数学理卷·2018届云南省云天化中学高二下学期阶段测试（一）（2017-03）

数学理卷·2018届云南省云天化中学高二下学期阶段测试（一）（2017-03）

云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（一）‎ 高二年级理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）已知向量，，若，则实数的值是（ ）‎ A． B． C．-1 D．1 ‎ ‎（3）设是两个不同的平面，是直线且，是的（ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎（5）若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（6）已知等比数列满足，则（ ）‎ A．84 B． 63 C．42 D．21‎ ‎（7）设函数,则( )‎ A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 ‎ C . 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎（8）如图,矩形中,点在轴上,点的坐标为,且点与点在函数 ‎ 的图像上.若在矩形内随机取一点,则此点取自 ‎ 阴影部分的概率等于 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎（9）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（10）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎（11）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（12）已知函数，函数，其中.若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎（13）已知实数满足不等式组则最大值是___________．‎ ‎（14）执行如图所示的程序框图,则输出的___________． ‎ ‎（15）函数在点（1,0）处的切线方程是 .‎ ‎（16）已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则___________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 已知为的三内角，且其对边分别为，若.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且是1与的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：‎ ‎，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）分别求出，的值；‎ ‎（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人? ‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 如图，在四棱锥中,四边形是直角梯形,, ,底面,,,是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的一个顶点为,离心率为,直线与椭圆交于不同的两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)当的面积为时,求的值.‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知函数在处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数在上的最小值;‎ ‎(Ⅲ)求证:对任意,都有.‎ 云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（一）‎ 高二年级理科数学试卷答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 B D B A B C D B A C D D ‎1.解析：因为，所以，故选B.‎ ‎2.解析：因为，所以，所以，故选D.‎ ‎3.解析：由线面平行的性质定理可知答案为B.‎ ‎4.解析：将三视图还原得到的四棱锥底面为矩形，一侧面垂直于底面，故 ‎.故选A.‎ ‎5.解析：由图像可得，故选B.‎ ‎6.解析：因为，所以，所以42.故选C.‎ ‎7.解析：，因为在为单调减函数，在为单调增函数，所以为的极小值. 故选D.‎ ‎8. 解析：因为,所以矩形的面积为6，阴影部分的面积为，所以若在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于，故选B.‎ ‎9.解析：如图在三棱锥中，取的中心，的中点，连结，是的外心，所以，又是球心，所以，，，所以高，则，故选A.‎ ‎10.解析：由得，故选C.‎ ‎11. 解析：因为，所以代入双曲线，整理可得，即，所以，双曲线的离心率，所以，故选D.‎ ‎12. 解析：函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图像有4个不同的交点.又作出函数的图像如图所示，由图可知，当时，直线与函数的图像有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，的取值范围是.故选D 二、填空题：‎ ‎13. 2 14. -4 15. 16. 4‎ ‎13. 解析：因为可行域为三角形，,所以将点A代入最大值是2，故填2.‎ ‎14. 解析： ①；②；③；④，……，周期为3. .故填-4.‎ ‎15. 解析：，，切线为.故填.‎ ‎16. 解析：设圆心到直线的距离为，则弦长得即解得，则直线，数形结合可得.故填4.‎ 三、解答题：‎ ‎17. 解：（1）∵，‎ ‎∴，又∵，∴.‎ ‎∵，∴.-----------5分 ‎（2）由余弦定理，‎ 得，即，∴，‎ ‎∴-------------10分 ‎18. 解：（1）时，，‎ 时，，又，两式相减得 ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差数列，即．-------------6分 ‎（2），‎ ‎∴=．-----------12分 ‎19. 解：（1）第1组人数，所以， ------- 1分 第2组频率为：，人数为：，所以， ------ 2分 第4组人数，所以， ------------ 3分 ‎（2）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，1人 ---------6‎ ‎（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为，，第3组的设为，，，第4组的设为， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：‎ ‎，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，. ----- 8分 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：A=，，，，，，，，． -------------- 9分 ‎． -------------------------------- 11分 答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为 ----------------- 12分 ‎20. 解：（Ⅰ） 平面平面 因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．----------6分 ‎（Ⅱ）如图，‎ 以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则 取，则为面法向量．‎ 设为面的法向量，则，‎ 即，取，则 依题意，则．于是．‎ 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值为．-------------12分 ‎21.解：（1），椭圆C: .----------4分 ‎(2)设,则由消得.‎ ‎∵直线过椭圆内点(1,0)‎ ‎∴恒成立,由根与系数的关系得,------------8分 ‎------------11分 即,解得。-----------12分 ‎22.解：（1），‎ 由已知得，即，解得。----------2分 ‎（2），。‎ 令得；令得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增。‎ ① 当时，在上单调递增，；‎ ② 当时，，在上单调递减，在上单调递增，；‎ ③ 当时，，在上单调递减，。‎ 综上，在上的最小值------------8分 ‎（3）由（2）知，，‎ 令得。因为，‎ 所以时，。‎ 所以对任意都有--------------12分