数学文卷·2018届福建省清流一中高二下学期第一阶段考试（2017-03）

数学文卷·2018届福建省清流一中高二下学期第一阶段考试（2017-03）

‎2016∽2017学年第二学期第一阶段考试卷 高二文科数学 一、选择题(本大题共12小题，共60分)‎ ‎1. 假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表为： ‎ X Y y1‎ y2‎ 总计 x1‎ ‎5‎ b ‎5+b x2‎ ‎15‎ d ‎15+d 总计 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（　　） A. b=5，d=35   B. b=15，d=25  C.b=20，d=20  D.b=30，d=10‎ ‎2. 下列说法错误的是（　　） A. 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相 ‎ 关关系 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 C. 线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…， ‎ ‎（xn，yn）中的一个点 D. 在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好 ‎3. ||＝ (　　) A．2 B．2 C． D．1‎ ‎4. 若复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2-i，则z1•z2=（　　） A.-5      B.5       C.-4+i     D.-4-i ‎5. 若下面框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是(　　) ‎ A．k＝9 B．k≤8 C．k<8 D．k>8‎ ‎6. 在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（　　） A.     B.2i      C.     D.2+2i ‎7. 在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线方程是（　　） A.ρ=1     B.ρsinθ=1   C.ρcosθ=1   D.ρ=2sinθ ‎8. 极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（　　） A.   B.  C.  D.‎ ‎9. 极坐标方程ρ=sinθ+cosθ表示的曲线是（　　） A.直线      B.圆      C.椭圆      D.抛物线 ‎10. 定义运算：⊙如2⊙5=2，则下列等式不能成立的是 ‎ A．⊙=⊙ B．(⊙)⊙= ⊙(⊙)‎ ‎　 C． D．(其中)‎ 11. 设a、b、c都是正数，则,,三个数（ ）‎ ‎ A.都大于2 B.至少有一个大于2 ‎ ‎ C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2‎ ‎12. 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2 009+a2 010+a2 011等于( )‎ A.2 011 B.1 006 C.1 005 D.1 003‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20分)‎ ‎13. 给出下列命题： ①线性相关系数r越大，两个变量的线生相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②由变量x和y的数据得到其回归直线方程l：=bx+a，则l一定经过点P（，）； ③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好； ⑤在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位； 其中真命题的序号是 ______ ．‎ ‎14. z+2=9+4i（i为虚数单位），则z= ______ ．‎ ‎15. 圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为 ______ ．‎ ‎16. 在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，则 ．‎ ‎ .‎ 三、解答题(本大题共6小题，第17题10分外其余每题12分，共70分)‎ ‎17. 复数z=（1+i）m2+（5-2i）m+（6-15i）； （1）实数m取什么数时，z是纯虚数 （2）实数m取什么数时，z对应点在直线x+y+7=0上． ‎ ‎18. 有以下三个不等式：‎ ‎ ；‎ ‎；‎ ‎．‎ 请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．‎ ‎19. 近年来我国电子商务行业发展迅速，相关管理部门推出了针对电商的商品质量和服务评价的评价体系，现从评价系统中选出某商家的200次成功交易，发现对商品质量的好评率为0.6，对服务评价的好评率为0.75，其中对商品质量和服务评价都做出好评的交易80次．请问是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品质量与服务好评有关？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中n=a+b+c+d． ‎ ‎ 20. 在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ与ρcosθ=—1‎ ‎（0≤θ＜2π）．求： （1）两曲线（含直线）的公共点P的极坐标； （2）过点P被曲线C1截得弦长为的直线极坐标方程． ‎ ‎21. 