数学卷·2019届河南省郑州市领航实验学校高二上学期第一次月考（2017-10）
郑州领航实验学校第一次月考
高二数学试题
……………………………………………………………………………………
一、选择题（下列四个选项中，只有一项是最符合题意的。本大题共 12 小题，
每小题 5 分，共 60 分）
1. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则
（ ） A． B． C． D．
2. 在 中, 如果 ，那么角 （ ）
A． B． C． D．
3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
4. 关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（ ）
A． ，有两解 B． ，有一解
C. ，有两解 D． ，无解
5. 在 中, ， 则 的周长为 （ ）
A． B．
C. D．
6．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一
道题：把 120 个面包分成 5 份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少
的两份之和的 7 倍，则最少的那份有（ ）个面包．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知等比数列 的前 n 项和是 Sn，且 S20=21，S30=49，则 S10 为（ ）
ABC∆ A B C a b c
ABC∆
ABC∆ ABC∆
5 , 22a b A B= =
cos B =
5
3
5
4
5
5
5
6
( )( ) 3a b c b c a bc+ + + − = A =
30 60 120 150
7, 14, 30a b A= = = 30, 25, 150a b A= = =
6, 9, 45a b A= = = 9, 10, 60b c B= = =
, 33A BC
π= =
4 3sin 33B
π + + 4 3sin 36B
π + +
6sin 33B
π + + 6sin 36B
π + +
{ }na
A．7 B．9 C．63 D．7 或 63
8．设 a，b 是非零实数，若 a＞b，则一定有（ ）
A． B．a2＞ab C． D．
9．设等差数列 的前 n 项和为 Sn，且满足 S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数 n，
都有 则 的值为（ ）
A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
10. 在各项均不为零的等差数列 中，若 ，则
（ ） A． B． C. D．
11. 关于 x 的不等式 ax－b>0 的解集是(1，＋∞)，则关于 x 的不等式ax＋b
x－2 >0 的解集是
( ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
12. 满足 的 恰有一个，则 的取值范围是（ ）
A． B． C. D． 或
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 等比数列 的前 项和为 ，则 的值为 __________.
14. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 、 、 等差数列，
， 的面积为 ，则 __________.
15. 已知－1 x＋y 4，且 2 x－y 3，则 z＝2x－3y 的取值范围是_________.
16. 已知两个等差数列 和 的前 n 项和分别为 ，若 ，
则 _________.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或
ABC∆
ABC∆ A B C a b c a b c
ABC∆
{ }na
n ka a≥ k
{ }na ( )2
1 1 0 2n n na a a n+ −− + = ≥ 2 1 4nS n− − =
2− 0 1 2
60 , 12,ABC AC BC k∠ = = = k
8 3k = 0 12k< ≤ 12k ≥ 0 12k< ≤ 8 3k =
{ }na n 3n
nS t= + 3t a+
30B = 3
2 b =
≤ ≤ ≤ ≤
{ }na { }nb ,n nS T 2
3 1
n
n
S n
T n
= +
82
3 7 4 6
aa
b b b b
+ =+ +
演算步骤.）
17.（本小题满分 10 分）
（1）已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小；
（2）已知 12
3b a= − ( ]1,0x∈ − ( ) 0f x ≥ a
10 180 15 420
45 2 1.4, 3 1.7)= =
ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c=
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
（理科）在 中，已知
（1）求 C；
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
22.（本小题满分 12 分）在数列 中， .
（1）设 ，求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
7,c ABC= ∆ 3 3
2 ABC∆
ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c=
7,c ABC= ∆ 3 3
2 ABC∆
{ }na 1 1
1 11, 1 2n n n
na a an+
+ = = + +
n
n
ab n
= { }nb
{ }na n nS
郑州领航实验学校
考试试题参考答案及评分标准
注：参考答案需写清题号、每小题分值、参考答案要点、评分标准等
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
BBABD CACDA DD
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 14. 15. [3,8] 16.
三、解答题（第 17 题 10 分，第 18-22 每题 12 分，共 70 分）
17.（本小题满分 10 分）
解：(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－1
2)2＋3
4]，
∵x<1，∴x－1<0， 又∵(x－1
2)2＋3
4>0，
∴(x－1)[(x－1
2)2＋3
4]<0，
∴x3－1<2x2－2x. 5 分
(2)∵150，n≥6 时，an<0.
