【数学】2019届一轮复习人教B版　等差数列及其前n项和学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　等差数列及其前n项和学案

第29讲　等差数列及其前n项和 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解等差数列的概念．‎ ‎2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.‎ ‎2016·全国卷Ⅰ，3‎ ‎2016·浙江卷，6‎ ‎2016·天津卷，18‎ ‎1.利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明等差数列．‎ ‎2．利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值.‎ 分值：5～7分 ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示，定义表达式为__an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)__或__an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)__.‎ ‎(2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝____.‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是__an＝a1＋(n－1)d__.‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 设等差数列的公差为d，其前n项和Sn＝__na1＋d__或Sn＝____.‎ ‎3．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋__(n－m)d__(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an__.‎ ‎(3)若是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为__2d__.‎ ‎(4)若，是等差数列，公差为d，则也是等差数列．‎ ‎(5)若是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为__md__的等差数列．‎ ‎(6)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列．‎ ‎(7)S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；‎ 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)‎ ‎(2)数列为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)‎ ‎(3)等差数列的单调性是由公差d决定的．(　√　)‎ ‎(4)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　×　)‎ ‎(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　)‎ 解析 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列．‎ ‎(2)正确．如果数列{an}为等差数列，根据定义an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2，则an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根据定义数列{an}为等差数列．‎ ‎(3)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．‎ ‎(4)错误．根据等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有当d≠0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数，否则不是．‎ ‎(5)错误．根据等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1＝d＝0时)．‎ ‎2．已知等差数列的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列的公差是(　C　)‎ A．　　 B．‎1　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 由－＝1，得－＝(a1＋d)－＝＝1，所以d＝2.‎ ‎3．在等差数列中，a2＋a6＝，则sin＝(　D　)‎ A．　　 B．　　‎ C．－　　 D．－ 解析 ∵a2＋a6＝，∴‎2a4＝.‎ ‎∴sin＝sin＝－cos ＝－.‎ ‎4．在等差数列中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　B　)‎ A．58　　 B．‎88　‎　‎ C．143　　 D．176‎ 解析 S11＝＝＝88.‎ ‎5．在数列中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝__2n－1__.‎ 解析 由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列，其公差为2.‎ 故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ 一　等差数列的基本量计算 ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．‎ ‎【例1】 (1)在等差数列中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝(　B　)‎ A．11　　 B．‎10　‎　‎ C．7　　 D．3‎ ‎(2)设等差数列的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝__5__.‎ 解析 (1)设数列{an}的公差为d，则有 解得所以a5＝－2＋4×3＝10.‎ ‎(2)由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，‎ 得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，‎ 所以等差数列的公差d＝am＋1－am＝3－2＝1，‎ 由得 解得 二　等差数列的性质及应用 在等差数列中，数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m也成等差数列；也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．‎ ‎【例2】 (1)设等差数列的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝__114__.‎ ‎(2)已知，都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝__21__.‎ 解析 (1)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3；又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.‎ ‎(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所以‎2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.‎ 三　等差数列的判定与证明 判定数列是等差数列的常用方法：‎ ‎(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．‎ ‎(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.‎ ‎(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．