某公司对其生产的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图： ‎ 定价x（元/kg）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 年销量y（kg）‎ ‎1150‎ ‎643‎ ‎424‎ ‎262‎ ‎165‎ ‎86‎ z=2lny ‎14.1‎ ‎12.9‎ ‎12.1‎ ‎11.1‎ ‎10.2‎ ‎8.9‎ ‎ （参考数据：，，） （1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？ （2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）． 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回归直线 ‎=•x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ==，=-•．‎ ‎22. 观察下图：‎ ‎1，‎ ‎2，3‎ ‎4，5，6，7‎ ‎8，9，10，11，12，13，14，15，‎ ‎……‎ 问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？‎ ‎（2）此表第n行的各个数之和是多少？‎ ‎（3）2010是第几行的第几个数?‎ ‎（4） 是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎2016~2017学年第二学期第一阶段考试卷 答案和解析 ‎【答案】 ‎ ‎1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C 9.B 10.C 11.C 12.A ‎ ‎13.②④⑤ ‎ ‎14.5 ‎ ‎15.ρ=2acosθ ‎ ‎16.6 ‎ ‎17.解：复数z=（1+i）m2+（5-2i）m+（6-15i）=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i． ‎ ‎（1）由m2-2m-15=0，解得m=5或-3． ‎ ‎∴m=5或-3时，复数z为实数． ‎ ‎（2）由 ，解得m=-2． ‎ ‎∴m=-2时，复数z为纯虚数． ‎ ‎（3）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+7=0． ‎ 化为：2m2+3m-2=0， ‎ 解得m= 或-2． ‎ ‎∴m= 或-2，z对应点在直线x+y+7=0上． ‎ ‎18.解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3≤0， ‎ 而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0． ‎ ‎19.解：（1）填表如下： ‎ ‎ 顶点数 边数 区域数 ‎（a） 4 6 3‎ ‎（b） 8 12 5‎ ‎（c） 6 9 4‎ ‎（d） 10 15 6‎ ‎（2）记一个平面图的顶点数、边数、区域数分别为E、F、G，由上表知，E、F、G之间的等量关系：F=E+G-1； ‎ ‎（3）由上题的结论知，该平面图的边数：2014+2014-1=4027（条）． ‎ ‎20.解：由题意可得关于商品质量和服务评价的2×2列联表． ‎ ‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 商品质量好评 80 40 120‎ 商品质量不满意 70 10 80‎ 合计 150 50 200‎ ‎…（4分） ‎ 所以 ， ‎ 所以，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品质量与服务好评有关．…（12分） ‎ ‎21.解：（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性； ‎ ‎（2）由 = =35， = =11.55， = = ≈-0.10， ‎ 由 = - • =15.05≈15， = x+ =15-0.10x， ‎ 线性回归方程为： =15-0.10x； ‎ ‎22.解：（1）曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ与ρcosθ=-1， ‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2 ‎ 可得：曲线C1普通方程为：x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1 ‎ C2的直线普通方程为：x=-1． ‎ 联立方程组 ，解得： ， ‎ 即P的坐标为（-1，1） ‎ 由x2+y2=ρ2，tanθ= ， ‎ 可得：P的极坐标为（ ， ）． ‎ ‎（2）由（1）可得P的坐标为（-1，1），曲线C1方程为：x2+（y-1）2=1，圆心（0，1），半径r=1， ‎ 设过P点的直线斜率存在，设直线方程为y-1=k（x+1），即kx-y+1+k=0． ‎ ‎∵弦长 =2 ‎ ‎∴d= ‎ ‎∴ ‎ 解得：k=±1， ‎ 故得直线方程为x-y+2=0或x+y=0． ‎ ‎∴x-y+2=0直线极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）=-2． ‎ 即ρsin（θ ）= ． ‎ ‎∴x+y=0直线极坐标方程为：θ= （ρ∈R） ‎ ‎【解析】 ‎ ‎1. 解：根据观测值求解的公式K2= 可知， ‎ 当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大， ‎ 选项A中，|ad-bc|=100，选项B中，|ad-bc|=100， ‎ 选项C中，|ad-bc|=200，选项D中，|ad-bc|=400， ‎ 故选：D． ‎ 当ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的ad与bc的差距，即可得出结果． ‎ 本题考查独立性检验，得出ad与bc差距越大，两个变量有关的可能性就越大是解决问题的关键，属基础题． ‎ ‎2. 