数学卷·2018届贵州省遵义四中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届贵州省遵义四中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年贵州省遵义四中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合A={（x，y）|x﹣2y=2}，B={（x，y）|2x﹣y=4}，则A∩B为（　　）‎ A．{2，0} B．{X=2，Y=0} C．{（0，2）} D．{（2，0）}‎ ‎2．已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（　　）‎ A．∀x∈R，x02+4x0+6≥0 B．∃x0∈R，x02+4x0+6＞0‎ C．∀x∈R，x02+4x0+6＞0 D．∃x0∈R，x02+4x0+6≥0‎ ‎3．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）‎ A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3‎ ‎5．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（　　）‎ A．46 B．48 C．50 D．60‎ ‎7．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（　　）‎ A．1 B．9 C．2 D．11‎ ‎8．已知双曲线C的两条渐近线为x±2y=0且过点（2，），则双曲线C的标准方程是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎9．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（　　）‎ A．99 B．100 C．120 D．142‎ ‎10．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2‎ ‎=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为　　．‎ ‎14．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为　　．‎ ‎15．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”‎ ‎②解：设AB的斜率为k，…点B（，），D（﹣，0），…据此，请你写出直线CD的斜率为　　．（用k表示）‎ ‎16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为　　．‎ ‎①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；‎ ‎②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；‎ ‎③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；‎ ‎④若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则sinA＞cosB．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18---22题每题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足＜0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠‎ A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求：‎ ‎（Ⅰ）点A和点C的坐标；‎ ‎（Ⅱ）△ABC的面积．‎ ‎19．（12分）某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如表所示：‎ 分数段（分）‎ ‎[50，70）‎ ‎[70，90）‎ ‎[90，110）‎ ‎[110，130）‎ ‎[130，150）‎ 总计 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎200‎ ‎（Ⅰ）若成绩90分以上（含90分），则成绩为及格，请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数；‎ ‎（Ⅱ）如果样本数据中，有60名女生数学成绩合格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．‎ 女生 男生 总计 及格人数 ‎60‎ 不及格人数 总计 参考公式：K2=．‎ ‎ P（K2≥k0）‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.050‎ ‎ 0.010‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 6.635‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求证：PQ∥平面SAD；‎ ‎（2）求证：平面SAC⊥平面SEQ．‎ ‎21．（12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1，n∈N*，令cn=，n∈N*，求数列{cncn+1}的前n项和Sn．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省遵义四中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合A={（x，y）|x﹣2y=2}，B={（x，y）|2x﹣y=4}，则A∩B为（　　）‎ A．{2，0} B．{X=2，Y=0} C．{（0，2）} D．{（2，0）}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】将集合A与B中的两方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．‎ ‎【解答】解：将集合A与B中的方程联立得：，‎ 解得：，‎ 则A∩B={（2，0）}．‎ 故选D ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（　　）‎ A．∀x∈R，x02+4x0+6≥0 B．∃x0∈R，x02+4x0+6＞0‎ C．∀x∈R，x02+4x0+6＞0 D．∃x0∈R，x02+4x0+6≥0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为∀x∈R，x02+4x0+6≥0．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．‎ ‎∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（　　）‎ A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3‎ ‎【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，‎ 即P1=P2=P3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得a1+a9=a2+a8=2a5，结合已知，可求出a5，进而求出cos（a2+a8）．‎ ‎【解答】解：∵{an}为等差数列，‎ ‎∴a1+a9=a2+a8=2a5，‎ ‎∵a1+a5+a9=2π，‎ ‎∴a5=，a2+a8=，‎ ‎∴cos（a2+a8）=cos=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．‎ 特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．‎ ‎　‎ ‎6．为了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取得学生人数为（　　）‎ A．46 B．48 C．50 D．60‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3设出频率，再根据所有频率和为1，解之即可求出第3组频率，根据第2小组的频数为12，可求得样本容量．‎ ‎【解答】解：设报考飞行员的人数为n，根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三小组的频率分别为x，2x，3x；‎ 由题意可知所求频率和为1，即x+2x+3x+（0.0375+0.0125）×5=1‎ 解得2x=0.25‎ 则0.25=，解得n=48．‎ ‎∴抽取的学生数为48．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图，同时考查了学生的读图能力．‎ ‎　‎ ‎7．已知实数x，y满足，则z=（x﹣1）2+y2的最大值是（　　）‎ A．1 B．9 C．2 D．11‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出平面区域，利用z=（x﹣1）2+y2的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值求得．‎ ‎【解答】解：x，y满足的平面区域如图：z=（x﹣1）2+y2‎ 的几何意义表示为区域内的点与（1，0）的距离的平方最大值，显然到D 的距离最大，所以z=（x﹣1）2+y2的最大值 z=（1﹣1）2+32=9；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划问题；一般的，正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值是常用方法．