【数学】内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下学期第四次模拟考试试题（理）（解析版）

【数学】内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下学期第四次模拟考试试题（理）（解析版）

内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2020届高三下 学期第四次模拟考试数学试题（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.若集合，则的真子集的个数为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，所以的真子集的个数为，故选A．‎ ‎2.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）‎ A. z虚部为﹣i B. |z|=2‎ C. z表示的点在第四象限 D. z的共轭复数为﹣1﹣i ‎【答案】C ‎【解析】∵,‎ ‎∴z的虚部为；|z|；z表示的点的坐标为,在第四象限；‎ z的共轭复数为.‎ 故选：C.‎ ‎3.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】因为，且==，‎ 所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B ‎4.已知且，，则（ ）‎ A. ﹣1 B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，且，，‎ 则，‎ 解可得，‎ 则，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的值为（ ）‎ A. 80 B. ‎192 ‎C. 448 D. 36‎ ‎【答案】B ‎【解析】初始：v=1， k=1；‎ 第一步：v=1×2+21=4，k=2；‎ 第二步：v=4×2+22=12，k=3；‎ 第三步：v=12×2+23=32，k=4；‎ 第四步：v=32×2+24=80，k=5；‎ 第五步：v=80×2+25=192，k=6；‎ 因为此时,故停止循环,输出v的值为192.‎ 故选：B.‎ ‎6.对于实数m，“”是“方程1表示椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由“方程1表示椭圆“可得,‎ 解得且,‎ 所以“”是 “方程1表示椭圆”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎7.设圆关于直线对称的圆为，则圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的标准方程为，‎ 则圆心为，半径为，‎ 设圆的圆心为，‎ 则解得，‎ 则圆为，其关于对称，‎ 圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体为球，半径为，‎ 所以该球的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎8.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得：‎ ‎ 为奇函数，图象关于原点对称 可排除B，D，‎ 又当时，，可排除 本题正确选项：A.‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. 36π B. 64π C. 81π D. 100π ‎【答案】C ‎【解析】根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，‎ 如图所示：‎ ‎ ‎ 该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，‎ 四棱锥的高即为 所以，‎ 解得．‎ 设四棱锥的外接球的半径为r，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎10.已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. ‎4 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.‎ ‎11.在中，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，‎ 所以，，，即，，，‎ 所以，，，‎ 解得，，，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎12.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知函数定义域为，‎ ‎.‎ 因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.‎ 令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.‎ 故选：C 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，与的夹角为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，与的夹角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎14.若，则二项式的展开式中含项的系数是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 所以二项式，‎ 其展开式的通项公式为，令，‎ 则，所以含项的系数是.‎ 故答案为：‎ ‎15.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知，）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设需要至少布置门高炮，‎ 某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，‎ 要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 需要至少布置11门高炮．‎ 故答案为：．‎ ‎16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】，‎ 整理得，‎ 解得或（舍去），‎ 或.‎ 又∵点P是的重心，‎ ‎，‎ 整理得.‎ 当时，，得，‎ 此时，‎ 解得；‎ 当时，，得，‎ 此时，‎ 解得.‎ 故答案为：或.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.如图，已知四棱锥底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）解：以A为原点，如图所示建立直角坐标系 ‎，，‎ 设平面FAE法向量为，则 ‎，，‎ ‎18.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪元，每销售一件产品提成元；乙公司规定底薪元，日销售量不超过件没有提成，超过件的部分每件提成元．‎ ‎（I）请将两家公司各一名推销员的日工资（单位：元）分别表示为日销售件数的函数关系式；‎ ‎（II）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为，乙公司该推销员的日工资为（单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：‎ 某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．‎ 解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资(单位:元) 与销售件数的关系式为:.‎ 乙公司一名推销员的日工资(单位: 元) 与销售件数的关系式为:‎ ‎(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为 ‎122‎ ‎124‎ ‎126‎ ‎128‎ ‎130‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 记乙公司一名推销员的日工资为(单位: 元),由条形图可得的分布列为 ‎120‎ ‎128‎ ‎144‎ ‎160‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎01‎ ‎∴‎ ‎∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司.‎ 点睛：求解离散型随机变量数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 ‎19.已知为等差数列的前项和，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式和前项和：‎ ‎（2）记，求的前项和.‎ 解：（1）设等差数列的公差为，‎ 由，得 解得，所以.‎ ‎.‎ ‎（2）.‎ ‎.‎ ‎20.已知椭圆：的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x = m于点M，当m为何值时，为定值．‎ 解：（1）椭圆过点,∴,①‎ 又因为直线的斜率之积为,故.‎ 又.即,②‎ 联立①②得．‎ ‎∴所求的椭圆方程为．‎ ‎（2）方法1：由（1）知,．由题意可设,‎ 令x=m,得．又设 由整理得：．‎ ‎∵,∴,,‎ 所以,‎ ‎∴,‎ 要使与k无关,只需,此时恒等于4.‎ ‎∴‎ 方法2：:设,则,令x=m,得,‎ ‎∴‎ 由有,‎ 所以,‎ 要使与无关,只须,此时.‎ ‎∴‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线与的公切线方程：‎ ‎（2）若有两个极值点，，且，求实数a的取值范围.‎ 解：（1）时，，‎ 设曲线上的切点为，则切线方程为，‎ 设曲线上的切点为，则切线方程为 由两条切线重合得 ，则 ，‎ 所以，公切线方程为；‎ ‎（2），‎ ‎，设其零点为，，‎ ‎，，‎ 令，可得，则 ‎ 令，，‎ 又令，，则单调递减，‎ ‎，，单调递减，‎ ‎ ，易知， ，‎ 令，，‎ 则在上递增，‎ ‎（选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程；‎ ‎（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．‎ 解：（1）直线的直角坐标方程为,‎ 将,代入方程得 ‎,即,‎ ‎（2）设直线的极坐标方程为,设,‎ 则,‎ 由,有,‎ 当时,的最大值为．‎ ‎23.已知的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知，，且，求证：．‎ 解：（Ⅰ）由题意，函数，‎ 可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以函数的最小值为，‎ 又因为函数的最小值为，可得，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，且，‎ 要证，‎ 只要证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 显然，当且仅当时取等号．‎ 所以．‎ ‎ ‎