高考数学模拟试卷3 (13)

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- 1 - 高考数学训练题（第 49 套） 1．已知命题 : 1 2p x   ， 2: log 1q x  ，则 p 是 q 成立的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分有不必要 D．充要 2．已知复数 1 1 iz a  ， 2 3 2iz   ，aR ，i 是虚数单位，若 1 2z z 是实数，则 a  （ ） A． 2 3  B． 1 3  C． 1 3 D． 2 3 3．下列函数中既是偶函数又在 0, 上单调递增的函数是（ ） A．   2 2x xf x   B．   2 1f x x  C．   1 2 logf x x D．   sinf x x x 4．已知变量 x ， y 之间满足线性相关关系 1.3 1ˆy x  ，且 x ， y 之间的相关数据如 下表所示： x 1 2 3 4 y 0.1 m 3.1 4 则 m （ ） A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6 5．若变量 x ， y 满足约束条件 0 0 3 4 0 x y x y x y       ≥ ≥ ≤ ，则3 2x y 的最大值是（ ） A．0 B．2 C．5 D．6 6．已知等差数列  na 的公差和首项都不为 0 ，且 1 2 4a a a、 、 成等比数列，则 - 2 - 1 14 3 a a a   （ ） A． 2 B．3 C．5 D．7 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归， 中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女 儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一 次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘 家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天 内，有女儿回娘家的天数有（ ） A．58 B．59 C．60 D．61 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为（ ） A．2 4 2 2 3  B． 2 2 2 4 3  C． 2 6 3 D．8 4 2 9．已知函数      2 sin , π,0 1 , 0,1 x x f x x x       ，则  1 π f x dx  （ ） A．2 π B． π 2 C． π2 2   D． π 24  - 3 - 10．已知 A ， B 是函数 2xy  的图象上的相异两点，若点 A ， B 到直线 1 2y  的距 离相等，则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A． , 1  B． , 2  C． 1,  D． 2,  11．在三棱锥 A BCD 中， 1AB AC  ， 2DB DC  ， 3AD BC  ，则三棱 锥 A BCD 的外接球的表面积为（ ） A． π B． 4π C．7π D．9π 12．在等腰梯形 ABCD 中 //AB CD ，且 2AB  ， 1AD  ， 2CD x ，其中  0,1x ， 以 A ， B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 1e ，以C ， D 为焦点且过点 A 的椭 圆的离心率为 2e ，若对任意  0,1x 都有不等式  2 1 2 8 e et  恒成立，则t 的最大值 为（ ） A． 7 4 B． 3 8 C． 5 8 D． 5 4 13．△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2 cos 2c B a b  ，则 C  _________． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________． 15 ． 在 ABC△ 中 ， 2 2CA CB  ， 1CA CB    ， O 是 ABC△ 的 外 心 ， 若 - 4 - CO xCA yCB    ，则 x y  ______________． 16．已知函数  f x 满足    2f x f x ，且当  1,2x 时   lnf x x ．若在区间 1,4 内，函数     2g x f x ax  有两个不同零点，则a的范围为__________． 17．已知在 ABC△ 中， 2B A C  ，且 2c a ． （1）求角 A ， B ，C 的大小； （2）设数列 na 满足 2 cosn na nC ，前n项和为 nS ，若 20nS  ，求n的值． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取 50 名 考生的数学成绩，分成 6 组制成频率分布直方图如图所示： （1）求m的值；并且计算这 50 名同学数学成绩的样本平均数 x ； （2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在 130,150 的同学中选出 3 位作为 代表进行座谈，记成绩在 140,150 的同学人数位 ，写出 的分布列，并求出期望． 19．如图，多面体 ABCDEF 中， ABCD 是正方形， CDEF 是梯形， //EF CD ， 1 2EF CD ， DE  平面 ABCD 且 DE DA ， M N、 分别为棱 AE BF、 的中点． - 5 - （1）求证：平面 DMN  平面 ABFE ； （2）求平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角的余弦值． 20．