高中数学第三章不等式3-2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的应用达标检测含解析新人教A版必修5
一元二次不等式的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．设集合P＝{m|－4＜m＜0}，Q＝{mx2－mx－1＜0，x∈R}，则下列关系式成立的是( )
A．PQ B．QP
C．P＝Q D．P∩Q＝Q
解析：对Q：若mx2－mx－1＜0对x∈R恒成立，
则：①当m＝0时⇒－1＜0恒成立．
②当m≠0时⇒
解得－4＜m＜0.
由①②得Q＝{m|－4＜m≤0}，
所以P Q.
答案：A
2．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．－1
0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，2)
解析：x＝1为ax－b＝0的根，所以a－b＝0，即a＝b，
因为ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0，
故＝>0，
转化为(x＋1)(x－2)>0.
所以x>2或x<－1.
答案：C
二、填空题
6．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0的解集为R，则m的取值范围为________．
解析：①若m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1，
m＝3时，原式化为－1<0，显然成立，
m＝－1时，原式不恒成立，故m≠－1.
②若m2－2m－3≠0，则
解得－0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________．
解析：因为(x－a)(x＋1)>0与>0同解，
所以(x－a)(x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，
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所以4，－1是(x－a)(x＋1)＝0的根，
所以a＝4.
答案：4
8．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：若二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，
都有f(x)<0成立，
则
解得－400，解得15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制订这批台灯的销售价格区间为x∈[15，20)．
10．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.对于任意的x∈[0，2]，均有不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
故a的取值范围为.
B级 能力提升
1．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1，3)
解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由
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f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，可得f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0，解得x<1或x>3.
答案：C
2．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1，3)恒成立，则a的取值范围是________．
解析：原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1，3)恒成立，设f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1，3]上的最小值为f(3)＝5.
所以a∈(－∞，5]．
答案：(－∞，5]
3．设g(x)＝x2－mx＋1.
(1)若≥0对任意x>0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)讨论关于x的不等式g(x)≥0的解集．
解：(1)由题意，若≥0对任意x>0恒成立，
即为x－m＋≥0对x>0恒成立，
即有m≤x＋的最小值，由x＋≥2，可得x＝1时，取得最小值2，可得m≤2；
(2)当Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2时，g(x)≥0的解集为R；
当Δ>0，即m>2或m<－2时，方程x2－mx＋1＝0的两根为，，
可得g(x)≥0的解集为(－∞，]∪[，＋∞)．
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