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线C的两条渐近线为x±2y=0且过点（2，），则双曲线C的标准方程是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，可设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，将点M（2，）的坐标代入求得λ即可．‎ ‎【解答】解：设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，‎ ‎∵点M（2，）为该双曲线上的点，‎ ‎∴λ=（2+2）（2﹣2）=﹣8，‎ ‎∴该双曲线的方程为：﹣=1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查待定系数法的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（　　）‎ A．99 B．100 C．120 D．142‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过10次运算后输出的结果即可．‎ ‎【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：‎ 第一次进入循环体后s=3，n=2，‎ 第二次进入循环体后s=3+5，n=3，‎ 第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4，‎ 第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，‎ ‎…‎ 第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+21，n=11．‎ 由于n=11＞10，退出循环．‎ 故该程序运行后输出的结果是：s=3+5+7+9+…+21=120．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型．‎ ‎　‎ ‎10．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关乎a，b的方程，解得即可．‎ ‎【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为，‎ 正方形ABCD面积为a2+b2，‎ 三角形的面积为ab，‎ ‎∴=1﹣，‎ 即a2+b2=ab，‎ 即+=，‎ ‎∵a＞b，‎ 解得=， =2（舍去）‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】（法一）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）由①，②及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解 ‎（法二）A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程．，利用方程的根与系数的关系可求x1+x2，进而可求y1+y2=2﹣（x1+x2），由中点坐标公式可得，，，由题意可知，从而可求 ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），‎ ‎∴①，‎ kAB=②，‎ 由AB的中点为M可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0‎ 由A，B在椭圆上，可得，‎ 两式相减可得m（x1﹣x2）（x1+x2）+n（y1﹣y2）（y1+y2）=0③，‎ 把①②代入③可得m（x1﹣x2）•2x0﹣n（x1﹣x2）•2y0=0③，‎ 整理可得 故选A ‎（法二）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）‎ 联立方程可得（m+n）x2﹣2nx++n﹣1=0‎ ‎∴x1+x2=，y1+y2=2﹣（x1+x2）=‎ 由中点坐标公式可得， =， =‎ ‎∵M与坐标原点的直线的斜率为 ‎∴=‎ 故选A ‎【点评】题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用 ‎　‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，利用弦长公式，建立方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意PQ=2=4，‎ 设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，‎ ‎∴|PQ|=•2=4，‎ ‎∴5c2=4a2+20b2，‎ ‎∴e==，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为　2411　．‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列，可用数列知识求解 ‎【解答】解：6000袋奶粉，用系统抽样的方法从抽取150袋，每组中有40袋，‎ 第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为11+60×40=2411，‎ 故答案为：2411．‎ ‎【点评】本题考查系统抽样的知识，属基本题．系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列．‎ ‎　‎ ‎14．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，‎ 满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12，有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4种结果，‎ ‎∴要求的概率是=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是列举出满足条件的事件数，列举时要做到不重不漏，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”‎ ‎②解：设AB的斜率为k，…点B（，），D（﹣，0），…据此，请你写出直线CD的斜率为　　．（用k表示）‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】由题意可得直线AC的斜率为，则将k换成，可得点C（，），运用直线的斜率公式，计算即可得到．‎ ‎【解答】解：椭圆x2+2y2=1的左顶点为A（﹣1，0），过点A作两条斜率之积为2的射线，‎ 设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为，‎ 由题意可得点B（，），D（﹣，0），‎ 则将k换成，可得点C（，），‎ 则直线CD的斜率为 ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为　①②　．‎ ‎①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；‎ ‎②对∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；‎ ‎③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；‎ ‎④若△ABC为钝角三角形，∠C为钝角，则sinA＞cosB．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则；‎ ‎②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1；‎ ‎③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为；‎ ‎④若△ABC为钝角三角形，若A、B∈（0，）时，sinA＜cosB，．‎ ‎【解答】解：①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；‎ ‎②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②‎ 正确；‎ ‎③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③错误；‎ ‎④若△ABC为钝角三角形，若A、B∈（0，）时，sinA＜cosB，④错误．‎ 故答案为：①②‎ ‎【点评】本题考查了判断命题真假，函数的性质，属于中档题．．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18---22题每题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）（2014秋•福州校级期中）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足＜0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若a=1，由题意知，p、q为真，从而求p、q都为真时x的范围；‎ ‎（Ⅱ）由p是q的必要不充分条件可知B⊊A，讨论a的正负以确定集合A，从而求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）当a=1时，p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3，‎ q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是（2，3）． ‎ ‎（II）设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}=（2，3），‎ ‎∵p是q的必要不充分条件，‎ ‎∴B⊊A，‎ 由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0‎ 当a＞0时，A=（a，3a），有，解得1≤a≤2；‎ 当a＜0时，A=（3a，a），显然A∩B=∅，不合题意． ‎ ‎∴实数a的取值范围是1≤a≤2．