2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题六 1 第1讲 计数原理、二项式定理
第1讲 计数原理、二项式定理
两个计数原理
[核心提炼]
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
[典型例题]
(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有( )
A．10种 B．15 C．20种 D．30种
【解析】 (1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.
(2)首先分类计算假如甲赢，比分3∶0是1种情况；比分3∶1共有3种情况，分别是前3局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3∶2共有6种情况，就是说前4局2∶2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况．甲一共有1＋3＋6＝10种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有10＋10＝20种情况．
【答案】 (1)B (2)C
应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
[对点训练]
1．如图，某教师要从A地至B地参加高考教研活动：
路线Ⅰ：A到B有三条路线；
路线Ⅱ：A到C后再到B，其中A到C有1条路线，C到B有2条路线；
路线Ⅲ：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有2条路线，则该教师的选择路线种数共有( )
A．10 B．11
C．13 D．24
解析：选C.按路线Ⅰ，共有3种选择；按路线Ⅱ，分2步可以到达B，共有1×2＝2种选择；按路线Ⅲ，分3步，共有2×2×2＝8种，故共有3＋2＋8＝13种选择．
2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1
0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若A＝4B，则B＝________．
解析：Tr＋1＝(－1)rC(ax)6－r()r＝(－1)ra6－rCx6－r.
令6－r＝3得r＝2，则 A＝a4C＝15a4；
令6－r＝0得r＝4，则B＝(－1)4a2C＝15a2，
又由A＝4B得15a4＝4×15a2，则a＝2，B＝60.
答案：60
专题强化训练
[基础达标]
1．(2019·金华十校期末调研)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项的系数为( )
A．20 B．40 C．80 D．160
解析：选D.Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r，
令10－2r＝6，解得r＝2，
所以含x6的项的系数为(－4)2C＝160.
2．(2019·广州综合测试(一))四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B.抛四枚硬币，总的结果有16种，“没有相邻的两个人站进来”记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果；二是1人站起来，有4种结果；三是有2人站起来，可以是AC或BD，有2种结果．所以满足题意的结果共有1＋4＋2＝7种，P(A)＝.故选B.
3．(2019·杭州市第二次质量预测)将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )
A．72 B．120
C．192 D．240
解析：选D.将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，
所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．
4．(2019·衢州市高三期末考试)若(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是( )
A．－40 B．－20
C．40 D．20
解析：选C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1.
所以(2x－)5的通项公式
Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r，
令5－2r＝－1，5－2r＝1.
解得r＝3或2.
所以该展开式中常数项＝(－1)322C＋(－1)2×23C＝40.
5．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．72种
解析：选C.由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．
6．(2019·金华市调研考试)若(－)n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项是( )
A．－270 B．270
C．－90 D．90
解析：选C.(－)n的展开式中所有项系数的绝对值之和等于(＋)n的展开式中所有项系数之和．令x＝1，得4n＝1 024，所以n＝5.(－)5的通项公式Tr＋1＝C()5－r·(－)r＝C·35－r·(－1)r·x＋，令＋＝0，解得r＝3，所以展开式中的常数项为T4＝C·32·(－1)3＝－90，故选C.
7．(2019·合肥市第一次教学质量检测)已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为( )
A．－1 B．1
C．32 D．64
解析：选D.由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得，解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64，选D.
8．(2019·浙江新高考冲刺卷)(x＋－2)3展开式中的常数项为( )
A．－8 B．－12
C．－20 D．20
解析：选C.(x＋－2)3展开式中的通项公式Tr＋1＝C(－2)3－r(x＋)r.
(x＋)r的通项公式：Tk＋1＝Cxr－k()k＝Cxr－2k，
令r－2k＝0，可得：k＝0＝r，k＝1，r＝2.
所以常数项＝(－2)3＋C×C×(－2)＝－20.
9．已知(＋ax)5－(＋bx)5的展开式中含x2与x3的项的系数绝对值之比为1∶6，则a2＋b2的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：选C.(＋ax)5－(＋bx)5的展开式中含x2项的系数为C()3a2－C()3b2＝，含x3项的系数为C()2a3－
C()2b3＝10(a－b)，则由题意，得＝，即|ab|＝6，则a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|ab|＝12，当且仅当|a|＝|b|时取等号．
10．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( )
A．35种 B．24种
C．18种 D．9种
解析：选C.若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包，剩下2个红包，被剩下3名成员中的2名抢走，有AA＝12(种)；若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包，剩下两个红包，被剩下的3名成员中的2名抢走，有AC＝6(种)．根据分类加法计数原理可得，
甲、乙两人都抢到红包的情况共有12＋6＝18(种)．
11．(2019·诸暨调研)现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加学校的“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么有男生________人、女生________人．
解析：设男、女同学的人数分别为m和n，则有即
由于m，n∈N*，则m＝3，n＝5.
答案：3 5
12．(2019·成都市第二次诊断性检测)在二项式(ax2＋)5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________．
解析：(ax2＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×()r＝Ca5－rx10－，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2.
