福建省2020届高三毕业班质量检查测试（B卷）数学（文）试题

福建省2020届高三毕业班质量检查测试（B卷）数学（文）试题

学校: 准考证号:　　　　　　　　 姓名:　　　　　‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 工作秘密★启用前 ‎2020年福建省高三毕业班质量检查测试（B卷）‎ 文科数学 本试卷共6页。满分150分。‎ 注意事项：‎ 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。‎ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．等差数列的前项和为，若是方程的两实根．则 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知函数则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．设函数，则“”是“在单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件 ‎5. 如图，在直角坐标系中，点，点，点在轴上，曲线 与线段交于点．若在四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 A. B. C． D. ‎ ‎6．函数在处的切线方程为，则 A． B． C． D．‎ ‎7．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还 款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：‎ ‎ ‎ 根据以上信息，判断下列结论中正确的是 A．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同 ‎ B．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍 ‎ C．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍 ‎ D．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了 ‎8． 原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点,再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为 A. B. C． D. ‎ ‎9． 在正方体中，点分别为线段，上的动点，‎ 且，则以下结论错误的是 A．平面 ‎ B．平面平面 ‎ C．，使得平面 ‎ D．，使得平面 ‎ ‎10.在等腰中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎11. 在直角坐标系中，双曲线的右顶点为，直线 与相交于两点，位于第一象限，若平分，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数，以下关于的结论 ‎①当时，在上无零点；‎ ‎②当时，在上单调递增；‎ ‎③当时，在上有无数个极值点；‎ ‎④当时，在上恒成立．‎ 其中正确的结论是 A．①④ B．②③ C．①②④ D． ②③④ ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知复数的实部为，则实数 .‎ ‎14．设正项等比数列的前项和为，，，若，则数列中最大的项为 .‎ ‎15．设的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，且又与圆相切于的中点，则的值为 .‎ ‎16．三棱锥中，，，，三棱锥 的体积是，则它的外接球体积的最小值是 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在中，，，在上，且满足.‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18．（12分）‎ 某疫苗进行安全性临床试验．该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb）的含量（以下简称为“M含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者没有出现高铁血红蛋白血症（简称血症）；若M含量超过1%，则为阳性，认为受试者出现血症. 若一批受试者的M含量平均数不超过0.65%，且出现血症的被测试者的比例不超过5%，则认为该疫苗在M含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”．现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射，按照性别分层，随机抽取50名志愿者进行M含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人．经数据整理，制得频率分布直方图如下．‎ 注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表．‎ ‎（1）请说明该疫苗在M含量指标上的安全性；‎ ‎（2）请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的列联表，并判断是否有超过99%的把握认为，注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？‎ 男 女 阳性 阴性 附：.‎ ‎19．(12分)‎ 如图，四棱锥中，，，，，为等边三角形，是棱上一点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面,求三棱锥的体积.‎ ‎20．(12分)‎ 已知椭圆上一点关于原点的对称点为，点， 的面积为，直线过上的点．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设为的短轴端点，直线过点交于，证明：四边形的两条对角线的交点在定直线上.‎ 21． ‎ (12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求证：当时，有.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修：坐标系与参数方程] (10分) ‎ 在直角坐标系中，圆的方程为．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求与的交点的极坐标；‎ ‎（2）设是的一条直径，且不在轴上，直线交于两点，直线交于两点，求四边形的面积的最小值．‎ ‎23．[选修：不等式选讲] (10分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）对任意，若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2020年福建省高三毕业班质量检查测试（B卷）‎ 文科数学参考答案及评分细则 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎ 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎ 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。‎ ‎1．C 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A ‎7．B 8．A 9．B 10．B 11．D 12．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）‎ ‎【解析】（1）在中，由正弦定理得 ， ①‎ 在中，由正弦定理得 ， ② ………………2分 又，，………………………………3分 将①②，得，，，‎ 所以，即为的中点.