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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版随机事件的概率与古典概型学案
§11.1 随机事件的概率与古典概型 最新考纲 考情考向分析 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式. 4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查.本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现. 1.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A或A⊆B 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的 A∩B(或AB) 交事件(或积事件) 互斥事件 若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A)＋P(B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 4.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 5.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 6.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝. 7.古典概型的概率公式 P(A)＝. 概念方法微思考 1.随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？ 提示 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近. 2.随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？ 提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥. 3.任何一个随机事件与基本事件有何关系？ 提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和. 4.如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × ) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的.( × ) (5)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型.( × ) 题组二 教材改编 2.[P121T4]一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 答案 D 解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”. 3.[P133T3]袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种， 则所求概率为P＝＝. 4.[P133T4]同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________. 答案 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝. 题组三 易错自纠 5.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 答案 B 解析 抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上恰有5次是随机事件. 6.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝＝.故选B. 7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______. 答案 0.35 解析 ∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65， ∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35. 题型一 随机事件 命题点1 随机事件的关系 例1 (1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 答案 A 解析 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件. (2)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为____________. ①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C). 答案 ①④ 命题点2 随机事件的频率与概率 例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率. 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y的所有可能值为900，300，－100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8. 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 命题点3 互斥事件与对立事件 例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A1＝{任取1球为红球}， A2＝{任取1球为黑球}， A3＝{任取1球为白球}， A4＝{任取1球为绿球}， 则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝. 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥， 由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 方法二 (利用对立事件求概率) (1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝. (2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4， 所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. 思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生. ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (3)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (4)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. (5)求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 ①将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率. ②若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率. 跟踪训练1 (1)某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 ①若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； ②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 解 ①设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. ②设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24. (2)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 ①试估计C班的学生人数； ②从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率. 解 ①由题意及分层抽样可知，C班学生人数约为 100×＝100×＝40. ②设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1，2，…，5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1，2，…，8. 由题意可知P(Ai)＝，i＝1，2，…，5；P(Cj)＝，j＝1，2，…，8. P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1，2，…，5，j＝1，2，…，8. 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”， 由题意知， E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪ A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝. 题型二 古典概型 例4 (1)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图： 基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P＝＝. (2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________. 答案 解析 方法一 基本事件共有C＝6(种)， 设取出2个球颜色不同为事件A. A包含的基本事件有CC＋CC＝5(种). 故P(A)＝. 方法二 将两个黄球分别编号为黄1，黄2.设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，共6种，事件A包含5种，故P(A)＝. 思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择. 跟踪训练2 (1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由题意可知， 共15种可能性，而只有1种是正确的. ∴输入一次密码能够成功开机的概率为. (2)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元. 乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2). 乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2). 根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝. (3)已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 ∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}， ∴基本事件总数n＝3×4＝12. 函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数， ①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)， 即a＝0，b＝－1； ②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4种. ∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝. 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球 C.至少有一个黑球与至少有一个红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球 答案 D 解析 对于A，事件“至少有一个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生，∴A不正确；对于B，事件“至少有一个黑球”与事件“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B不正确；对于C，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球，一个黑球，∴C不正确；对于D，事件“恰有一个黑球”与事件“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D正确. 2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件， 所以甲不输的概率为＋＝. 3.(2018·衢州质检)从集合{－1，－2，－3，0，1，2，3，4}中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 依题意，得题中的集合的4元子集共有C＝70个，其中使得这4个数中的任何两个数之和不等于1的子集共有16个(注意到－1＋2＝－2＋3＝－3＋4＝0＋1＝1，因此该类子集共有C·C·C·C＝16个)，因此所求的概率等于＝. 4.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( ) A.15%B.20%C.45%D.65% 答案 D 解析 因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D. 5.每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 设男生为A，B，C，女生为a，b，从5人中选出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种等可能情况，其中选出的2名志愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4种等可能的情况，则选出的2名志愿者性别相同的概率为P＝＝. 6.(2018·金华十校联考)将A，B，C，D，E五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内的概率是( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 依题意知，将这五种文件随机放入这七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件的放法共有A种，文件A，B被放在相邻的抽屉内，∴A，B 看成一个元素，相应的抽屉看成6个，则有4个元素在6个位置排列，有AA＝720种方法，文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在相邻的抽屉内，有AAA＝240种，∴文件A，B被放在相邻的抽屉内且文件C，D被放在不相邻的抽屉内，有720－240＝480种方法.因此所求的概率为＝，故选B. 7.(2014·浙江)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是________. 答案 解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种. 其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，共2种， 所以P(A)＝＝. 8.(2018·湖州模拟)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1查看更多