已知椭圆 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的离心率为 6 3 ，焦距为 4 2 ，抛物线 2C ： 2 2x py ( 0)p  的焦点 F 是椭圆 1C 的顶点． （1）求 1C 与 2C 的标准方程； （2） 1C 上不同于 F 的两点 P ，Q 满足 0FP FQ   ，且直线 PQ 与 2C 相切，求 FPQ△ 的面积． 21．已知函数   2 lnf x x x  ． （1）求函数  f x 在点   1, 1f 处的切线方程； （2）在函数   2 lnf x x x  的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互 相垂直，且切点的横坐标都在区间 1 ,12      上．若存在，求出这两点的坐标，若不存 在，请说明理由． - 6 - 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l 的参数方程为 3x t y kt     （t 为参数），直线 2l 的参数程为 3 3 x m my k     （m为参数），设直线 1l 与 2l 的交点为 P ，当k 变化时点 P 的轨迹为曲线 1C ． （1）求出曲线 1C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2C 的极坐标方 程为 πsin 4 24       ，点Q 为曲线 1C 的动点，求点Q 到直线 2C 的距离的最小值． 23．已知函数    1 3f x x a a   R ． （1）当 2a  时，解不等式  1 13x f x  ≥ ； （2）设不等式  1 3x f x x  ≤ 的解集为 M ，若 1 1,3 2 M     ，求实数a的取值范围． - 7 - 高考数学训练题答案（第 49 套） 1．【答案】B 【解析】 2:log 1 0 2q x x    ，因为   0,2 1,2  ，所以 p 是 q 成立的必要不充 分条件，选 B． 2．【答案】A 【解析】复数 1 1 iz a  ， 2 3 2iz   ，       1 2 1 i 3 2i 3 2i 3 i 2 3 2 2 3 iz z a a a a a            ． 若 1 2z z 是实数，则 2 3 0a  ，解得 2 3a   ．故选 A． 3．【答案】B 【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在 0, 上单调递增，故 满足条件；C 是偶函数，在 0, 上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在  0, 上不单调．故答案为 B． 4．【答案】B 【解析】由题意， 2.5x  ，代入线性回归方程为 1.3 1ˆy x  ，可得 2.25y  ， 0.1 3.1 4 4 2.25m      ， 1.8m  ，故选 B． 5．【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点  1,1A 处取得最大值， max 3 2 3 1 2 1 5z x y       ．本题选 C． 6．【答案】C 【解析】由 1 2 4a a a、 、 成等比数列得 2 2 1 4a a a ，    2 1 1 1 3a d a a d    ， 2 1d a d  ， - 8 - 0d  ， 1d a  ， 1 14 1 1 1 3 1 1 13 15 52 3 a a a a d a a a d a      ，选 C． 7．【答案】C 【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，小女儿和二 女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8，6，5，三个女儿 同时回娘家的天数是 1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选 C． 8．【答案】A 【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥 P ABC ，其中三棱锥的高 为 2 ， 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 角 边 长 为 2 ， 表 面 积 为 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 3ABC PBC PAC PABS S S S S          △ △ △ △ ，故选 A． 9．【答案】D 【 解 析 】  1 0 1 2 π π 0 sin 1f x dx xdx x dx       ， 0 0 ππ sin cos | 2xdx x      ， 1 2 0 1 x dx 的 几 何 意 义 是 以 原 点 为 圆 心 ， 半 径 为 1 的 圆 的 面 积 的 1 4 ， 故 1 2 0 11 π4x dx  ，  1 π π 24f x dx    ，故选 D． 10．【答案】B 【解析】设  ,2aA a ，  ,2bB b ，则 1 12 22 2 a b   ，因为a b ，所以 2 2 1a b  ， 由基本不等式有 2 2 2 2a b a b   ，故 2 2 1a b  ，所以 2a b   ，选 B． 11．【答案】C 【解析】该三棱锥的图象如图所示，由 1AB AC  ， 2DB DC  ， 3AD BC  ， 可得 AB AD ， AC AD ，易证 AD  平面 ABC ． - 9 - 在 ABC△ 中，由余弦定理可得 2 2 2 1cos 2 2 AB AC BCBAC AB AC     ，即 120BAC   ， 以 AC 为 x 轴，以 AD 为 z 轴建立如图所示的坐标系，则  0 0 0A ，， ， 1 3 02 2B      ， ， ，  1 0 0C ，， ，  0 0 3D ，， ，设三棱锥 A BCD 的外接球球心为  , ,M x y z ， 则     22 222 2 2 2 2 2 2 21 3 1 32 2x y z x y z x y z x y z                         ， 解得： 1 2x  ， 3 2y  ， 3 2z  ，∴外接球的半径为 2 2 2 7 2r x y z    ， ∴外接球的表面积为 24π 7πS r  ，故选 C． 