2020届二轮复习零点存在的判定与证明学案（全国通用）

2020届二轮复习零点存在的判定与证明学案（全国通用）

微专题09 零点存在的判定与证明 一、基础知识：‎ ‎1、函数的零点：一般的，对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。‎ ‎2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 ‎ 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在 ‎3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 ‎4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）‎ ‎（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图像，如果单调，则“一定”只有一个零点 ‎（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 ‎（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果单调，则一定小于0‎ ‎5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，‎ ‎6、判断函数单调性的方法：‎ ‎（1）可直接判断的几个结论：‎ ‎① 若为增（减）函数，则也为增（减）函数 ‎② 若为增函数，则为减函数；同样，若为减函数，则为增函数 ‎③ 若为增函数，且，则为增函数 ‎（2）复合函数单调性：判断的单调性可分别判断与的单调性（注意要利用的范围求出的范围），若，均为增函数或均为减函数，则单调递增；若，一增一减，则单调递减（此规律可简记为“同增异减”）‎ ‎（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 ‎7、证明零点存在的步骤：‎ ‎（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 ‎（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 ‎ ‎（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 ‎（4）利用零点存在性定理证明零点存在 例1：函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：函数为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可 解： ，‎ ‎ ‎ ‎ ，使得 ‎ 答案：C 例2：函数的零点所在的大致区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：先能判断出为增函数，然后 利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。时，，从而，，所以，使得 ‎ 答案：A 小炼有话说：（1）本题在处理时，是利用对数的性质得到其的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。‎ ‎（2）本题在估计出时，后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。‎ 例3：（2010，浙江）已知是函数的一个零点，若，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路：条件给出了的零点，且可以分析出在为连续的增函数，所以结合函数性质可得 ‎ 答案：B 例4：已知函数，当时，函数的零点，则________‎ 思路：由的范围和解析式可判断出为增函数，所以是唯一的零点。考虑，，所以，从而 ‎ 答案： ‎ 例5：定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若的“新驻点”分别为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：可先求出，由“新驻点”的定义可得对应方程为：，从而构造函数 ‎，再利用零点存在性定理判断的范围即可 解：‎ 所以分别为方程的根，即为函数：‎ 的零点 ‎ ‎ ‎ 在单调减，在单调增，而，时，，而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：C 例6：若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过， 则可以是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 思路：可判断出单增且连续，所以至多一个零点，但的零点无法直接求出，而各选项的零点便于求解，所以考虑先解出各选项的零点，再判断的零点所在区间即可 解：设各选项的零点分别为，则有 ‎ 对于，可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ，所以C选项符合条件 答案：C 例7：设函数，若实数分别是的零点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 思路：可先根据零点存在定理判断出的取值范围：，从而；，从而 ，所以有，考虑，且发现为增函数。进而，即 ‎ 答案：A 例8：已知定义在上的函数，求证：存在唯一的零点，且零点属于 ‎ 思路：本题要证两个要素：一个是存在零点，一个是零点唯一。证明零点存在可用零点存在性定理，而要说明唯一，则需要函数的单调性 解： ‎ ‎ 在单调递增 ‎ ‎ ‎ ，使得 ‎ 因为单调，所以若，且 ‎ 则由单调性的性质：与题设矛盾 所以的零点唯一 ‎ 小炼有话说：如果函数在单调递增，则在中，，‎ 即函数值与自变量一一对应。在解答题中常用这个结论证明零点的唯一性 例9：（2011年，天津）已知，函数（的图像连续不断）‎ ‎（1）求的单调区间 ‎（2）当时，证明：存在，使得 ‎ 解：（1） 令 ‎ 解得： 在单调递减，在单调递增 ‎（2）思路：由（1）可得在单调递减，在单调递增，从而从图像上看必然会在存在使得，但由于是证明题，解题过程要有理有据。所以可以考虑将所证等式变为，构造函数，从而只需利用零点存在性定理证明有零点即可。‎ 解：设 ‎ 由（1）可得：当时，在单调递减，在单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，因为 ‎ 根据零点存在性定理可得：‎ ‎，使得 ‎ 即存在，使得 小炼有话说：（1）在证明存在某个点的函数值与常数相等时，往往可以将常数挪至函数的一侧并构造函数，从而将问题转化成为证明函数存在零点的问题。‎ ‎（2）本题在寻找小于零的点时，先观察表达式的特点：，意味着只要取得足够大，早晚比要大的多，所以只需要取较大的自变量便可以找到的点。选择也可，选择等等也可以。‎ 例10：已知函数，其中常数，若有两个零点，求证： ‎ 思路：若要证零点位于某个区间，则考虑利用零点存在性定理，即证且，即只需判断的符号，可先由存在两个零点判断出的取值范围为 ，从而，只需将视为关于的函数，再利用函数性质证明均大于零即可。‎ 解：‎ 令 ‎ 设，可得为增函数且 ‎ 时， ‎ ‎ 时，‎ 在单调递减，在单调递增 所以在， ‎ 有两个零点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在单调递增 ‎ ‎ 在单调递增 ‎ 而 ‎ ‎ ，使得即 ‎ 另一方面： ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎，使得即 综上所述：‎