数学卷·2018届湖南省衡阳二十六中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省衡阳二十六中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年湖南省衡阳二十六中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎2．数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），那么a4的值为（　　）‎ A．4 B．8 C．15 D．31‎ ‎3．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（　　）‎ A．a＞b⇒am2＞bm2 B．‎ C． D．‎ ‎4．在等差数列{an}中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和是100，则项数n为（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎5．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，则a=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎7．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（　　）‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎9．在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（　　）‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎10．若x，y是正数，且+=1，则xy有（　　）‎ A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最大值 ‎11．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C．6 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=　　．‎ ‎14．已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是　　．‎ ‎15．在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an=　　．‎ ‎16．给出命题：①x∈R，使x3＜1； ②∃x∈Q，使x2=2；　③∀x∈N，有x3＞x2； ④∀x∈R，有x2+1＞0．‎ 其中的真命题是：　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．‎ ‎（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．‎ ‎18．（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．‎ ‎（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求sinC的值．‎ ‎20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎21．该试题已被管理员删除 ‎22．设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{||}的前n项的和，求Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省衡阳二十六中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解 ‎【解答】解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{an}‎ ‎∴an=an﹣1+an﹣2 （n＞3）‎ ‎∴x=a7=a5+a6=5+8=13‎ 故选C ‎　‎ ‎2．数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），那么a4的值为（　　）‎ A．4 B．8 C．15 D．31‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），分别令n=1，2，3，能够依次求出a2，a3和a4．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），‎ ‎∴a2=2a1+1=2+1=3，‎ a3=2a2+1=6+1=7，‎ a4=2a3+1=14+1=15．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（　　）‎ A．a＞b⇒am2＞bm2 B．‎ C． D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】根据不等式两边同乘以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对．‎ ‎【解答】解：A、当m=0时，有am2=bm2，故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B不对；‎ C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；‎ D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和是100，则项数n为（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意及等差数列的性质可得 4（a1+an）=20+60=80，解得 a1+an 的值，再利用等差数列的前n项和公式求出项数n的值．‎ ‎【解答】解：由题意及等差数列的性质可得 4（a1+an）=20+60=80，∴a1+an=20．‎ ‎∵前n项之和是100=，解得 n=10，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，‎ 由正弦定理知=，‎ ‎∴b===4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，则a=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，b=1，c=2，‎ 所以由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3．‎ 所以a=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（　　）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，‎ 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，‎ 有余弦定理可得，cosθ==，‎ 易得θ=60°，‎ 则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（　　）‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得： =，‎ 即sinB==，‎ 则B=arcsin或π﹣arcsin，‎ 即此三角形解的情况是两解．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（　　）‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质可知，第m﹣1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入am﹣1+am+1﹣am2=0中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，‎ 则am﹣1+am+1﹣am2=am（2﹣am）=0，‎ 解得：am=0或am=2，‎ 若am等于0，显然（2m﹣1）am=4m﹣2=38不成立，故有am=2‎ ‎∴S2m﹣1==（2m﹣1）am=4m﹣2=38，‎ 解得m=10．‎ 故选C ‎　‎ ‎10．若x，y是正数，且+=1，则xy有（　　）‎ A．最小值16 B．最小值 C．最大值16 D．最大值 ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴1=≥2=4，当且仅当4x=y=8时取等号．‎ ‎∴，‎ 即xy≥16，‎ ‎∴xy有最小值为16．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】数列与三角函数的综合；三角形的形状判断．‎ ‎【分析】先由△ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2B=sinA•sinC，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，‎ ‎∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；‎ 又sinA、sinB、sinC成等比数列，‎ ‎∴sin2B=sinA•sinC=，②‎ 由①②得：sinA•sin ‎=sinA•（sin120°cosA﹣cos120°sinA）‎ ‎=sin2A+•‎ ‎=sin2A﹣cos2A+‎ ‎=sin（2A﹣30°）+‎ ‎=，‎ ‎∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°‎ ‎∴∠A=60°．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（　　）‎ A． B． C．6 D．5‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，观察当目标函数过（4，6）时，取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，要求+的最小值，先用乘“1”法进而用基本不等式即可求得最小值．‎ ‎【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）‎ 过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，‎ 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）‎ ‎=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．‎ ‎13．在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，‎ a===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是　6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得．‎ ‎【解答】解：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，‎ 故由图可得，‎ 当过点（3，0）时，有最大值，‎ 即z=2x+y的最大值是6+0=6；‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎15．在数列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，则an=　2n﹣1　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知递推式求得数列首项，且得到n≥2时的另一递推式a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，与原递推式作差后验证首项得答案．‎ ‎【解答】解：由a1+a2+…+an=2n﹣1①，可得a1=1，‎ 且a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，‎ ‎①﹣②得：．‎ 当n=1时，上式成立．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．给出命题：①x∈R，使x3＜1； ②∃x∈Q，使x2=2；　③∀x∈N，有x3＞x2； ④∀x∈R，有x2+1＞0．‎ 其中的真命题是：　①④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据实数的性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：①x＜0∈R，使x3＜1，故为真命题； ‎ ‎②若x2=2，则x=±，故∃x∈Q，使x2=2为假命题；　‎ ‎③当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，有x3＞x2为假命题； ‎ ‎④∀x∈R，有x2+1≥1＞0，故为真命题．‎ 故答案为：①④‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．‎ ‎（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即a2﹣6a﹣3＜0，由此可得不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），等价于﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），即﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0‎ ‎∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0‎ ‎∴a2﹣6a﹣3＜0‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），‎ ‎∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），‎ ‎∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎18．（1）Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．‎ ‎（2）在等比数列{an}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，‎ 由已知可得，‎ 解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；‎ ‎（2）由已知可得，‎ 解之可得 ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求sinC的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由cosB=可得sinB=，由正弦定理=，代值计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，‎ ‎∴b=；‎ ‎（2）∵cosB=，∴sinB==‎ 由正弦定理=，即=，‎ 解得sinC=‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；‎ ‎（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得：‎ a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ 将上式代入已知，‎ 即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，‎ 即2sinAcosB+sin（B+C）=0，‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴sin（B+C）=sinA，‎ ‎∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，‎ ‎∵sinA≠0，∴，‎ ‎∵B为三角形的内角，∴；‎ ‎（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：‎ b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，‎ ‎∴ac=3，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．该试题已被管理员删除 ‎　‎ ‎22．设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{||}的前n项的和，求Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据等差数列的前n项和公式，再结合条件S7=7，S15=75进而可求出首项a1和公差d，可求sn，进而可求||，讨论当n≤5，Tn，n＞6，两种情况，结合等差数列的求和公式即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，‎ ‎，解得：a1=﹣2，d=1，‎ ‎∴，‎ ‎||=||，‎ n≤5，||=﹣+，数列{||}是2为首项，﹣为公差的等差数列，‎ Tn==n﹣n，‎ T5=5，‎ 当n≥6，Tn=++…﹣﹣…﹣，‎ Tn=2T5﹣Tn=n2﹣n+10，‎ ‎∴Tn=．‎ ‎　‎ ‎2017年1月14日