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题真假性的应用及集合的包含关系的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015秋•宁城县期末）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求：‎ ‎（Ⅰ）点A和点C的坐标；‎ ‎（Ⅱ）△ABC的面积．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求出A点的坐标，求出AB的斜率，得到直线AC的方程，从而求出B点的坐标；（Ⅱ）求出|BC|的长，再求出A到BC的距离，从而求出三角形的面积即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得顶点A（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ 又AB的斜率 kAB==1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ ‎∵x轴是∠A的平分线，‎ 故AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣（x+1）①﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 已知BC上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，故BC的斜率为﹣2，‎ BC所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 解①，②得顶点C的坐标为（5，﹣6）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ 又直线BC的方程是2x+y﹣4=0‎ A到直线的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 所以△ABC 的面积=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考察了求直线的斜率、方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016春•湖南期末）某学校高中毕业班有男生900人，女生600人，学校为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取200名学生成绩，统计数据如表所示：‎ 分数段（分）‎ ‎[50，70）‎ ‎[70，90）‎ ‎[90，110）‎ ‎[110，130）‎ ‎[130，150）‎ 总计 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎200‎ ‎（Ⅰ）若成绩90分以上（含90分），则成绩为及格，请估计该校毕业班平均成绩及格学生人数；‎ ‎（Ⅱ）如果样本数据中，有60名女生数学成绩合格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”．‎ 女生 男生 总计 及格人数 ‎60‎ 不及格人数 总计 参考公式：K2=．‎ ‎ P（K2≥k0）‎ ‎ 0.10‎ ‎ 0.050‎ ‎ 0.010‎ ‎ k0‎ ‎ 2.706‎ ‎ 3.841‎ ‎ 6.635‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算该校毕业班平均成绩及格学生人数；‎ ‎（Ⅱ）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）高三学生数学平均成绩为=101‎ 估计高三学生数学平均成绩约为101分…‎ 及格学生人数为=1050…‎ ‎（Ⅱ） ‎ 女生 男生 总计 及格人数 ‎60‎ ‎80‎ ‎140‎ 不及格人数 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎ 总计 ‎80‎ ‎120‎ ‎200‎ ‎…（9分）‎ K2的观测值K2=≈1.587＜2.706‎ 所以没有90%的把握认为“该校学生的数学成绩与性别有关”…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•咸宁月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求证：PQ∥平面SAD；‎ ‎（2）求证：平面SAC⊥平面SEQ．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．‎ ‎（2）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC⊥平面SEQ，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）取SD中点F，连结AF，PF．‎ 因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，‎ 所以 FP∥CD，且FP=CD．‎ 又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，‎ 所以 AQ∥CD，且AQ=CD．‎ 所以 FP∥AQ且FP=AQ．‎ 所以 AQPF为平行四边形．‎ 所以 PQ∥AF．‎ 又因为 PQ⊄平面SAD，‎ AF⊂平面SAD，‎ 所以 PQ∥平面SAD；‎ ‎（2）连结BD，‎ 因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，‎ 所以 SE⊥AD，‎ 又 平面SAD⊥平面ABCD，‎ 平面SAD∩平面ABCD=AD，‎ SE⊂平面SAD，‎ 所以 SE⊥平面ABCD，‎ 所以SE⊥AC．‎ 因为 底面ABCD为菱形，‎ E，Q分别是棱AD，AB的中点，‎ 所以 BD⊥AC，EQ∥BD．‎ 所以 EQ⊥AC，‎ 因为 SE∩EQ=E，‎ 所以 AC⊥平面SEQ．‎ 因为AC⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面SEQ．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行以及直线与平面、平面与平面垂直的判定定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•浙江模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}满足：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n+1，n∈N*，令cn=，n∈N*，求数列{cncn+1}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（II）利用递推式可得（n≥2），再利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．‎ ‎∴，即，‎ 解得d=0（舍）或d=1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=n，即an=n． ‎ ‎（II）由，‎ ‎（n≥2），‎ 两式相减得，即（n≥2），‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•池州一模）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；‎ ‎（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定点为（，0）．‎ ‎【解答】解：（1）由离心率为，得=，‎ 即c=a，①‎ 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，‎ 且与直线相切，‎ 所以，代入①得c=2，‎ 所以b2=a2﹣c2=2．‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1．‎ ‎（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，‎ ‎△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 所以x1+x2=，x1x2=，‎ 根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），‎ 使得为定值，‎ 则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2‎ ‎=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）‎ ‎=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）‎ ‎=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）‎ ‎=‎