高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：2.2.2 反证法

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法 [学习目标] 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法． 2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． [知识链接] 1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定 原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题 的否定一定不对． 2．反证法主要适用于什么情形？ 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果 从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的 几种情形． [预习导引] 1．反证法定义 假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾， 或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例 1 已知 x，y>0，且 x＋y>2. 求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于 2. 证明 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于 2， 即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2 与已知 x＋y>2 矛盾． ∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于 2. 规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至 少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错 误． 跟踪演练 1 已知 a，b，c，d∈R，且 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d 中至 少有一个是负数． 证明 假设 a，b，c，d 都是非负数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴(a＋b)(c＋d)＝1. 又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， ∴ac＋bd≤1. 这与已知 ac＋bd>1 矛盾， ∴a，b，c，d 中至少有一个是负数． 要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题 例 2 求证对于直线 l：y＝kx＋1，不存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C：3x2－y2＝1 的 交点 A、B 关于直线 y＝ax(a 为常数)对称． 证明 假设存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y＝ax 对称，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1) 直线 l：y＝kx＋1 与直线 y＝ax 垂直；(2)点 A、B 在直线 l：y＝kx＋1 上；(3)线段 AB 的中点 x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 在直线 y＝ax 上，所以 ka＝－1 ① y1＋y2＝kx1＋x2＋2 ② y1＋y2 2 ＝ax1＋x2 2 ③ 由 y＝kx＋1， y2＝3x2－1， 得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④ 当 k2＝3 时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得 a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤ 由④知 x1＋x2＝ 2k 3－k2 ，代入⑤整理得： ak＝3，这与①矛盾． 所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y＝ax 对称． 规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两 层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证 法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已 知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便． 跟踪演练 2 求证方程 2x＝3 有且只有一个根． 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程 2x＝3 有根．下面用反证法证明方程 2x＝3 的根是 唯一的： 假设方程 2x＝3 至少有两个根 b1，b2(b1≠b2)， 则 2b1＝3,2b2＝3， 两式相除得 2b1－b2＝1. 若 b1－b2>0，则 2b1－b2>1，这与 2b1－b2＝1 相矛盾． 若 b1－b2<0，则 2b1－b2<1，这也与 2b1－b2＝1 相矛盾． ∴b1－b2＝0，则 b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证． 要点三 用反证法证明否定性命题 例 3 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； (2)设 bn＝Sn n (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解 设公差为 d，由已知得 a1＝ 2＋1， 3a1＋3d＝9＋3 2， ∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)． (2)证明 由(1)得 bn＝Sn n ＝n＋ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列，则 b2q＝bpbr， 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴ q2－pr＝0， 2q－p－r＝0， ∴ p＋r 2 2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与 p≠r 矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的 反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条 件推导出矛盾． (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进 行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 跟踪演练 3 已知 f(x)＝ax＋x－2 x＋1 (a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根． 证明 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根，则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－x0－2 x0＋1 ，由 0b C．a＝b D．a＝b 或 a>b 答案 D 4．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( ) A．a 不垂直于 c B．a，b 都不垂直于 c C．a⊥b D．a 与 b 相交 答案 D 5．已知 a 是整数，a2 是偶数，求证 a 也是偶数． 证明 (反证法)假设 a 不是偶数，即 a 是奇数． 设 a＝2n＋1(n∈Z)，则 a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶数， ∴4n2＋4n＋1 是奇数，这与已知 a2 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数． 1．反证法证明的基本步骤 (1)假设命题结论的反面是正确的；(反设) (2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的 事实矛盾；(推谬) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论) 2．用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不全面的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾， 或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的. 一、基础达标 1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( ) ①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 答案 D 2．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的位置关系为( ) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 答案 C 解析 假设 c∥b，而由 c∥a，可得 a∥b，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直 线．故应选 C. 3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay 或 x0，x1≠1 且 xn＋1＝xn·x2n＋3 3x2n＋1 (n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数 n 都 满足 xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A．对任意的正整数 n，有 xn＝xn＋1 B．存在正整数 n，使 xn＝xn＋1 C．存在正整数 n，使 xn≥xn＋1 D．存在正整数 n，使 xn≤xn＋1 答案 D 解析 “任意”的反语是“存在一个”． 9．设 a，b，c 都是正数，则三个数 a＋1 b ，b＋1 c ，c＋1 a( ) A．都大于 2 B．至少有一个大于 2 C．至少有一个不小于 2 D．至少有一个不大于 2 答案 C 解析 假设 a＋1 b<2，b＋1 c<2，c＋1 a<2， 则 a＋1 b ＋ b＋1 c ＋ c＋1 a <6. 又 a＋1 b ＋ b＋1 c ＋ c＋1 a ＝ a＋1 a ＋ b＋1 b ＋ c＋1 c ≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式 相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于 2. 10．若下列两个方程 x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实根，则实 数 a 的取值范围是________． 答案 a≤－2 或 a≥－1 解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1 或 a>1 3.Δ2＝ (2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证 a>0，b>0，c>0. 证明 用反证法： 假设 a，b，c 不都是正数，由 abc>0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设 a<0，b<0，c>0，则由 a＋b＋c>0， 可得 c>－(a＋b)， 又 a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b) ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即 ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2 ∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即 ab＋bc＋ca<0， 这与已知 ab＋bc＋ca>0 矛盾，所以假设不成立． 因此 a>0，b>0，c>0 成立． 12．已知 a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不可能都大于1 4. 证明 假设三个式子同时大于1 4 ， 即(1－a)b>1 4 ，(1－b)c>1 4 ，(1－c)a>1 4 ， 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c> 1 43 ， ① 又因为 0

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