广东省汕头市潮南区东山中学2013届高三上学期第四次月考数学（文）试题

广东省汕头市潮南区东山中学2013届高三上学期第四次月考数学（文）试题

潮南区东山中学高三级数学（文科）第四学月考试 （2012-2013 学年度第一学期 ） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1．复数 (2 )z i i  的虚部是（ ※ ） A． 2 B．  2 C． 2i D．  2i 2．已知全集 R,U  集合  1,2,3,4,5A  ,  2,B   ，则图中阴影部分所表 示的集合为（ ※ ） A． {0,1,2} B． {0,1} C． {1,2} D． {1} 3．设曲线 2axy  在点（1， a ）处的切线与直线 062  yx 平行，则 a （ ※ ） A．1 B． 1 2 C． 1 2  D． 1 4．对某校 400 名学生的体重（单位： kg ）进行统计，得到 如图所示的频率分布直方图，则学生体重在 60 kg 以上的人 数为（ ※ ） A． 300 B． 100 C． 60 D． 20 5．下列各式中错误．．的是（ ※ ） A． 3 30.8 0.7 B． 0..5 0..5log 0.4 log 0.6 C． 0.1 0.10.75 0.75  D． lg1.6 lg1.4 6．在等差数列{ }na 中，已知 5 7 10a a  ， nS 是数列{ }na 的前 n 项和，则 11S  ( ※ ) BA （第 2 题图） 0.060 0.040 0.034 0 组距 频率 体重（ kg ）45 50 55 60 65 70 0.010 （第 4 题图） 主视图 侧视图 俯视图 （第 7 题图） A．45 B．50 C．55 D．60 7．如图所示，一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直 径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ※ ） A． 4 B． 3 C． 2 D．  2 3 8．实数 yx, 满足不等式组 2 0 2 0 6 3 18 x y x y x y          ，且  0z ax y a   取得最小值的最优解有无穷 多个, 则实数 a 的取值范围是（ ※ ） A． 4 5  B． 1 C． 2 D． 无法确定 9．已知函数 ( )f x 的部分图象如图所示，则 ( )f x 的解析式可能为（ ※ ） A． ( ) 2sin 2 6 xf x      B． ( ) 2 cos 4 4f x x      C． ( ) 2cos 2 3 xf x      D． ( ) 2sin 4 6f x x      10．已知函数 ( 1)f x  是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定 的不等实数 1x 、 2x ，不等式 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x   恒成立，则 不等式 (1 ) 0f x  的解集为（ ※ ） A． 1, B． ,0 C． 0, D． ,1 二、 填空题．（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填答题纸上。） （一）必做题：第 11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．已知 sin π 0( ) ( -1)+1 >0 x xf x f x x    ，则 5( )6f 的值为 ※ ． 12． ABC 中，如果 bcacbcba 3))((  ，那么 A 等于 ※ ． 13. 已 知 向 量 a = ),2,1( x b  = ),4( y , 若 a  b  ， 则 yx 39  的 最 小 值 为 ※ ． （第 9 题图） P A B O C （第 15 题图） （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的 得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）过点 (2, )3  且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ※ ． 15．（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O 的切线，切点 为 A ， 直 线 PO 交 圆 O 于 B 、 C 两 点 ， 2AC  ， 120PAB  ，则圆 O 的面积为 ※ ． 三、解答题（本大题共 6 小题，80 分，解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分 12 分） 已知集合  2 2 3 0A x x x    ，  ( 2)( 3) 0B x x x    ， （1）在区间 3,3 上任取一个实数 x ，求“ x A B  ”的概率； （2）设  ,a b 为有序实数对，其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数，b 是从集合 B 中任 取的一个整数，求“ a b A B   ”的概率. 17．