数学卷·2018届广西南宁市马山县高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

数学卷·2018届广西南宁市马山县高二上学期期中考试数学试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！广西南宁市马山县2016-2017学年高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知，则的值是（ ）‎ A．1 B． C．2 D．-2‎ ‎【答案】D 考点：三角恒等变换.‎ ‎【易错点晴】应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎2.函数的最小正周期是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：的图象是将的图象在轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是周期的一半，即周期为.‎ 考点：三角函数周期.‎ ‎3.已知是第三象限角，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，因为是第三象限角，所以，所以.‎ 考点：三角恒等变换.‎ ‎4.在中，若，则此三角形是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得，勾三股四弦五，故为直角三角形.‎ 考点：解三角形，正余弦定理.‎ ‎5.在等差数列中，，则（ ）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】B 考点：等差数列.‎ ‎6.等比数列的前项和为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：等比数列.‎ ‎7.不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：一元二次不等式，大于在两边，小于在中间，故解集为A.‎ 考点：一元二次不等式.‎ ‎8.不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：一元二次不等式.‎ ‎9.一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）‎ A．108 B．83 C．75 D．63‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据等比数列的性质，成等比数列，其中，故公比是，所以，所以.‎ 考点：等比数列.‎ ‎10.设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A．13 B．10.5 C．10 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.‎ 考点：线性规划.‎ ‎11.数列中，，则是这个数列的第几项（ ）‎ A．103项 B．102项 C．101项 D．100项 ‎【答案】D 考点：递推数列求通项.‎ ‎【思路点晴】由递推公式推导通项公式，由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、 “累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法．（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：‎ ‎（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）取倒数的方法，变为等差或者等比数列.‎ ‎12.若，则下列不等式中，正确的不等式有①②③④‎ ‎（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：取，代入验证，②③错误.故选C.实际上，，.‎ 考点：不等式的基本性质.‎ ‎【思路点晴】判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.若不等式的解集为，则__________ .‎ ‎【答案】‎ 考点：一元二次不等式.‎ ‎14.若，且，则的最小值是___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：基本不等式.‎ ‎15.在中,，那么__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得，所以或.当时，；当时，.‎ 考点：解三角形.‎ ‎【思路点晴】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.具体做法是先求出这个角的正弦值，然后根据边长来判断有多少个解.‎ ‎16.不等式的解集是___________．‎ ‎【答案】‎ 考点：分式不等式.‎ ‎【思路点晴】对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.分式不等式要转化为整式不等式来求解，转化时，要注意分母不为零.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（10分）已知向量与为共线向量，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵与为共线向量，‎ ‎∴，‎ 即；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考点：三角恒等变换，齐次方程.‎ ‎18.（12分）（1）求不等式的解集： ；‎ ‎（2）求函数的定义域：．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），解得；（2）依题意有，即，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：一元二次不等式，分式不等式.‎ ‎19.（12分）若不等式的解集是．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，可知方程的两个实数根为和．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由韦达定理得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：一元二次不等式，分式不等式.‎ ‎20.（12分）在中，是方程的两个根，且 ‎．‎ 求：（1）角的度数；‎ ‎（2）的长度．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1），所以；（2）由韦达定理得，根据余弦定理，故.‎ 考点：解三角形.‎ ‎21.（12分）在非等腰中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由余弦定理，所以，由于三角形不是等腰三角形，所以；（2）因为，，化简得，所以，为直角三角形.‎ 考点：解三角形.‎ ‎【方法点晴】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎22.某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第年 需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图 ．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；‎ ‎（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，每年费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（2）设纯收入与年数的关系为，则：‎ ‎．．．．．．．．．．．4分 由各，解得．．．．．．．．．．．．．6分 又因为，所以，即从第2年该公司开始获利．．．．．．．．．．．．．8分 ‎（3）年平均收入为．．．．．．．．．10分 当且仅当时，年平均收益最大，‎ 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：数列应用问题.‎ ‎【方法点晴】对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.与数列综合的题，要注意为整数的易错点.‎ ‎ ‎