……………………………………………5分 ‎（2）设，在和中，由余弦定理可得 ‎， ‎ ‎，…………………………………7分 ‎ 因为， ………………………………………………8分 所以，故，即.……………………………9分 在中，由余弦定理可得，,‎ ‎…………………………………………………………………………………10分 所以.‎ 故. ………………………12分 ‎18．（12分）‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图得，M含量数据落在区间上的频率为，…………………………………………………………………………2分 故出现血症的比例为5%，符合“安全的”条件；……………………………………3分 由直方图得平均数为，‎ 求得，即志愿者的M含量的平均数为，‎ 综上，该疫苗在M含量指标上是“安全的”. ………………………………………5分 ‎（2）依题意得，抽取的50名志愿者中女性志愿者应为25人，‎ 由已知，25名女性志愿者被检测出阳性恰有1人，故女性中阳性的频率，‎ 所以全部的女性志愿者共有人，………………………………………6分 由（1）知400名志愿者中，阳性的频率为，所以阳性的人数共有人，‎ 因此男性志愿者被检测出阳性的人数是.……………………………………7分 男 女 阳性 ‎12‎ ‎8‎ 阴性 ‎188‎ ‎192‎ 所以完成表格如下：‎ ‎ 由列联表可，………………………………9分 由参考表格，可得，‎ 故没有超过99%的把握认为，注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关. ……10分 19. ‎(12分)‎ ‎【解析】解法一：（1）取中点为，连结， .‎ 因为为等边三角形，， 1分 因为，‎ 所以，‎ 又因为,‎ 所以为平行四边形，‎ 因为，所以为矩形，‎ 即, 2分 因为且平面，所以平面，. 3分 因为平面，所以． 4分 ‎（2）取，中点分别为，连接，因为分别为的中点，‎ 所以为的中位线，所以且， 5分 又因为且，所以且,所以为平行四边形， ‎ 所以, 6分 又因为平面，平面，所以平面，‎ 所以当是棱中点时平面． 7分 由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，‎ 作于点，因为平面平面，所以平面， 8分 因为为等边三角形且，点为的中点，所以，‎ 在中，因为，所以，‎ 所以，所以，即，‎ 所以到平面的距离为， 10分 所以. 12分 解法二：（1）同解法一. 4分 ‎（2）取中点为，连接，因为分别为的中点，‎ 所以为的中位线，所以，又因为平面,平面，‎ 所以平面, 5分 因为且，所以且,所以为平行四边形，所以，又因为平面,平面，‎ 所以平面, 6分 又因为且平面,‎ 所以平面平面，因为平面，平面，‎ 所以当是棱中点时平面 7分 因为，又因为 平面,平面，‎ 所以平面,‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 8分 因为为等边三角形且，点为的中点，所以，‎ 在中，因为，所以，所以，‎ 由（1）知，，且，平面，‎ 所以平面， 因为，所以点到平面的距离为，‎ 即点到平面的距离为， 10分 所以． 12分 ‎20．(12分)‎ ‎【解析】（1）设坐标原点为，.‎ 由题意得，，………………………………1分 又，且直线过上的点，所以.‎ 又三点共线，所以，即，故.…………3分 又直线过上的点，所以，………………………………4分 即椭圆，将代入椭圆，解得，‎ 所以椭圆的方程为.………………………………………………5分 ‎（2）易知直线斜率必存在，设其方程为，‎ 设，，则，，，，‎ 联立得，‎ 所以，解得，‎ ‎，，所以，……………………7分 因为，，‎ 所以直线方程为，直线方程为，…………8分 联立解得 ‎，……………………11分 所以，四边形的两条对角线的交点在定直线上.………………12分 21． ‎ (12分)‎ ‎【解析】（1）．…………………………………1分 考虑，‎ ‎（a）当，即时，‎ ‎，，在单调递减．…………………………2分 ‎（b）当时，有两个实根，，‎ 且，‎ 当或时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．………………………………3分 ‎（c）当时，，‎ 故当时，，，在单调递减；…………4分 综上所述，当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增. ……………………………………………………………………………………5分 ‎（2）在（1）中取，可知在单调递减，‎ 所以当时，有，即，…………………………7分 取， …………………………………………………………………8分 得，…………………………………………9分 取，相加，‎ 得，‎ 即，证毕．…………………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修：坐标系与参数方程] (10分) ‎ ‎【解析】解法一：（1）圆的方程化为极坐标方程为，…………………1分 联立的极坐标方程得：，由题意易得，………2分 解得或（舍去），所以或（舍去），……3分 所以，或，，‎ 所以与的交点的极坐标为或． ……………………………………5分 ‎（2）如图，因为是的一条直径，且过原点，‎ 所以，即，不妨设点在第一象限，‎ 设，，则，……………6分 由对称性知，‎ 所以， ……………………………7分 ‎， ……………………8分 当且仅当，即时等号成立，…………………………………9分 所以，所以四边形的面积的最小值为． …………………………10分 解法二：（1）曲线的方程化为直角坐标方程为， …………………1分 即，联立的直角坐标方程得：，‎ 解得或（舍去）， …………………………………………………………3分 所以与的交点的直角坐标为，化为极坐标为或，‎ 所以与的交点的极坐标为或． …………………………………5分 ‎（2）如图，因为是的一条直径，且过原点，所以，即，‎ 不妨设直线的方程为：，则直线的方程为：，……6分 把代入的方程得：，‎ 所以，……………………………………………7分 把换成得：， ………………………………8分 由对称性知，‎ 所以，‎ ‎ ，……………………………………………9分 当且仅当即时等号成立，‎ 所以四边形的面积的最小值为． …………………………………………10分 ‎23．[选修：不等式选讲] (10分)‎ ‎【解析】解法一：（1）当时，，‎ 不等式即，即，……………………………1分 解得或（舍去）． …………………………………………………3分 由，解得． ……………………………………………………4分 所以，不等式的解集是． …………………………5分 ‎（2）由题意知，只需满足即可． ………………………………6分 因为，所以 依题意，当时，，‎ 得． …………………………………………………………7分 由，得，即．‎ 所以，． …………………………………………………………………8分 当时，，‎ 得．由，得，即．‎ 所以，， ………………………………………………………………9分 综上，实数的取值范围是．… …………………………………………10分 解法二：（1）同解法一；‎ ‎（2）由题意知，只需满足即可．…………………………………6分 因为，所以．‎ 因为 …………………………7分 ‎，………………………8分 ‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以， ………………………………………………………9分 由，得，即．‎ 综上，实数的取值范围是． ……………………………………………10分 解法三：（1）同解法一； ……………………………………………………………5分 ‎（2）由题意知，只需满足恒成立即可． …………………………6分 因为，所以，所以，恒成立，‎ 即恒成立，………………………………7分 在同一坐标系中作出和的图象，…8分 如图，实线为的图象，虚线为的图象，‎ 由图象知，要使恒成立，‎ 只需满足时成立即可，…………9分 即，解得，‎ 综上，实数的取值范围是． …………………………………………10分