∴当 n＝5 时，Sn 取得最大值． 12 分
19.（本小题满分 12 分）
解：（1）因为不等式 的解集是 ,
所以 是方程 的解，
由韦达定理得： ，
故不等式 为 ，
解不等式 得其解集为 . 6 分
（2）解法 1：据题意 恒成立，
则可转化为 ,设 ，
则 关于 递减，
所以 . 12 分
解法 2：
按二次函数的对称轴，与 位置关系来分类讨论，亦可得出答案. 12 分
20.（本小题满分 12 分）
2 0x ax b− + < { }| 2 3x x< <
2, 3x x= = 2 0x ax b− + =
5, 6a b= =
2 1 0bx ax− + > 26 5 1 0x x− + >
26 5 1 0x x− + > 1 1| 3 2x x x < > 或
( ] ( ) 21,0 , 3 0x f x x ax a∈ − = − + − ≥
2
min
3
1
xa x
+≤ + 1t x= +
( ] ( )22 1 33 40,1 , 21
txt tx t t
− ++∈ = = + −+ t
min
4 2 1 4 2 3, 3t at
+ − = + − = ∴ ≤
( ]1,0x∈ −
解： 如图 , .
,
在 中,
,
,
答：山顶的海拔高度 千米.
21.（本小题满分 12 分）
（文科）
（1）
由正弦定理得：
∵ ， ∴
∴ ，
∵ ∴
6 分
（2）由余弦定理得： 即
∴
∴
∴ 周长为 12 分
15 , 45 , 30A DBC ACB∠ = ∠ = ∴∠ =
( )1180000 420 210003600AB m= × × =
∴ ABC∆
( )21000, sin15 10500 6 2 ,1sin sin
2
BC AB BC CD ADA ACB
= ∴ = = − ⊥∠
( ) ( )2sin sin 45 10500 6 2 10500 3 12CD BC CBD BC∴ = ∠ = × = − × = −
( )10500 1.7 1 7350= − =
10000 7350 2650= − =
( )2cos cos cosC a B b A c+ =
( )2cos sin cos sin cos sinC A B B A C⋅ + ⋅ =
( )2cos sin sinC A B C⋅ + =
πA B C+ + = ( )0 πA B C ∈、 、 ， ( )sin sin 0A B C+ = >
2cos 1C = 1cos 2C = ( )0 πC ∈ ， π
3C =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ⋅ 2 2 17 2 2a b ab= + − ⋅
( )2 3 7a b ab+ − =
1 3 3 3sin2 4 2S ab C ab= ⋅ = = 6ab =
( )2 18 7a b+ − = 5a b+ =
ABC△ 5 7a b c+ + = +
（理科）
（1）由题意可得 ，化简可得 ，根据正弦定理
化简可得： 6 分
（ 2 ） 由
， 因
此可得 ，将之代入 中可得：
， 化 简 可 得
，利用正弦定理可得 ，同理
可得 ，
故而三角形的周长为 12 分
22.（本小题满分 12 分）
（1）由已知得 ,且 ，即 ，从而
，于是
，
又 ，故所求的通项公式 . 6 分
（2）由（1）知 ，
，
而 ，又 是一个典型的错位相减法模型，易得
21 sin2 3sinABC
aS bc A A∆ = = 2 22 3 sina bc A=
2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B= ⇒ =
( )
2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6
B
A A B B B C A
B C
π
= ⇒ = − + = − = ⇒ =
=
3B C
π= − 2sin sinC 3B =
23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C
π − = − =
3tan ,3 6 6C C B
π π= ⇒ = = 3 1sin 3sin 23
2
ab BA
= = × =
3c =
3 2 3+
1 1 1b a= = 1 1
1 2
n n
n
a a
n n
+ = ++ 1
1
2n n nb b+ = +
( )2 1 3 2 12 1
1 1 1, ... 22 2 2n n nb b b b b b n− −= + = + = + ≥
( )1 2 1 1
1 1 1 1...... 2 22 2 2 2n n nb b n− −= + + + + = − ≥
1 1b =
1
12 2n nb −= −
1 1
12 22 2n n n
na n n− −
= − = −
( )1 1
1 1 1
2 22 2
n n n
n k k
k k k
k kS k k− −
= = =
∴ = − = − ∑ ∑ ∑
( ) ( )
1
2 1
n
k
k n n
=
= +∑ 1
1 2
n
k
k
k
−
=
∑
. 12 分( )1 1 1
1
2 24 , 1 42 2 2
n
nk n n
k
k n nS n n− − −
=
+ += − ∴ = + + −∑