（本小题满分 14 分） 已 知 向 量   2sin ,cosm x x   ， 3 cos ,2sin( )2n x x      ， 函 数 ( ) 1f x m n    ． （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）当  0,x  时，求 ( )f x 的单调递增区间； （3）说明 ( )f x 的图象可以由 ( ) sing x x 的图象经过怎样的变换而得到． 18.（本小题满分 14 分） 已知向量 ),2cos2sin3()2cos,1( yxxbxa   与 共线，记函数 )(xfy  . （Ⅰ）若 1)( xf ，求 )23 2cos( x 的值； （Ⅱ）在 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别是 a b c、、 ，且满足 bcCa 2cos2  ，求函 数 )(Bf 的取值范围. 19. （本题满分 12 分） 某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为 6000 包，每包进价为 8.2 元，销售价为 4.3 元， 全年分若干次进货，每次进货均为 x 包，已知每次进货的运输劳务费为 5.62 元，全部 洗衣粉全年保管费为 x5.1 元. （1）将该商店经销洗衣粉一年的利润 y （元）表示为每次进货量 x （包）的函数； （2）为使利润最大，每次应进货多少包？ 20．（本小题满分 14 分） 如图， AB 为圆O 的直径，点 E 、 F 在圆O 上， AB ∥ EF ，矩形 ABCD 所在的平面 和圆O 所在的平面互相垂直，且 2AB  ， 1AD EF  . （1）求证： AF  平面CBF ； （2）设 FC 的中点为 M ，求证：OM ∥平面 DAF ； （3）求三棱锥 F CBE 的体积. （第 20 题图） 21. （本题满分 14 分） 已知函数 ( )f x xlnx ， （1）求 ( )f x 的最小值； （2）若对所有 1x  都有 ( ) 1f x ax  ，求实数 a 的取值范围. 潮南区东山中学高三级数学（文科）答案 （2012-2013 学年度第一学期 ） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C C D B C B 二、 填空题 11． 1 2 ． 12． 3  ． 13．6． 14． sin 3   ． 15． 4 ． 解答过程分析： 1．选 A．解析： (2 )z i i  1 2i   ，虚部是 2 .特别提醒：不是 2i ． 2．选 D．解析：阴影部分的元素 x A 且 x B ，即 BCA U ,选项 D 符合要求． 3．选 A．解析：由 2y ax  ，又点（1，a ）在曲线 2axy  上，依题意得 1 2 2xk y a   ， 解得 1a  ． 4．选 B．解析： 60 kg 以频率为 0.040 5 0.010 5 0.25    ，故人数为 400 0.25 100  （人）． 5．选 C．解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于 A，构造幂函数 3y x ，为 增函数，故 A 是对；对于 B、D，构造对数函数 0.5logy x 为减函数， lgy x 为增函数， B、D 都正确；对于 C，构造指数函数 0.75xy  ，为减函数，故 C 错． 6．选 C．解析： 5 71 11 11 1011 11 11 552 2 2 a aa aS        ． 7．选 D．解析：这是一个横放的圆柱体，其底面半径 1 2r  ，高 1h  ，底面面积 2 4S r  底 ，侧面积 2S rh  侧 ，故 32 2S S S   侧表 底 ． 8．选 B．解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令 ax+y=0 并平移使之与过点 C（ 3 4,3 2 ）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可， 注意到 a>0，只能和 AC 重合，∴a=1 9．选 C．解析：由点 A、点 C 的横坐标可知 4 T  ，∴ 24T    ， 1 2   ，排除 B、 D，又点 0,1 在图象上，代入 ( ) 2sin 2 6 xf x      得1 2sin 6      不成立，排除 A，只 有 C 合适．说明，本题得出的是最佳选项，由图象无法确定振幅的值． 10．选 B．解析： ( 1)f x  是奇函数，即其的图象关于点 (0,0) 对称，将 ( 1)f x  向右平 移 1 个单位长度，得 ( )f x ，故 ( )f x 的图象关于点 (1,0) 对称，由 1 2 1 2( )[ ( ) ( )] 0x x f x f x   恒成立，知 1 2 1 2 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x      或 1 2 1 2 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x      ， ( )f x 为 R 上的减函数；又将 (1) 0f  ，不等式 (1 ) 0f x  即 (1 ) (1)f x f  ，有1 1x  ，故 0x  . 