数学卷·2018届福建省三明市第一中学高二上学期第一次月考理数试题（解析版）

数学卷·2018届福建省三明市第一中学高二上学期第一次月考理数试题（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.下列关系中，属于相关关系的是（ ）‎ A．正方形的边长与面积 B．农作物的产量与施肥量 C．人的身高与眼睛近视的度数 D．哥哥的数学成绩与弟弟的数学成绩 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：相关关系.‎ ‎2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种 不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：无论采取随机抽样还是系统抽样,或者是分层抽样,个体被抽到的概率都相同,因此,故选D.‎ 考点：随机抽样.‎ ‎3.某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方 差分别为，，则（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：,‎ ‎;‎ ‎,‎ ‎,故选C.‎ 考点：茎叶图.‎ ‎【易错点晴】本题考查学生的是由茎叶图中的数据求平均数和方差,属于中档题目.由茎叶图观察数据,用茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字,利用平均值公式及标准差公式求出两个样本的平均数和方差,一般平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名运动员的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名运动员的成绩越稳定.‎ ‎4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）‎ A．恰好有一个黑球与恰好有两个红球 B．至少有一个黑球与至少有一个红球 C．至少有一个黑球与都是黑球 D．至少有一个黑球与都是红球 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：互斥事件与对立事件.‎ ‎5.某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的靶数为9,10,7,8,10,10,6,8,9,7，设其平均数 为,中位数为，众数为,则有（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：平均数,中位数,众数.‎ ‎6.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2‎ 倍.为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本的 老年职工人数为（ ）‎ A．7 B．9 C．18 D．36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设老年职工有人,中年职工人数是老年职工人数的倍,则中年职工有,,,即由比例可得该单位老年职工共有人,因为在抽取的样本中有青年职工人,所以每个个体被抽到的概率是,用分层抽样的比例应抽取人.‎ 考点：分层抽样.‎ ‎7.执行右图程序中，若输出的值为，则输入的值为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ INPUT ‎ IF THEN ELSE ‎ END IF ‎ PRINT ‎ END ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得或,解得或,故选C.‎ 考点：程序框图.‎ ‎8.已知一组数据的平均值为2，方差为1，则平均值方差 分别为（ ）‎ A．5, 4 B．5, 3 C．3, 5 D．4, 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：平均数与方差. ‎ ‎9.右边程序框图输出的结果为（ ）‎ A．52 B．55 C．63 D．65‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得第一次循环为第二次循环为第三次循环为...第七次循环为,第八次循环为,满足条件输出,故选A.‎ 考点：程序框图.‎ ‎10.设为直线,是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是（ ）‎ A．若,,则 B．若,,则 C．若,,则 D．若,,则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若与相交,且平行于交线,则符合A,显然A错误;若,则,故C错误;,若平行交线,则,故D错误,因此应该选B.‎ 考点：平行与垂直.‎ ‎11.已知圆，直线，求圆上任取一点到直线的距离小于2‎ 的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：1.直线与圆；2.几何概型.‎ ‎【思路点晴】本题考查学生的是几何概型与直线与圆知识的交汇,属较难题目.在利用几何概型的概率公式来求其概率时,几何“度量”可以是长度、面积、体积、角度等.其中对于几何度量为长度,面积,体积是的等可能性主要体现在点落在区域上都是等可能的,而对于角度而言,则是过角的顶点的一条射线落在区域的任意位置是等可能的.‎ ‎12.对于集合和常数，定义：‎ 为集合相对于的“正弦方 差”，则集合相对的“正弦方差”为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：三角函数. ‎ ‎【方法点晴】本题借用新定义考查了三角函数公式,需要学生合理使用公式进行化简,属于中档题目.先根据题意表示出正弦方差,进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二倍角,进而利用两角和公式进一步化简整理,求得结果即可.三角函数问题重在化简,边角统一,在化简本题时,可以先用二倍角公式降幂再展开,也可以先平方展开,再用二倍角公式,运算的技巧要总结.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.把八进制数转化为三进制数为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将八进制的数先化为十进制,将十进制的数化为三进制,故.‎ 考点：进位制.‎ ‎14.为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑 采用系统抽样，则分段间隔为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抽样间隔为,故填.‎ 考点：系统抽样.‎ ‎15.在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱有公共点的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：古典概型.