2020秋新教材高中数学第三章函数的概念与性质3

2020秋新教材高中数学第三章函数的概念与性质3

第三章 函数的概念与性质 f ( x 1 )< f ( x 2 ) f ( x 1 )> f ( x 2 ) 单调递增 单调递减 增函数 减函数 提示 : 定义中的 x 1 , x 2 有以下 3 个特征 : ① 任意性 , 即 x 1 , x 2 是任意选取的 , 证明时不能以特殊代替一般 ; ② 有大小 , 通常规定 x 1 < x 2 ; ③ 属于同一个单调区间 . 提示 : 若函数 f ( x ) 是其定义域上的增函数 , 则当 f ( a )> f ( b ) 时 , a > b ; 若函数 f ( x ) 是其定义域上的减函数 , 则当 f ( a )> f ( b ) 时 , a < b. 解析 : 由函数单调性的定义可知 , 要证明一个函数是增函数 , 需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大 , 函数值也越大 , 而不是个别的自变量 . 答案 : × 答案 : ×   答案 : × 单调递增或单调递减 单调区间 提示 : 不能确定 . 由特殊值的大小不能判定函数的单调性 .   答案 : C 答案 : D 解析 : 因为 f ( x )= x 2 -2 x +3 是图象开口向上的二次函数 , 其对称轴为直线 x =1, 所以函数 f ( x ) 的单调减区间是 (-∞,1) .   (-∞,1) 解析 : 观察图象可知 , y = f ( x ) 的单调区间有 [-5,-2], [-2,1],[1,3],[3,5] . 其中 y = f ( x ) 在区间 [-5,-2],[1,3] 上是增函数 , 在区间 [-2,1],[3,5] 上是减函数 . [-2,1] [3,5] [-5,-2] [1,3]   (-∞,1),(1,+∞) 解析 : 因为函数 f ( x ) 是开口向下的二次函数 , 其对称轴为直线 x = a , 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( a ,+∞) . ( a ,+∞)   解析 : f ( x )= x 2 +2( a -1) x +2=[ x +( a -1)] 2 -( a -1) 2 +2, 所以此二次函数的对称轴为直线 x =1- a. 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (-∞,1- a ] . 因为 f ( x ) 在 (-∞,4] 上是减函数 , 所以直线 x =1- a 必须在直线 x =4 的右侧或与其重合 , 所以 1- a ≥4, 解得 a ≤-3, 即实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] . (-∞,-3]     解 : 由例题知函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (-∞,1- a ], 所以 1- a =4, 解得 a =-3 . 解析 : 因为 y = f ( x ) 在 R 上单调递增 , 且 f ( m 2 )> f (- m ), 所以 m 2 >- m , 即 m 2 + m >0 . 解得 m <-1 或 m >0, 即 m 的取值范围是 (-∞, -1) ∪ (0,+∞) . 故选 D . 答案 : D