12．【答案】C 【解析】如图，过 D 作 DE AB 交 AB 于 E ，则 1AE x  ， 1EB x  ，所以 22DE x x  ， 1 4DB x  ，所以 1 2 1 4 1 e x    ， 2 2 1 4 1 21 4 1 x xe x      ， 所 以 1 2 2 1 4 1 21 4 1 xe e x       ， 令 1 4 1 2 xt   ， 则 1 2 1e e t t    ， 因 5 10, 2t      ，故 1 2 5e e  ，所以 5 8t≤ ，选 C． 13．【答案】120 - 10 - 【解析】∵ 2 cos 2c B a b  ，∴ 2 2 2 2 22 a c bc a bac     ，即 2 2 2a b c ab    ， ∴ 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab     ，∴ 120C   ． 14【答案】13 8 【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当 1x  ， 1y  时， 2 20z x y    ， 1x  ， 2y  ，运算程序依次继续： 3 20z x y    ， 2x  ， 3y  ； 5 20z x y    ， 3x  ， 5y  ； 8 20z x y    ， 5x  ， 8y  ； 13 20z x y    ， 8x  ， 13y  ； 21 20z x y    ， 13 8 y x  运算程序结束，输出13 8 ，应填答案13 8 ． 15．【答案】13 6 【解析】由题意可得： 120CAB   ， 2CA  ， 1CB  ，则：   2 4CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y                ，   2 CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y                 ， 如图所示，作OE BC E  ，OD AC D  ， 则 21 22CO CA CA     ， 21 1 2 2CO CB CB     ， 综上有： 4 2 1 2 x y x y     ，求解方程组可得： 5 6 4 3 x y     ，故 13 6x y  ． 16．【答案】 ln 20, 8     - 11 - 【解析】    2f x f x ，   2 xf x f       ，当  2,4x 时，  1,22 x  ；   ln ln ln 22 2 x xf x f x       ，故函数       ln , 1 2 ln ln 2, 2 4 x x f x x x      ， ， ， 作函数  f x 与 2y ax 的图象如下， 过点 4,ln 2 时， ln 22 4a  ， ln 2 8a  ， ln ln 2y x  ， 1y x   ；故 ln ln 2 1x x x   ， 故 2e > 4x  ，故实数a的取值范围是 ln 20, 8     ． 17．【答案】（1） π 6A  ， π 3B  ， π 2C  ；（2） 4n  或 5n  ． 【解析】（1）由已知 2B A C  ，又 πA B C   ，所以 π 3B  ．又由 2c a ， 所以 2 2 2 2π4 2 cos 33b a a a a a     ，所以 2 2 2c a b  ， 所以 ABC△ 为直角三角形， π 2C  ， π π π 2 3 6A    ． （2） 0,π2 cos 2 cos 2 2 , n n n n nna nC n     为奇数 为偶数 ． 所以  2 2 2 2 4 2 2 1 2 4 1 2 2 40 2 0 2 0 2 1 4 3 k k k n k kS S S              ， *k N ， 由 2 22 4 203 k nS    ，得 2 22 64k   ，所以 2 2 6k   ，所以 2k  ，所以 4n  或 5n  ． 18．【答案】（1） 0.008m  ， 121.8x  ；（2）见解析． 【解析】（1）由题 0.004 0.012 0.024 0.04 0.012 10 1m       ，解得 0.008m  ， 95 0.004 10 105 0.012 10 115 0.024 10 125 0.04 10x              135 0.012 10 145 0.008 10 121.8      ． - 12 - （2）成绩在 130,140 的同学人数为 6，成绩在 140,150 人数为 4，   0 3 4 6 3 10 C C 10 C 6P     ，   1 2 4 6 3 10 C C 11 C 2P     ，   2 1 4 6 3 10 C C 32 C 10P     ，   3 0 4 6 3 10 C C 13 C 30P     ； 所以 的分布列为：   1 1 3 1 60 1 2 36 2 10 30 5E           ． 19．【答案】（1）见解析；（2） 10 10 ． 【解析】（1）∵ //EF CD ， ABCD 是正方形， ∴ //EF AB ，∵ M N、 分别为棱 AE BF、 的中点，∴ //MN AB ， ∵ DE 平面 ABCD，∴ DE AB ，∵ AB AD ， AD DE D ， ∴ AB  平面 ADE ，∴ AB AE ，从而 MN AE ， ∵ DE DA ， M 是 AE 中点，∴ DM AE ， ∵ MN DM M ，∴ AE  平面 DMN ， 又 AE  平面 ABFE ，∴平面 DMN  平面 ABFE ． （2）由已知， DA， DC ， DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 D xyz ， 设 2AD  ，则  2,0,0A ，  0,0,2E ，  2,2,0B ，  0,2,0C ，  0,1,2F ， ∴  2,0,0CB  ，  0, 1,2CF   ，设平面 BCF 的一个法向量为  , ,n x y z ， 由 0 0 n CB n CF        得 2 0 2 0 x y z     ，令 2y  ，则  0,2,1n  ， 由（1）可知 AE  平面 DMN ， ∴平面 DMN 的一个法向量为  2,0,2AE   ， - 13 - 设平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角为 ，则 10cos cos< > 10n AE    ， 所以，平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为 10 10 ． 