答案：－2
13．(2019·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2，5相邻，则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．
解析：先把2，5捆挷有2种方法，再把它与4排列有2种排法，此时共有3个空供数字1、3插入有A＝6种方法，故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．
答案：24
14．已知集合A＝{4}，B＝{1，2}，C＝{1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为________．
解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCCA＝36，但集合B，C中有相同元素1，由4，1，1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36－3＝33.
答案：33
15．(2019·浙江东阳中学高三检测)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a0＝________；(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝________．
解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
观察：可令x＝0得：
(1－2×0)7＝a0＋a1×0＋…＋a7×0＝1，a0＝1.
(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋…＋a7)[a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)]，
则可令x＝1得：(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，
再可令x＝－1得：(1＋2×1)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187，
可得：(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2
＝－1×2 187＝－2 187.
答案：1 －2 187
16．(2019·张掖市第一次诊断考试)设f(x)是(x2＋)6展开式中的中间项，若f(x)≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：(x2＋)6的展开式中的中间项为第四项，
即f(x)＝C(x2)3()3＝x3，因为
f(x)≤mx在区间[，]上恒成立，所以m≥x2在[，]上恒成立，所以m≥(x2)max＝5，所以实数m的取值范围是[5，＋∞)．
答案：[5，＋∞)
17．(2019·绍兴质量检测)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为________．
解析：四个篮球中两个分到一组有C种分法，三个篮球进行全排列有A种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30种分法．
答案：30
[能力提升]
1．(2019·台州高三期末考试)已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项，则n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选D.因为第6项为常数项，
由C()n－5(－)5＝－()n－5C·xn－6，
可得n－6＝0，解得n＝6.故选D.
2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48 C．60 D．72
解析：选D.第一步，先排个位，有C种选择；
第二步，排前4位，有A种选择．
由分步乘法计数原理，知有C·A＝72(个)．
3．(2019·惠州市第三次调研考试)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5 C．5 D．20
解析：选A.(x－2y)5展开式的通项为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝C·()5－r·(－2)r·x5－r·yr，令r＝3，得x2y3的系数为
C()2·(－2)3＝－20.选A.
4．某班利用班会时间进行个人才艺表演，共有5名同学参加，其中3名女生，2名男生．如果2名男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个出场，那么不同的出场顺序的排法种数为( )
A．24 B．36 C．48 D．60
解析：选D.先排3名女生，有A种排法，再从4个空位中选出2个空位排2名男生，有A种排法，所以共有AA＝72(种)排法；若女生甲排在第一个出场，从3个空位中选2个空位排男生，有AA＝12(种)排法．所以满足条件的出场顺序的排法有72－12＝60(种)．故选D.
5．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
解析：选C.法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )
A．45 B．60 C．120 D．210
解析：选C.因为f(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
7．(2019·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，(红包中金额相同视为相同红包)，则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：
即获奖的四人为：ABCD，ABCE，ABDE，
在每类情况中，获奖的情况有：C·A＝12种，
所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有：3×12＝36种．
8．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有
( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
解析：选B.分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0，2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0，2，4.当万位数字为4时，个位数字从0，2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0，2，4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．
9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于( )
A．27 B．28 C．7 D．8
解析：选C.取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①
取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②
①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.
10．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( )
A．240种 B．360种 C．480种 D．600种
解析：选D.分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝600(种)．
11．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________．
解析：(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，所以x2的系数为10＋5a＝5，
所以a＝－1.
答案：－1
12．(2019·宁波四校联考(二))甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有________种坐法．
解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法．
答案：20
13．(2019·杭州市高考二模)若(2x－)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n＝________；展开式中的常数项是________．
解析：因为(2x－)n的展开式中所有二项式系数和为2n＝64，则n＝6；根据(2x－)n＝(2x－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r，
令6－3r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项是C·24＝240.
答案：6 240
14．(2019·浙江东阳中学高三期中检测)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．
解析：由五个数组成五位偶数，可分类个位数放0，2，4；当个位是0时，有A＝24种，当个位是2时，有3A＝18种，当个位是4时与个位是2时相同，则共有24＋36＝60.当1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有2A＝12种，1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，只是注意0不能放在首位，共有2CA＝8，当1和3两个奇数夹着4时，也有同样多的结果．根据分类加法原理得到共有12＋16＝28种结果．
答案：60 28
15．(2019·贵阳市监测考试)若直线x＋ay－1＝0与2x－y＋5＝0垂直，则二项式的展开式中x4的系数为________．
解析：由两条直线垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二项式为，其通项公式Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝(－1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二项式的展开式中x4的系数为23C＝80.
答案：80
16．(2019·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．
解析：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中，则共有1×A＝120种情况，由于甲必须坐在三人中间，则有符合要求的坐法有×120＝40种．
答案：40
17．规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广，则C＝________；若x>0，则x＝________时，取到最小值，该最小值为________．
解析：由规定：C＝＝－680，由＝＝.
因为x>0，x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，
所以当x＝时，得最小值.
答案：－680