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查学生的是异面直线和古典概型两个知识点的交汇,考查了空间想象能力以及分析问题与解决问题的能力,属于中档题目.因为三棱锥的六条棱中任意选择两条都是等可能的,故找到两条棱有公共点的结果总数与任选两条的结果总数作比即为所求概率,这里使用了正难则反,先求了所求概率的对立事件,由于每条侧棱与其对棱互为异面直线,所以异面直线共有对.‎ ‎16.如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填 入 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由程序框图可知,表示落入圆内的个数,,即,故填.‎ 考点：程序框图.‎ ‎【方法点晴】‎ 本题是一道关于程序框图的题目,属中档题目.解答本题的关键是读懂程序框图,首先由图可知,落入圆内的个数,接下来由,即可得到值.利用循环语句来实现数值的累加或累乘常分如下步骤:(1)观察的表达式分析,循环的初始值,终值,步长;(2)观察每次累加的值的通项公式;(3)在循环前给累加器和循环变量赋初值,累加器的初值为,累乘器的初值为,环变量的初值同累加或累乘第一项的相关初值;(4)在循环体中要先计算累加或累乘值,如果累加或累乘值比较简单,可忽略此步,累加或累乘,给循环变量加步长;(5)输出累加或累乘值. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）求612，840的最大公约数；‎ ‎（Ⅱ）已知，用秦九韶算法计算：当时的值.‎ ‎【答案】(I)；(II).‎ ‎【解析】‎ 考点：1.辗转相除法；2.秦九韶算法.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下：‎ 甲：78 76 74 90 82‎ 乙：90 70 75 85 80‎ ‎（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；‎ ‎（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？‎ 说明理由.‎ ‎【答案】(I)茎叶图见解析；(II)甲.‎ ‎【解析】‎ 考点：1.茎叶图；2.平均数与方差. ‎ ‎【方法点晴】本题考查的是茎叶图和平均数与方差的计算,属基础题目.根据计算结果选出合适的人参加数学竞赛,其中平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名学生的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名学生的成绩越稳定;要求学生结合算出的数据灵活掌握.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批产品中抽取个产品（其中），得到频率分布直方 图如下：‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命的平均数、中位数的估计分别是多少？‎ ‎（Ⅲ）现要从300400及400500这两组中按照分层抽样的方法抽取一个样本容量为36的样本，则在 ‎300400及400500这两组分别抽多少件产品.‎ ‎【答案】(I)；(II)；(III).‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）平均数估计值为 ‎，‎ ‎ …………6分 前2组的频率为0.25，前3组的频率为0.65，所以中位数的估计值为.‎ ‎ …………9分 ‎（Ⅲ）300400及400500这两组的频数之比为,所以在300400这一组中抽取件，在400500这组中抽取件. …………12分 考点：频率分布直方图.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 班级联欢时，主持人拟出如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，‎ 把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相 同的卡片上，并放入一个箱子中充分搅拌，每次随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节 目．‎ ‎（Ⅰ）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；‎ ‎（Ⅱ）为了安排人员表演独唱和朗诵，取出并观察第一张卡片后又放回箱子，充分混合后再从中抽取第 二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率.‎ ‎【答案】(I)；(II).‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）记表示第一次抽取的卡片是且第二次抽取的卡片是，；则所以的基本事件有，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，，共25件，且每个基本事件发生的可能性相同， ……8分 设事件,则包含的基本事件有，，，，共5件，这是一个古典概型，由古典概型概率公式得 …………10分 由同一个人表演的概率. …………12分 考点：古典概型.‎ ‎【方法点晴】本题考查学生的是古典概率的计算和列举法的应用,属于中档题目.由题设条件可知,每张卡片被取出的可能性相等,即属于古典概率的模型.第一次抽取方式为连续抽取两张,即不放回实验,因此分母为种结果；第二次抽取为抽取再放回,因此分母的计算方式为种,并且这种结果出现的可能性相同,试验属于古典概型.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知关于的方程为．‎ ‎（Ⅰ）若，，求方程有实数根的概率.‎ ‎ （Ⅱ）若，，求方程有实数根的概率.‎ ‎ （Ⅲ）在区间上任取两个数和，利用随机数模拟的方法近似计算关于的方程 有实数根的概率，请写出你的试验方法.‎ ‎【答案】(I)；(II)；(III)试验方法见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）方程有实数根等价于.或.‎ ‎ …………4分 可看成是平面内的点，试验的所有结果所构成的区域为，‎ 这是一个正方形区域，面积为, …………6分 设事件,则构成的区域为 面积为, …………8分 所以由几何概性概率告诉的关于的方程有实数根的概率.‎ ‎ …………9分 考点：几何概型. ‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表 广告费用(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ ‎（Ⅰ）画出散点图；‎ ‎（Ⅱ）求出对的线性回归直线的方程（其中）；‎ ‎（Ⅲ）若广告费用为6万元，则销售额大约为多少万元.‎ ‎【答案】(I)散点图见解析；(II)；(III).‎ ‎【解析】‎ 考点：两个变量的线性相关.‎ ‎ ‎