解：由相关关系的定义可知A正确； ‎ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，残差绝对值越小，故模型拟合的精度越高，故B正确； ‎ 由最小二乘法原理可知，回归方程经过数据中心（ ， ），但不一定过数据点，故C错误； ‎ 回归分析中，R2越大，残差越小，故模型拟合效果越好，故D正确． ‎ 故选：C． ‎ 根据独立性检验的知识进行判断． ‎ 本题考查了残差分析，独立性检验的基础知识，属于基础题． ‎ ‎3. 解：∵（2+i）z=（2+i）（m+2i）=2m+4i+mi+2i2=（2m-2）+（m+4）i为纯虚数， ‎ ‎∴ ， ‎ 解得m=1． ‎ 故选：A． ‎ 把复数z=m+2i代入（2+i）z，然后利用复数代数形式的乘法运算化简，再由已知条件列出方程组，求解可得答案． ‎ 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． ‎ ‎4. 解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2-i，∴z2=2+i． ‎ 则z1•z2=（2-i）（2+i）=22+12=5． ‎ 故选：B． ‎ 复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2-i，可得z2=2+i．再利用复数的运算法则即可得出． ‎ 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎5. 解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图： ‎ ‎∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法， ‎ 由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法， ‎ 故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①-综合法，②-分析法， ‎ 故选：B． ‎ 根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案． ‎ 本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键． ‎ ‎6. 解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），∴z=1+i． ‎ z2=（1+i）2=2i， ‎ 故选：B． ‎ 利用复数的几何意义、运算法则即可得出． ‎ 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎7. 解：设P（ρ，θ）为直线上的任意一点， ‎ 由题意可得：1=ρsinθ． ‎ 故选：B． ‎ 设P（ρ，θ）为直线上的任意一点，利用直角三角形的边角关系即可得出． ‎ 本题考查了极坐标方程、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎8. 解：∵∠AOB= = ． ‎ ‎∴|AB|= = ． ‎ 故选：C． ‎ 利用余弦定理即可得出． ‎ 本题考查了极坐标的应用、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎9. 解：极坐标方程ρ=sinθ+cosθ，即ρ2=ρ（sinθ+cosθ）， ‎ 化为x2+y2=x+y，配方为： = ， ‎ 表示的曲线是以 为圆心， 为半径的圆． ‎ 故选：B． ‎ 极坐标方程ρ=sinθ+cosθ，即ρ2=ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式代入即可得出． ‎ 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎10. 解：A中“若a•3=b•3，则ab”推出“a•0=b，ab，结论不正确； ‎ ‎“ab）nanbn”类推出（a+）n=an+bn，结论不正确． ‎ B中“若（a+）c=ac+b”类比出“ab）cac•b”，结不正； ‎ 故选： ‎ 据等式基质，可以分析中结论的真假； ‎ 根指数的运算性质以分析中结论的真； ‎ 根据对的运算性质，以分析中结真假； ‎ 本题考查点是命题真假判断与应用，其中熟握各种运算性质是解答本的关键． ‎ ‎11. 解：根据4个选项，正弦定理： ，体现数学对称美， ‎ 故选C． ‎ 根据4个选项，正弦定理： ，体现数学对称美，可得结论． ‎ 本题考查数学对称美，考查学生对式子的理解，比较基础． ‎ ‎12. 解：前n-1行共有正整数1+2+…+（n-1）个，即 个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第 +3个，即为 ， ‎ 故选A． ‎ 前n-1行共有正整数1+2+…+（n-1）个，即 个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第 +3个，即可得出结论． ‎ 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，比较基础． ‎ ‎13. 