11．填 1 2 ．解析： 5 5 1 1 11 1 1 sin 1 16 6 6 6 2 2f f f                                   ． 12．填 3  ．解析：( )( )a b c b c a         2 2 3b c a b c a b c a bc              ， 得 2 2 2b c a bc   ， 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 1cos 2 2 2 b c a bcA bc bc     ， 又 0 A   ， ∴ 3A  ． 13．填 6．解析：由已知 a  b   ba  0  220),4()2,1(  yxyx 则 yx 39  ,6323233233 2222   yxyxyx 当且仅当 ,332 yx  即 1,2 1  yx 时取得等号. 14．填 sin 3   ．解析：先将极坐标化成直角坐标表示，(2, )3  化为 (1, 3) ，过 (1, 3) 且平行于 x 轴的直线为 3y  ，再化成极坐标表示，即 sin 3   ． 法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程 sin 3   。 15．填 4 ．解析：由弦切角定理， PAC ABC   ，由 120PAB  ， 90CAB   得 30PAC ABC     ， 在 Rt ABC 中 ， 2 2 2 2 4R BC AC     ， 4R  ， 2S R  4 ． P A B O C 三、解答题（本大题共 6 小题，80 分，解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤.） 16．解：（1）由已知  3 1A x x    ，  2 3B x x    ，…………………………2 分 设事件“ x A B  ”的概率为 1P ， 这是一个几何概型，则 1 3 1 6 2P   。………………………………………5 分 （2）因为 ,a b Z ，且 ,a A b B  ， 所以，  2, 1,0a   ，  1,0,1,2b  基本事件由下表列出，共 12 个： a b 共有 12 个结果，即 12 个基本事件：  1，  2，  3，  4，0，  1，  2，  3，1，0，  1，  2 …………………9 分 又因为  3,3A B   ， 设事件 E 为“ a b A B   ”，则事件 E 中包含 9 个基本事件，………………11 分 事件 E 的概率 9 3( ) 12 4P E   。………………………………………… 12 分 17．解：（1）∵m•n  2sin 3 cos 2cos sin 2x x x x         22 3sin cos 2cos 3sin 2 cos2 1x x x x x       ………………2分 ∴ ( )f x  1 m•n 3sin 2 cos2x x  ，…………………………………………3 分 ∴ ( )f x  2sin 2 6x     。………………………………………………………4 分 （2）由 2 2 2 ( )2 6 2k x k k Z          ， 解得 ( )6 3k x k k Z        ，……………………………………6 分 ∵取 k=0 和 1 且  0,x  ，得 0 3x   和11 6 x   ， ∴ ( )f x 的单调递增区间为 0, 3      和 11 ,6       。……………………………8 分 法二：∵  0,x  ，∴ 1126 6 6x      ， ∴由 26 6 2x      和 3 1122 6 6x     ， …………………………6 分 解得 0 3x   和11 6 x   ， ∴ ( )f x 的单调递增区间为 0, 3      和 11 ,6       。……………………………8 分 （3） ( ) sing x x 的图象可以经过下面三步变换得到 ( )f x 2sin 2 6x      的图象： ( ) sing x x 的图象向右平移 6  个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），得到 ( )f x 2sin 2 6x      的图象. …………………………………………14 分（每一步变换 2 分） 18. 