△EFG所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥△SEF所在平面 ‎9、如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线AB、CD在原正方体中的位置关系是(  )‎ A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°角 ‎10、在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF,GH交于一点P,则(  )‎ A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P一定在直线AC或BD上 D.P既不在直线AC上,也不在直线BD上 ‎11、如图所示,在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中,若E是A‎1C1的中点,则直线CE垂直于(  )‎ A.AC B.BD C.A1D D.A1D1‎ ‎12、矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为(  )‎ A.π B.π C.π D.π 二、填空题 ‎13、设平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________.‎ ‎14、如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________.‎ ‎15、如图所示,在直四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1中,当底面四边形A1B‎1C1D1满足条件________时,有A‎1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).‎ ‎16、下列四个命题:①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 三、解答题 ‎17、如图,在五面体ABC-DEF中,四边形ADEF是正方形,FA⊥平面ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2,∠BAD=∠CDA=45°.‎ ‎(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;‎ ‎(2)证明CD⊥平面ABF;‎ ‎(3)求二面角B-EF-A的正切值.‎ ‎18、如图所示,长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M、N分别为AB、A1D1的中点,判断MN与平面A1BC1的位置关系,为什么?‎ ‎19、如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点.‎ 求证:(1)EF∥面ACD;‎ ‎(2)面EFC⊥面BCD.‎ ‎20、如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB于点E,过E作EF⊥SC于点F.‎ ‎(1)求证:AF⊥SC;‎ ‎(2)若平面AEF交SD于点G,求证:AG⊥SD.‎ ‎21、如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC 的中点.‎ ‎(1)求证:PA∥面BDE;平面PAC⊥平面BDE;‎ ‎(2)若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎22、如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到C′点,且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上.‎ ‎(1)求证:BC′⊥平面AC′D;‎ ‎(2)求点A到平面BC′D的距离.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A [连接B′C,则△AB′C为等边三角形,设AD=a,‎ 则B′C=AC=a,B′D=DC=a,‎ 所以∠B′DC=90°.]‎ ‎2、C [若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.]‎ ‎3、D [当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.]‎ ‎4、A ‎5、D [由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.]‎ ‎6、B ‎7、C [A中还有可能n⊂α;B中n∥m;D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直;C中,由于m∥β,设过m的平面γ与β交于b,则m∥b,又m⊥α,则b⊥α,又b⊂β,则α⊥β,所以C正确.]‎ ‎8、A [∵四边形SG‎1G2G3是正方形,‎ ‎∴SG1⊥G1E,EG1⊥G‎2F,FG3⊥SG3.‎ 当正方形折成四面体之后,上述三个垂直关系仍保持不变,‎ EG,GF成为四面体的面EGF的相邻两条边,‎ 因此,在四面体S-EFG中侧棱SG⊥GE,SG⊥GF,‎ ‎∴SG⊥平面EFG.]‎ ‎9、D [恢复成正方体(如图),‎ 易知△ABC为等边三角形,‎ 所以∠ABC=60°.选D.]‎ ‎10、B [(如图),∵P∈HG,HG⊂面ACD,‎ ‎∴P∈面ACD,同理P∈面BAC,‎ 面BAC∩面ACD=AC;‎ ‎∴P∈AC,选B.]‎ ‎11、B [证BD⊥面CC1E,则BD⊥CE.]‎ ‎12、C [球心O为AC中点,半径为R=AC=,‎ V=πR3=π.选C.]‎ 二、填空题 ‎13、9‎ 解析 由面面平行的性质得AC∥BD,=,‎ 解得SD=9.‎ ‎14、a>6‎ 解析 (如图)‎ 由题意知:PA⊥DE,‎ 又PE⊥DE,‎ 所以DE⊥面PAE,∴DE⊥AE.‎ 易证△ABE∽△ECD.‎ 设BE=x,则=,即=.‎ ‎∴x2-ax+9=0,由Δ>0,解得a>6.‎ ‎15、B1D1⊥A‎1C1(答案不唯一)‎ 解析 由直四棱柱可知CC1⊥面A1B‎1C1D1,‎ 所以CC1⊥B1D1,要使B1D1⊥A‎1C,‎ 只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A‎1C1,‎ 还可以填写四边形A1B‎1C1D1是菱形,正方形等条件.