人教新课标A版高一数学2-2-2等差数列通项公式）

人教新课标A版高一数学2-2-2等差数列通项公式）

备课资料 一、备用例题 【例 1】 梯子最高一级宽 33 cm，最低一级宽为 110 cm，中间还有 10 级，各级的宽度成等 差数列，计算中间各级的宽度. 解：设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知 a 1=33，a 12=110，n=12，所以 a12=a1+(12-1)d，即得 110=33+11d，解之，得 d=7. 因此 a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103. 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm，47cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm， 82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. 【例 2】 已知 cba 1,1,1 成等差数列，求证： a cb  ， b ac  ， c ba  也成等差数列. 证明：因为 a 1 ， b 1 ， c 1 成等差数列，所以 cab 112  ，化简得 2ac=b(a+c)，所以有 ac caac ac cacab ac abacbc c ba a cb 222222 2)(  = b ca cab ca ac ca   2 2 )( )()( 22 . 因而 ,a cb  ,b ac  c ba  也成等差数列. 【例 3】 设数列{an}、{bn}都是等差数列，且 a1=35，b1=75，a2+b2=100， 求数列{an+bn}的第 37 项的值. 分析：由数列{an}、{bn}都是等差数列，可得{an+bn}是等差数列，故可求出数列{an+bn}的公 差和通项. 解：设数列{an}、{bn}的公差分别为 d1，d2，则(a n+1+bn+1)-(an+bn)=(a n+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2 为 常 数 ， 所 以 可 得 {an+bn} 是 等 差 数 列 . 设 其 公 差 为 d ， 则 公 差 d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而 a37+b37=110-10×(37-1)=-250. 所以数列{an+bn}的第 37 项的值为-250. 点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用 通项公式 an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等 差数列. 【例 4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加 1 000 美元；二是每半年结束时加 300 美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人， 很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加 600 美元要多.其实，由于加工资 是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案 共可以加得 1 000+2 000=3 000 美元；而第二种方案共可以加得 300+600+900+1 200=3 000 美元，但到了第三年，第一方案共可加得 6 000 美元，第二方案则共加得 6 300 美元，显然 多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案. 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？ (2)如果第二方案中的每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元.问 a 取何值时，总是选择第二 种方案比选择第一种方案多加薪？ 答案：(1)在该公司干 10 年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪 8 000 美元. (2)当 a 大于 3 1000 时，总是第二方案加薪多于第一种方案. 【例 5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种 确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成 2 块，切 2 刀最多切成 4 块， 切 3 刀最多切成 7 块……问切 n 刀，最多可切出几块? (要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最 多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结， 并能勇于联想、探索) 答案： 12 1 2 1 2  nn . 二、阅读材料 一个古老的数学课题 等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个 相等的常数，则称此数列为等差数列. 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前 2700 年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板 文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是： 10 个兄弟分 100 两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得 6 两，问相 邻两兄弟相差多少？ 在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、 总和、项数的一般步骤.比如书中第 23 题(用现代语叙述)： （1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织 5 尺，最后一日织 1 尺，共 织了 30 日，问共织布多少？ 这是一个已知首项(a 1)、末项(an)，以及项数(n)求总数(S n)的问题，对此，原书提出的 解法是：总数等于首项加末项除 2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：Sn=(a 1+a n)· 2 n .印度数学家婆罗摩笈多在公元 7 世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式： an=a1+(n-1)d. （2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织 5 尺，经一月共织 39 丈， 问每日比前一日增织多少？ 这是一个已知首项(a1)，总数(Sn)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此原书给出的解法是. 1 22 1    n an S d n 等价于现在的求和公式： 2 )1(2 1 dnanSn  . 书中第 1 题：今有某人拿钱赠人，第一人给 3 元，第二人给 4 元，第三人给 5 元，其余依次 递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得 100 元，问人数多 少？ 这是一个已知首项(a1)，公差(d)以及 n 项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的 解法是 d damn  )(2 1 . 我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动 下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(1031～1095) 的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法. 垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积. 垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初 步的研究成果. 《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比 例方法来解决. 公元 5 世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式： S= 2 1 n(a+1)与求公差的公式： )22(1 1 an S nd  . 南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如 S=12+22+32+…+n2= 6 n (n+1)(2n+1), S=1+3+6+10+…+ 2 )1( nn = 6 1 n(n+1)(n+2) 之类的垛积公式. 北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式： )(6]2()2[6 acnbcdadbnS  . 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公 式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.