数学文卷·2018届广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学文卷·2018届广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试（2017-05）

深圳市高级中学2016－2017学年第二学期期中测试 高二文科数学 命题人：郑方兴 审题人：邹平伟 本试卷由两部分组成，第一部分为本学期前所学知识与能力部分，包含的题目有：1-8,13，14，18,20,21共86分。第二部分为本学期所学知识与能力部分，包含的题目有：9-12,15,16,17,19,22共64分.全卷共计150分。考试时间为120分钟。‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．若全集U=R，集合，，则＝( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知向量，若，则等于 ( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每 人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知则的值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为(　　)‎ ‎ A.7　　　B.9　　　C.10　　D.11‎ ‎6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ ‎ ‎ ‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎7.已知在上是奇函数,且满足,当时,，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）‎ ‎ A.B. C. D.‎ ‎9．设i是虚数单位，复数 ,则｜z｜＝（ ）‎ ‎ A.1 　　　　　B. 　　　　C.　　　 D. 2‎ ‎10.直线与圆相交，则点P（a，b）与圆的位置关系为（ ）‎ ‎ A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定 ‎11．已知函数，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12． 如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点。‎ 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点。若它停在 奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳 两个点。该蛙从5这点跳起，经2017次跳后它将停在的点是 ( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.满足不等式组的点组成的图形的面积是,则实数的值为 . ‎ ‎14.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ . ‎ ‎15.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则 ‎ ‎16. 直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ． ‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎ （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式．‎ ‎19. （本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 合计 ‎30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．‎ ‎（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；‎ ‎（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？‎ 参考数据：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎20. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（I）证明：‎ ‎（II）若,求三棱柱的高.‎ ‎21. （本小题满分12分）如图，F1，F2分别是椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．‎ ‎22.（本小题满分12分）已知是实数，函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设为在区间上的最小值，写出的表达式；‎ 深圳市高级中学2016－2017学年第二学期期中测试答案 高二文科数学 命题人：郑方兴 审题人：邹平伟 本试卷由两部分组成，第一部分为本学期前所学知识与能力部分，包含的题目有：1-8,13，14，18,20,21共86分。第二部分为本学期所学知识与能力部分，包含的题目有：9-12,15,16,17,19,22共64分.全卷共计150分。考试时间为120分钟。‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．若全集U=R，集合，，则＝( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．已知向量，，若∥，则等于 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每 人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知则的值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．执行如右图2所示的程序框图, 则输出的结果为(　　)‎ ‎ A.7　　　B.9　　　C.10　　D.11‎ ‎6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ ‎ ‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎7.已知在上是奇函数,且满足,当时,，则 A. B. C. D.‎ ‎8．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 ‎ A.B. C. D.‎ ‎9．设i是虚数单位，复数 ,则｜z｜＝（ ）‎ ‎ A.1 　　　　　B. 　　　　C.　　　 D. 2‎ ‎10.直线与圆相交，则点P（a，b）与圆的位置关系为（ ）‎ ‎ A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定 ‎11．已知函数，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12． 如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点。‎ 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点。若它停在 奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳 两个点。该蛙从5这点跳起，经2017次跳后它将停在的点是 ( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.满足不等式组的点组成的图形的面积是,则实数 ‎ 的值为 . ‎ ‎14.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ .‎ ‎15.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则 ‎ ‎16. 直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ． ln3－1‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为 ‎ ‎ 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎ （Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.‎ ‎23.解：（I）直线的普通方程为：；‎ ‎ 曲线的直角坐标方程为---------------------------4分 ‎（II）设点，则 所以的取值范围是.--------------------------10分 或其他直接运算的方法。‎ ‎18. （本小题满分12分）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式．‎ 解：（I），，，因为，，成等比数列，‎ 所以，解得或．‎ 当时，，不符合题意舍去，故．‎ ‎（II）当时，由于，，，‎ 所以．‎ 又，，故．‎ 当时，上式也成立，所以 ‎19. （本小题满分12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 合计 ‎30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．‎ ‎（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；‎ ‎（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？‎ 参考数据：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎（19）【解】（Ⅰ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，x＝6‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 合计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎（Ⅱ）由已知数据可求得：K2≈8.522＞7.879 因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ‎ ‎（Ⅲ）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．抽出一男一女的概率是．‎ ‎20. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（I）证明：‎ ‎（II）若,求三棱柱的高.‎ ‎【参考答案】：（I）连结，则O为与的交点，因为侧面为菱形，所以^，又平面，故=平面，由于平面，‎ 故 ‎ ‎（II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,‎ 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.‎ 因为,所以△为等边三角形,又BC=1,可得OD=，由于，所以，由 OH·AD=OD·OA,且，得OH=‎ 又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 ‎21. （本小题满分12分）如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．‎ 解　(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，则a＝2c，‎ 所以e＝.‎ ‎(2)法一　a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，‎ 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，‎ 所以|AB|＝·＝c.‎ 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.‎ 法二　设|AB|＝t(t>0)．‎ 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.‎ 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，‎ 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.‎ 由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，‎ a＝10，b＝5.‎ ‎（22）（本小题满分12分）已知是实数，函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设为在区间上的最小值，写出的表达式；‎ ‎（Ⅰ）解：函数的定义域为，‎ ‎（）．若，则，‎ 有单调递增区间．‎ 若，令，得，‎ 当时，，当时，．‎ 有单调递减区间，单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，‎ 所以．‎ 若，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．‎ 若，在上单调递减，所以．‎ 综上所述，‎ ‎5．设大于0，则3个数：，，的值 （ ）‎ ‎ A．都大于2 B．至少有一个不大于2 ‎ ‎ C．都小于2 D．至少有一个不小于2‎ ‎8．定义在R上的函数，时，，令,则 函 数的零点个数为（ ）‎ ‎6 7 8 9‎ ‎8．定义在上的奇函数满足，当时,，则函数 的零点个数是 A． 2 B．3 C．4 D．5‎ ‎11．函数在下列哪个区间内是增函数（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎14. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为______．‎ ‎（22）（本小题满分12分）已知函数 在处取到极值2.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得，求实数的取值范围.‎ ‎（22）解:（Ⅰ）因为，‎ 所以． ‎ 由在处取到极值2，‎ 所以，，即 解得，．‎ 经检验，此时在处取得极值.‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故在上单调递增，‎ 由 故的值域为. ‎ 从而．‎ 所以总存在，使得成立，只须． ‎ 函数的定义域为，且． ‎ ‎①当时，＞0，函数在上单调递增，‎ 其最小值为，符合题意． ‎ ‎②当时，在上有，函数单调递减，在上有，函数 单调递增，所以函数的最小值为．‎ 由，得．从而知，符合题意. ‎ ‎③当时，显然函数在上单调递减，‎ 其最小值为，不合题意． ‎ 综上所述，的取值范围为． ‎ ‎20．设,函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间和极值;‎ ‎（2）已知和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:.‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 解：在区间上,. ………1分 ‎①若,则,是区间上的增函数,无极值； ………4分 ‎②若,令得: .‎ 在区间上, ,函数是增函数;‎ 在区间上, ,函数是减函数;‎ 在区间上, 的极大值为.‎ 综上所述，①当时,的递增区间,无极值； ‎ ‎③当时，的是递增区间，递减区间是，‎ 函数的极大值为. ‎ ‎(2) ∴，解得:. ‎ ‎∴. ‎ 又,, ‎ 由(1)函数在递减,故函数在区间有唯一零点,‎ 因此. …12分