20．【答案】（1） 2 2 112 4 x y  ， 2 8x y ；（2）18 3 5 ． 【解析】（1）设椭圆 1C 的焦距为 2c，依题意有 2 4 2c  ， 6 3 c a  ， 解得 2 3a  ， 2b  ，故椭圆 1C 的标准方程为 2 2 112 4 x y  ． 又抛物线 2C ： 2 2 ( 0)x py p  开口向上，故 F 是椭圆 1C 的上顶点，  0,2F ， 4p  ，故抛物线 2C 的标准方程为 2 8x y ． （2）显然，直线 PQ 的斜率存在．设直线 PQ 的方程为 y kx m  ，设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，则  1 1, 2FP x y  ，  2 2, 2FQ x y  ，  1 2 1 2 1 22 4 0FP FQ x x y y y y         ， 即    2 2 1 2 1 21 2 4 4 0k x x km k x x m m         * ， 联立 2 2 112 4 y kx m x y     ，消去 y 整理得，   2 2 23 1 6 3 12 0 **k x kmx m     ． 依题意 1x ， 2x ，是方程 ** 的两根， 2 2144 12 48 0k m     ， - 14 - 1 2 2 6 3 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 3 12 3 1 mx x k    ， 将 1 2x x 和 1 2x x 代入 * 得 2 2 0m m   ， 解得 1m   ，（ 2m  不合题意，应舍去） 联立 2 1 8 y kx x y     ，消去 y 整理得， 2 8 8 0x kx   ， 令 264 32 0k    ，解得 2 1 2k  ． 经检验， 2 1 2k  ， 1m   符合要求． 此时，  2 1 2 1 2 1 2 72 18 12 34 425 5 5x x x x x x            ， 1 2 1 18 332 5FPQS x x     △ ． 21．【答案】（1） y x ；（2）存在两点为 1 1,ln 22 4     ， 1,1 ． 【解析】（1）∵  1 1f  ，又   12f x x x    ，∴  1 2 1 1f     ， 故所求切线方程为  1 1 1y x    即 y x ． （2）设所求两点为 1 1,x y ， 2 2,x y ， 1x ， 2 1 ,12x      ，不妨设 1 2x x ， ∵   12f x x x    ， 由题意： 1 2 1 2 1 12 2 1x xx x                ， ∵   12f x x x    在 1 ,12      上单调递增， ∴ 1 1 11 2 1x x  ≤ ≤ ， 2 2 11 2 1x x  ≤ ≤ ， - 15 - 又 1 2x x ，∴    1 2f x f x  ，∴ 1 1 2 2 12 1 12 1 x x x x        ， 解得： 1 1 2x  ，（ 1 1x   舍）， 2 1x  ，（ 2 1 2x   舍） 所以，存在两点为 1 1,ln 22 4     ， 1,1 即为所求． 22．【答案】（1） 1C 的普通方程为   2 2 1 03 x y y   ；（2） d 的最小值为3 2 ． 【解析】（1）将 1l ， 2l 的参数方程转化为普通方程；  1 : 3l y k x  ，①  2 1: 33l y xk   ，② ①×②消k 可得： 2 2 13 x y  ， 因为 0k  ，所以 0y  ，所以 1C 的普通方程为   2 2 1 03 x y y   ． （2）直线 2C 的直角坐标方程为： 8 0x y   ． 由（1）知曲线 1C 与直线 2C 无公共点， 由于 1C 的参数方程为 3 cos sin x a y a    （a为参数， πa k ， k Z ）， 所以曲线 1C 上的点  3 cos ,sinQ a a 到直线 8 0x y   的距离为： π2sin 83 cos sin 8 3 2 2 aa a d         ， 所以当 πsin 13a     时， d 的最小值为3 2 ． 23．【答案】（1）{ | 0x x≤ 或 1}x≥ ；（2） 1 4,2 3     ． 【解析】（1）当 2a  时，原不等式可化为 3 1 2 3x x   ≥ ， - 16 - ①当 1 3x≤ 时，原不等式可化为 3 1 2 3x x    ≥ ，解得 0x≤ ，所以 0x≤ ； ②当 1 23 x  时，原不等式可化为3 1 2 3x x   ≥ ，解得 1x≥ ，所以1 2x ≤ ． ③当 2x≥ 时，原不等式可化为3 1 2 3x x   ≥ ，解得 1x≥ ，所以 2x≥ ， 综上所述，当 2a  时，不等式的解集为{ | 0x x≤ 或 1}x≥ ． （2）不等式  1 3x f x x  ≤ 可化为 3 1 3x x a x   ≤ ， 依题意不等式 3 1 3x x a x   ≤ 在 1 1,3 2      恒成立， 所以3 1 3x x a x   ≤ ，即 1x a ≤ ， 即 1 1a x a ≤ ≤ ，所以 11 3 11 2 a a     ≤ ≥ ， 解得 1 4 2 3a ≤ ≤ ，故所求实数 a的取值范围是 1 4,2 3     ．