解：（Ⅰ）∵  a 与  b 共线 ∴ )2cos2sin3(2cos xxxy  2 1)6sin()cos1(2 1sin2 3  xxx ……………… 3 分 ∴ 12 1)6sin()(  xxf ，即 2 1)6sin(  x …………………4 分 2 11)6(sin21)3(cos2)3(2cos)23 2cos( 22   xxxx …………………6 分 （Ⅱ）已知 bcCa 2cos2  由正弦定理得： CACACCA CABCCA sincos2cossin2sincossin2 )sin(2sin2sincossin2   FA E C O BD M ∴ 2 1cos A ， ∴在 ABC 中 ∠ 3 A . ………………9 分 2 1)6sin()(  BBf ∵∠ 3 A ∴ 3 20  B , 6 5 66   B …………………11 分 ∴ 1)6sin(2 1  B , 2 3)(1  Bf …………………13 分 ∴函数 )(Bf 的取值范围为 ]2 3,1( . …………………14 分 19．解：（1）平面 ABCD  平面 ABEF ，CB AB , 平面 ABCD  平面 ABEF AB ， CB  平面 ABEF ， ∵ AF  平面 ABEF ，∴ AF CB ，………………………………… 2 分 又 AB 为圆O 的直径，∴ AF BF ， ∴ AF  平面CBF . ………………………………………… 4 分 （2）设 DF 的中点为 N ，则 MN // 1 2 CD ，又 AO // 1 2 CD ， 则 MN // AO ，四边形 MNAO 为平行四边形， ∴ / /OM AN ，又 AN  平面 DAF ，OM  平面 DAF ， ∴ / /OM 平面 DAF . ……………… 8 分 （3）∵ BC  面 BEF ，∴ 1 3F CBE C BEF BEFV V S BC      ， B 到 EF 的距离等于O 到 EF 的距离， 过点O 作OG EF 于G ，连结OE 、OF ， ∴ OEF 为正三角形， ∴OG 为正 OEF 的高， ∴ 3 3 2 2OG OA  ，…………………………………………………… 11 分 ∴ 1 3F CBE C BEF BEFV V S BC      ……………………………………… 12 分 1 1 1 1 3 31 13 2 3 2 2 12EF OG BC           。 …………… 14 分 20．解：（1）由题意可知：一年总共需要进货 x 6000 次（  Nx 且 x ≤ 6000 ），………2 分 ∴ xxy 5.15.62600060008.260004.3  ，………………………………5 分 整理得： 2 33750003600 x xy  （  Nx 且 x ≤ 6000 ）.……………………6 分 （2） 375000 3 375000 33600 36002 2 x xy x x          （  Nx 且 x ≤ 6000 ）， ∵ 2 3375000 x x  ≥ 1500750256250022 33750002  x x ， （当且仅当 2 3375000 x x  ，即 500x 时取等号）…………………………………9 分 ∴当 500x 时， 210015003600max y （元）， 答：当每次进货500 包时，利润最大为 2100 元。……………………………………12 分 21．解：（1） ( )f x 的定义域为  0, ， ( )f x 的导数 ( ) 1 lnf x x   . ……………2 分 令 ( ) 0f x  ，解得 1x e  ；令 ( ) 0f x  ，解得 10 x e   . 从而 ( )f x 在 10, e      单调递减，在 1 ,e     单调递增. 所以，当 1x e  时， ( )f x 取得最小值 1 1( )f e e   . ……………………… 6 分 （2）解法一：依题意，得 ( ) 1f x ax  在 1, 上恒成立， 即不等式 1lna x x   对于  1,x  恒成立 . ……………………………………8 分 令 1( ) lng x x x   ， 则 2 1 1 1 1( ) 1g x x x x x         . ………………………10 分 当 1x  时，因为 1 1( ) 1 0g x x x        ， 故 ( )g x 是 1, 上的增函数， 所以 ( )g x 的最小值是 (1) 1g  ，…………… 13 分 所以 a 的取值范围是 ,1 . ……………………………………………………14 分 解法二：令 ( ) ( ) ( 1)g x f x ax   ，则 ( ) ( ) 1 lng x f x a a x      ， ① 若 1a  ，当 1x  时， ( ) 1 ln 1 0g x a x a       ， 故 ( )g x 在 1, 上为增函数， 所以， 1x  时， ( ) (1) 1 0g x g a    ，即 ( ) 1f x ax  ；………………… 10 分 ② 若 1a  ，方程 ( ) 0g x  的根为 1 0 ax e  ， 此时，若  01,x x ，则 ( ) 0g x  ，故 ( )g x 在该区间为减函数. 所以  01,x x 时， ( ) (1) 1 0g x g a    ， 即 ( ) 1f x ax  ，与题设 ( ) 1f x ax  相矛盾. 综上，满足条件的 a 的取值范围是 ,1 . ………………………………… 14 分