‎ ‎(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.‎ ‎【例3】 已知数列的前n项和为Sn，a1＝2，且满足an＋1＝Sn＋2n＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列为等差数列；‎ ‎(2)求S1＋S2＋…＋Sn的值．‎ 解析 (1)证明：由条件可知，Sn＋1－Sn＝Sn＋2n＋1，‎ 即Sn＋1－2Sn＝2n＋1，整理得－＝1.‎ 因为＝＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)可知，＝1＋n－1＝n，所以Sn＝n·2n.‎ 令Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，则Tn＝1·2＋2·22＋…＋n·2n，①‎ ‎2Tn＝1·22＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②‎ ‎①－②，得－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，‎ 整理得Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.‎ 四　等差数列前n项和的最值问题 求等差数列前n项和的最值的方法 ‎(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．‎ ‎(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列中，若a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：‎ ‎①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；‎ ‎②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．‎ ‎【例4】 等差数列中，a1＞0，S5＝S12，当n为何值时，Sn有最大值？‎ 解析 设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得‎5a1＋10d＝‎12a1＋66d，d＝－a1<0.‎ 设此数列的前n项和最大，则 即解得即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．‎ ‎1．在等差数列中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　A　)‎ A．37　　 B．‎36　‎　‎ C．20　　 D．19‎ 解析 ∵am＝a1＋a2＋…＋a9＝‎9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A．‎ ‎2．若数列满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为(　D　)‎ A．22　　 B．‎21　‎　‎ C．24　　 D．23‎ 解析 因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋>0，得n<23.5，所以使ak·ak＋1<0的值k为23.‎ ‎3．等差数列中，a3＝，则cos(a1＋a2＋a6)＝__－__.‎ 解析 ∵a1＋a2＋a6＝‎3a3＝π，∴cos(a1＋a2＋a6)＝cos π＝－.‎ ‎4．数列中，a1＝－23，an＋1－an－3＝0.‎ ‎(1)求数列的前n项和Sn；‎ ‎(2)求使得数列是递增数列的n的取值范围．‎ 解析 (1)因为an＋1－an－3＝0，所以an＋1－an＝3，‎ 即数列{an}是等差数列，公差d＝3.‎ 又a1＝－23，所以数列{an}的前n项和为 Sn＝－23n＋n(n－1)·3，即Sn＝n2－n.‎ ‎(2)Sn＝n2－n的对应函数为f(x)＝x2－x，它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为x＝.‎ 当x≥时，函数f(x)是增函数．‎ 因为8<<9，且－8<9－，所以f(8)a7＞a8＝0＞a9＞…，‎ ‎∴n＝7或8时，Sn最大．‎ 答案 7或8‎ ‎【跟踪训练1】 (2018·山西孝义模拟)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn取到最大值的n是(　B　)‎ A．21　　 B．‎20　‎　‎ C．19　　 D．18‎ 解析 因为a1＋a3＋a5＝‎3a3＝105，a2＋a4＋a6＝‎3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33.所以d＝－2，a1＝39.‎ 由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以当n＝20时，Sn达到最大值，故选B．‎ 课时达标　第29讲 ‎[解密考纲]主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及．‎ 一、选择题 ‎1．已知等差数列{an}的前13项之和为39，则a6＋a7＋a8＝(　B　)‎ A．6　　 B．9‎ C．12　　 D．18‎ 解析 由等差数列的性质得，S13＝‎13a7＝39，∴a7＝3.由等差中项，得a6＋a7＋a8＝‎3a7＝9，故选B．‎ ‎2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝(　C　)‎ A．8　　 B．12‎ C．16　　 D．24‎ 解析 由已知得a1＋4d＝8,‎3a1＋d＝6，解得a1＝0，d＝2.‎ 故a9＝a1＋8d＝16，故选C．‎ ‎3．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝(　B　)‎ A．6　　 B．7‎ C．10　　 D．9‎ 解析 由题意可得S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝0，‎ ‎∴2(a7＋a8)＝0，即a7＋a8＝0.又∵a1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．‎ ‎∴当Sn最大时，n＝7.‎ ‎4．等差数列{an}中，a1＋‎3a8＋a15＝120，则‎2a9－a10＝(　C　)‎ A．20　　 B．22‎ C．24　　 D．－8‎ 解析 在等差数列{an}中，∵a1＋‎3a8＋a15＝120，∴‎5a8＝120，∴a8＝‎24.2a9－a10＝a8＝24，故选C．‎ ‎5．在等差数列{an}中，a9＝a12＋3，则数列{an}的前11项和S11＝(　C　)‎ A．24　　 B．48‎ C．66　　 D．132‎ 解析 设公差为d，a9＝a12＋3即a1＋8d＝(a1＋11d)＋3，整理，得a1＋5d＝6，即a6＝6.‎ ‎∴S11＝＝＝66，故选C．‎ ‎6．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　C　)‎ A．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d<0‎ C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn>0‎ D．若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列 解析 选项C显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不成立．‎ 二、填空题 ‎7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝__13__.‎ 解析 由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13.‎ ‎8．(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是__20__.‎ 解析 设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得解得从而a9＝a1＋8d＝20.‎ ‎9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1

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