‎ ‎16、④‎ 解析 ①中b可能在α内;②a与b可能异面;③a可能与α内的直线异面.‎ 三、解答题 ‎17、(1)解 因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.‎ 所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角.‎ 因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD.‎ 在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,‎ CE==3,‎ 所以cos ∠CED==.‎ 所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为.‎ ‎(2)证明 如图,过点B作BG∥CD,交AD于点G,则∠BGA=∠CDA=45°.‎ 由∠BAD=45°,可得BG⊥AB,从而CD⊥AB.‎ 又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF.‎ ‎(3)解 由(2)及已知,可得AG=,即G为AD的中点.‎ 取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF.‎ 因为BC∥AD,所以BC∥EF.‎ 过点N作NM⊥EF,交BC于点M,‎ 则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角.‎ 连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM,‎ 从而BC⊥GM.‎ 由已知,可得GM=.‎ 由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM.‎ 在Rt△NGM中,tan ∠GNM==.‎ 所以二面角B-EF-A的正切值为.‎ ‎18、解 直线MN∥平面A1BC1,‎ 证明如下:‎ ‎∵MD/∈平面A1BC1,ND/∈平面A1BC1.‎ ‎∴MN⊄平面A1BC1.‎ 如图,取A‎1C1的中点O1,连接NO1、BO1.‎ ‎∵NO1綊D‎1C1,‎ MB綊D‎1C1,∴NO1綊MB.‎ ‎∴四边形NO1BM为平行四边形.∴MN∥BO1.‎ 又∵BO1⊂平面A1BC1,‎ ‎∴MN∥平面A1BC1.‎ ‎19、证明 (1)∵E,F分别是AB,BD的中点,‎ ‎∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,‎ ‎∵EF⊄面ACD,AD⊂面ACD,∴EF∥面ACD.‎ ‎(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.‎ ‎∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD.‎ 又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC.∵BD⊂面BCD,‎ ‎∴面EFC⊥面BCD.‎ ‎20、证明 (1)∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,‎ ‎∴SA⊥BC,‎ ‎∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE.‎ 又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC.‎ ‎∴AE⊥SC.又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF.‎ ‎∴AF⊥SC.‎ ‎(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC.‎ 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.‎ ‎∴DC⊥AG.‎ 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂面AEF,‎ ‎∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.‎ ‎21、(1)证明 ‎ 连接OE,如图所示.‎ ‎∵O、E分别为AC、PC中点,‎ ‎∴OE∥PA.‎ ‎∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE,‎ ‎∴PA∥面BDE.‎ ‎∵PO⊥面ABCD,∴PO⊥BD.‎ 在正方形ABCD中,BD⊥AC,‎ 又∵PO∩AC=0,∴BD⊥面PAC.‎ 又∵BD⊂面BDE,∴面PAC⊥面BDE.‎ ‎(2)解 取OC中点F,连接EF.‎ ‎∵E为PC中点,‎ ‎∴EF为△POC的中位线,∴EF∥PO.‎ 又∵PO⊥面ABCD,‎ ‎∴EF⊥面ABCD ‎∵OF⊥BD,∴OE⊥BD.‎ ‎∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,‎ ‎∴∠EOF=30°.‎ 在Rt△OEF中,‎ OF=OC=AC=a,‎ ‎∴EF=OF·tan 30°=a,∴OP=2EF=a.‎ ‎∴VP-ABCD=×a2×a=a3.‎ ‎22、(1)证明 ∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上,‎ ‎∴C′O⊥平面ABD,∴C′O⊥DA.‎ 又∵DA⊥AB,AB∩C′O=O,‎ ‎∴DA⊥平面ABC′,∴DA⊥BC′.‎ 又∵BC⊥CD,∴BC′⊥C′D.‎ ‎∵DA∩C′D=D,∴BC′⊥平面AC′D.‎ ‎(2)解 ‎ 如图所示,‎ 过A作AE⊥C′D,垂足为E,连接BE.‎ ‎∵BC′⊥平面AC′D,∴BC′⊥AE.‎ ‎∴AE⊥平面BC′D.‎ 故AE的长就是A点到平面BC′D的距离.‎ ‎∵AD⊥AB,DA⊥BC′,‎ ‎∴AD⊥平面ABC′,∴DA⊥AC′.‎ 在Rt△AC′B中,AC′==3.‎ 在Rt△BC′D中,C′D=CD=3.‎ 在Rt△C′AD中,由面积关系,得 AE===.‎ ‎∴点A到平面BC′D的距离是.‎
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