2019届二轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案（全国通用）
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词和存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
知识梳理
1.命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
2.用来判断复合命题的真假的真值表
p
q
p且q
p或q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
规律：“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对．
3.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．用符号“∀”表示学
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等, 用符号“∃”表示．
4．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题,全称命题就是形如“对M中的所有，”的命题，用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题,特称命题就是形如“存在集合M中的元素，”的命题，用符号简记为： ∃x0∈M，p(x0)．
5. 含有一个量词的命题的否定
6.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表
正面
词语
等于（＝）
大于（＞） 学
小于（＜）
是
都是
至多有一个
至少有一个
任意的
一定
否定词语
≠
≤
≥
不是
不都是
至少有两个
一个也没有
存在一个
不一定
7.命题的否定与否命题的区别
(1)定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则￢q”，而否命题为“若￢p，则￢q”．
(2)与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．
8.必知结论：p或q的否定为：￢p且￢q；p且q的否定为：￢p或￢q.
典型例题
考点一 含逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】(1)已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )
A．p且q B．(￢p)或(﹁q)
C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)
【答案】A
(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )
A．p真，q真 B．p假，q真
C．p真，q假 D．p假，q假
【答案】B
【解析】因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，
所以q为真命题．
规律方法 p∨q”“p∧q”“￢p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“￢p”等形式命题的真假．
【变式训练1】（1）已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q B￢p∨q
C￢p∧q D．p∧q
【答案】B
【解析】命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有“￢p∨q”为真命题．
（2）[2017·山东高考 已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
0 B．∀x∈N ，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
【答案】B
【解析】因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0< x00，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(￢q)是真命题 D．(￢p)∧q是真命题
【答案】C
【解析】当x>0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(￢q)是真命题，(￢p)∧q是假命题．学 = .
规律方法 全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
(2)特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
【变式训练2】(1)下列命题中的真命题是( )
A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝ B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
【答案】B
【解析】因为sinx＋cosx＝sin(x＋)≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈(0，)时有sinx2n，则￢p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
【答案】C
【解析】将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．
(3)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A．全等三角形的面积不一定都相等
B．不全等三角形的面积不一定都相等
C．存在两个不全等三角形的面积相等
D．存在两个全等三角形的面积不相等
【答案】 D
【解析】命题是省略量词的全称命题．故选D.
考点三 由命题的真假求参数取值范围
【例3】 已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
【答案】 A
【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－20，∴m>2或m<－2.由得0≤m≤2，∴m的取值范围是[0,2 ．
规律方法 根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
【变式训练3】给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】(－∞，0)∪
【解析】当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0或
∴0≤a＜4.
当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p，q一真一假．
∴若p真q假，则0≤a＜4，且a＞，
∴＜a＜4；若p假q真，则即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
课堂总结
1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
2.命题的否定与否命题的区别： “否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.
课后作业
1．[2016·浙江卷 命题“∀x∈R，∃n∈N ，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N ，使得n4.
4.下列命题中为假命题的是( )
A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N ，sin＝1
【答案】B
【解析】 ex>0对∀x∈R恒成立，A为真；当x＝0时，x2>0不成立，B为假；存在01(a>0，a≠1)的解集是{ <0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】∪[1，＋∞)
【解析】由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{ <0}，知00的解集为R，
则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或
解得a≥1或0
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