四川省宜宾市叙州区第一中学2018-2019学年高二下学期下学期期末模拟数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第一中学2018-2019学年高二下学期下学期期末模拟数学（理）试题

‎2019年四川省叙州区第一中学高二期末模拟考试 理科数学试题 第I卷（共60分）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）‎ ‎1.复数的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎2.下列命题中正确的为 A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B. 线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D. 残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 ‎3.峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是 A. 19 B. 20 C. 21.5 D. 23‎ ‎4.某班有学生60人，现将所有学生按1，2， 3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本（等距抽样），已知编号为3, 33, 48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为 A. 28 B. 23 C. 18 D. 13‎ ‎5.“双曲线的渐近线互相垂直”是“双曲线离心率”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6.已知随机变量服从正态分布，若，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎7.在的展开式中，常数项为 A. 145 B. 105 C. 30 D. 135‎ ‎8.男女共名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有人排在一起，则不同的排法种数为 A. B. C. D. ‎ ‎9.按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为 A. B. C. D. ‎ ‎10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知为抛物线上一个动点， 为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎12.若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是 A. B. 1 C. 2 D. ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.抛物线的准线方程为_____________‎ ‎14.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为.由以上信息，得到下表中的值为__________.‎ 天数(天)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 繁殖个数(千个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎15.若命题“任意实数，使”为真命题，则实数的取值范围为__________．‎ ‎16.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，得的取值范围是________．‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（12分）设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围 ‎18.（12分）通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表： ‎ 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎28‎ ‎44‎ 不读营养说明 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 总计 ‎36‎ ‎36‎ ‎72‎ ‎(1)根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别和是否看营养说明有关系呢？‎ ‎(2)从被询问的28名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生人数 的分布列及数学期望.‎ 附：‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（12分）如图1所示，在等腰梯形中， .把沿折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）已知椭圆： 的左右焦点分别为， ，左顶点为，上顶点为， 的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线： 与椭圆相交于不同的两点， ， 是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.‎ ‎21.（12分）已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；‎ ‎（2）求证：时，．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.‎ ‎22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程为 ‎（1）当时，判断直线与圆的关系；‎ ‎（2）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）对任意满足的正实数， ，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎2019年四川省叙州区第一中学高二期末模拟考试 理科数学试题答案 ‎1.D 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.A 11.A 12.D ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17.（I）由，得．‎ 因为， ，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时， ，‎ 所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在， ，‎ ‎，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数 有三个不同零点．‎ ‎18.（1）由计算可得的观测值为．‎ 因为，而,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.‎ ‎（2）的取值为0，1，2.‎ ‎，，.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望为.‎ ‎19.（1）证明：在等腰梯形中，可知.因为，可得.‎ 又因为，即，则.‎ 又，可得面，故.‎ 又因为，则，‎ ‎，则，‎ 所以，‎ 又，所以面，‎ 又面，所以面面；‎ ‎（2）‎ 设，过点作交于点，‎ 以点为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 在中，∵， ，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，‎ 取，可得平面的法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，‎ 取，可得平面的一个法向量为.‎ 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 则，‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）由已知，有.‎ 又，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则， .‎ ‎∴.‎ ‎②当时，直线的方程为.‎ 则直线的方程为，即.‎ 设， .‎ 联立方程，消去，得 .‎ 此时.‎ ‎∴， .∴.‎ ‎∵即点到直线的距离，‎ ‎∴ .‎ 又即点到直线的距离，∴.‎ ‎∴.‎ 令，则.‎ ‎∴ .‎ 即时，有.‎ 综上，可知的取值范围为.‎ ‎21.解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ex+a的导数为f′（x）＝﹣ex+a．‎ 曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，‎ 切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），‎ 可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，‎ 可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；‎ ‎（2）证明：f′（x）＝﹣ex+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣ex+a．‎ 可得g′（x）＝﹣（+ex+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；‎ 由a＞1﹣，ex+a＞ex．若ex＞，g（x）＜﹣ex＜0，‎ 当0＜x＜1时，ex+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，‎ 故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，‎ 当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 可得f（x）≤f（x0），‎ 又f（x0）＝lnx0﹣ex0+a，又ex0+a＝，‎ 可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，‎ 又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），‎ a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），‎ 所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，‎ 可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．‎ ‎22.（1）圆的普通方程为，‎ 直线的直角坐标方程为：，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以直线与圆相交；‎ ‎（2）圆上有且只有一点到直线的距离等于，‎ 即圆心到直线的距离为，‎ 过圆心与直线平行的直线方程为： .‎ 联立方程组，‎ 解得，，‎ 故所求点为和.‎ ‎23（1）‎ 当时，由得，则；‎ 当时， 恒成立；‎ 当时，由得，则.‎ 综上，不等式的解集为 ‎（2）由题意，‎ 由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.‎ 由题意得，解得.‎