解：①线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故①不正确； ‎ ‎②由变量x和y的数据得到其回归直线方程l： =bx+a，则l一定经过点P（ ， ），故②正确； ‎ ‎③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，故③不正确； ‎ ‎④可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故④正确； ‎ ‎⑤在回归直线方 =0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.1个单位，故⑤正确． ‎ 故答案为：②④⑤． ‎ ‎①线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强； ‎ ‎②回归直线方程l： =bx+a，一定经过样本中心点； ‎ ‎③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样； ‎ ‎④可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好； ‎ ‎⑤在回归直线方 =0.1x+10中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.1个单位． ‎ 本题考查独立性检验，考查分层抽样方法，考查线性回归方程，考查判断两个相关变量之间的关系，是一个综合题目，这种题考查的知识点比较多，需要认真分析． ‎ ‎14. 解：设z=x+yi（x，y∈R），∵z+2 =9+4i，∴x+yi+2（x-yi）=9+4i，化为：3x-yi=9+4i， ‎ ‎∴3x=9，-y=4，解得x=3，y=-4． ‎ ‎∴|z|= =5． ‎ 故答案为：5． ‎ 设z=x+yi（x，y∈R），代入z+2 =9+4i，化为：3x-yi=9+4i，利用复数相等即可得出． ‎ 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎15. 解：圆心是C（a，0）、半径是a的圆的直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，化为x2+y2-2ax=0， ‎ 把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得极坐标方程：ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ． ‎ 故答案为：ρ=2acosθ． ‎ 由已知可得直角坐标方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入即可得出极坐标方程． ‎ 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ ‎16. 解：入选者不能是4号、5号，因为如果是4号或5号，则甲、乙、丁三个人的猜测都是正确的； ‎ 如果入选者是6号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的； ‎ 如果入选者是1、2、3中的一个，那么甲、丁的猜测是错的，乙、丙的猜测是对的； ‎ 根据题意“只有一人的猜测对的”， ‎ 所以入选者是6号． ‎ 故答案为：6． ‎ 结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者． ‎ 解答此类题应结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，进而得出问题答案． ‎ ‎17. ‎ 复数z=（1+i）m2+（5-2i）m+（6-15i）=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i． ‎ ‎（1）由m2-2m-15=0，解得m即可得出． ‎ ‎（2）由 ，解得m即可得出． ‎ ‎（3）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+7=0．解出即可得出． ‎ 本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ ‎18. ‎ 用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证． ‎ 本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点． ‎ ‎19. ‎ ‎（1）由所给的b图表格数据得出：a图顶点数为4个，6条边，围成3个区域；b图有8个顶点，12条边，围成5个区域；c图有6个顶点，9条边，围成4个区域；d图有10个顶点，15条边，围成6个区域； ‎ ‎（2）根据表中数值得出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系为：顶点数+区域数-1=边数； ‎ ‎（3）将数据代入（2）的公式计算即可． ‎ 本题考查合情推理，考查平面图形的知识，有一定难度，关键是理解题意，根据特殊推出一般规律． ‎ ‎20. ‎ ‎（1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案； ‎ ‎（2）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列；利用二项分布的数学期望，求X的数学期望． ‎ 本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题． ‎ ‎21. ‎ ‎（1）将曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ与ρcosθ=-1化成直角坐标方程．求出交点P，化为极坐标． ‎ ‎（2）过P点利用点斜式设出直线方程，利用弦长公式求解出斜率k，可得方程，化为直线极坐标方程即可． ‎ 本题考察了直线极坐标方程和求法，极坐标方程化成普通方程的求法和点到直线的距离公式．属于中档题． ‎ ‎22. ‎ ‎（1）由散点图可知：z与x具有较强的线性相关性； ‎ ‎（2）求得样本中心点（ ， ），则 = = ≈-0.10，由 = - • =15.05≈15，即可求得线性回归方程； ‎ ‎（3）年利润L（x）=x• =x• ，求导，令L′（x）=0，即可求得年利润L（x）的最大值． ‎ 本题考查线性回归方程的应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题． ‎