数学卷·2018届海南省国科园实验学校高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届海南省国科园实验学校高二上学期期中数学试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年海南省国科园实验学校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、单项选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（　　）‎ A．r=1；（﹣2，1） B．r=2；（﹣2，1） C．r=1；（2，﹣1） D．r=2；（2，﹣1）‎ ‎2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．已知直线（a﹣2）x+ay﹣1=0与直线2x+3y﹣5=0垂直，则a的值为（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎4．掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．要完成下列两项调查：‎ ‎①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；‎ ‎②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．‎ 宜采用的方法依次为（　　）‎ A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 ‎6．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎7．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣7 C．3 D．1‎ ‎8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎9．如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为57，100，则图形Ω面积的估计值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．执行如图程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　）‎ A．7 B．12 C．17 D．34‎ ‎11．若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎12．若直线ax+by﹣3=0和圆x2+y2+4x﹣1=0切于点P（﹣1，2），则ab的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是　　．‎ ‎14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=　　．‎ ‎15．已知点A（﹣3，4）B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围　　．‎ ‎16．两圆x2+y2+4y=0，x2+y2+2（a﹣1）x+2y+a2=0在交点处的切线方程互相垂直，那么实数a的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（1）根据茎叶图计算样本平均值和方差；‎ ‎（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人．‎ ‎18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎19．某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．‎ 鱼的重量 ‎[1.00，1.05）‎ ‎[1.05，1.10）‎ ‎[1.10，1.15）‎ ‎[1.15，1.20）‎ ‎[1.20，1.25）‎ ‎[1.25，1.30）‎ 鱼的条数 ‎3‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎31‎ ‎9‎ ‎2‎ 若规定重量大于或等于1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．‎ ‎（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？‎ ‎（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．‎ ‎20．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，‎ ‎（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．‎ ‎21．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ 附： =，a=﹣．‎ ‎22．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，直线l的斜率为1，与圆交于A、B两点．‎ ‎（1）若直线l经过圆C的圆心，求出直线的方程；‎ ‎（2）当直线l平行移动的时候，求△CAB面积的最大值以及此时直线l的方程；‎ ‎（3）是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年海南省国科园实验学校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单项选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（　　）‎ A．r=1；（﹣2，1） B．r=2；（﹣2，1） C．r=1；（2，﹣1） D．r=2；（2，﹣1）‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】直接化圆的一般方程为标准方程求得答案．‎ ‎【解答】解：由x2+y2﹣4x+2y+4=0，得（x﹣2）2+（y+1）2=1，‎ ‎∴圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的半径为r=1；圆心坐标为（2，﹣1），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】可得直线l的斜率k=tan60°=．‎ ‎【解答】解：∵直线l的倾斜角为60°，‎ ‎∴直线l的斜率k=tan60°=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线（a﹣2）x+ay﹣1=0与直线2x+3y﹣5=0垂直，则a的值为（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用两条直线垂直与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵直线（a﹣2）x+ay﹣1=0与直线2x+3y﹣5=0垂直，‎ ‎∴﹣×=﹣1，解得a=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】先计算掷两颗骰子的所有等可能的基本事件数，可利用乘法计数原理，再利用列举法求点数之和在其中的不同结果数，最后由古典概型概率计算公式即可得所求概率 ‎【解答】解：掷两颗骰子，点数记为（a，b），则共有6×6=36种不同的等可能结果 其中点数之和为6，包含其中的（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5种不同结果 ‎∴掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率是P=‎ 故选C ‎　‎ ‎5．要完成下列两项调查：‎ ‎①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；‎ ‎②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．‎ 宜采用的方法依次为（　　）‎ A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 ‎【考点】简单随机抽样；分层抽样方法．‎ ‎【分析】从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法．‎ ‎①中某社区420户家庭的收入差异较大；②‎ 中总体数量较少，且个体之间无明显差异．‎ ‎【解答】解：①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法；‎ ‎②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（　　）‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．‎ ‎【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；‎ 对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；‎ 对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；‎ 对于D，x=170cm时， =0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣7 C．3 D．1‎ ‎【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值．‎ ‎【解答】解：∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2=0上，‎ ‎∴．‎ ‎∴m=3，‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．‎ ‎【解答】解：∵=3.5，‎ ‎=42，‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程中的为9.4，‎ ‎∴42=9.4×3.5+a，‎ ‎∴=9.1，‎ ‎∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为57，100，则图形Ω面积的估计值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．‎ ‎【解答】解：由题意知撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为57，100，‎ ‎∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=57：100，‎ ‎∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=a2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．执行如图程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　）‎ A．7 B．12 C．17 D．34‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出S，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：x=2，n=2，k=0，s=0，a=2，‎ 此时s=2，k=1＜2，‎ a=2时，s=6，k=2，不成立，‎ a=5时，s=17，k=3＞2，成立，‎ 输出s=17，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】联立，解得交点（1，2），代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：联立，解得x=1，y=2．‎ 把（1，2）代入mx+ny+5=0可得：m+2n+5=0．‎ ‎∴m=﹣5﹣2n．‎ ‎∴点（m，n）到原点的距离d===，当n=﹣2，m=﹣1时，取等号．‎ ‎∴点（m，n）到原点的距离的最小值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．若直线ax+by﹣3=0和圆x2+y2+4x﹣1=0切于点P（﹣1，2），则ab的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．‎ ‎【分析】‎ 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径r，化简后得到关于a与b的方程，记作①，又直线与圆的切点为P，所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而求出ab的值．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=5，‎ 所以圆心坐标为（﹣2，0），半径r=，‎ ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d==r=，‎ 化简得：a2+5b2﹣12a﹣9=0①，‎ 把切点P的坐标代入直线方程得：﹣a+2b﹣3=0②，‎ 联立①②，解得：a=1，b=2，‎ 则ab的值为2．‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是　　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】直接应用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：由点到直线的距离公式可得：．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=　0.4　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，‎ 这组数据的平均数是7，‎ 甲班投中次数的方差是，‎ 乙班的投中次数是6，7，6，7，9，‎ 这组数据的平均数是7，‎ 这组数据的方差是 ‎∴两组数据的方差中较小的一个为0.4，‎ 故答案为：0.4‎ ‎　‎ ‎15．已知点A（﹣3，4）B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围　45°≤α≤135°　．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】由题意画出图形，求出P与线段AB端点连线的倾斜角得答案．‎ ‎【解答】解：如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），‎ 则tanα==1，α=45°‎ 当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π），‎ 则tanβ==﹣1，β=135°，‎ ‎∴要使直线l与线段AB有公共点，‎ 则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°．‎ 故答案为45°≤α≤135°．‎ ‎　‎ ‎16．两圆x2+y2+4y=0，x2+y2+2（a﹣1）x+2y+a2=0在交点处的切线方程互相垂直，那么实数a的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由题意结合圆的切线性质可得O1A⊥AO2，由勾股定理可得m的值，再用勾股定理求得AB的长度．‎ ‎【解答】解：根据x2+y2+4y=0，得 x2+（y+2）2=4，‎ x2+y2+4y=0，①，‎ x2+y2+2（a﹣1）x+2y+a2=0，②‎ ‎①﹣②，得公共弦的方程为：‎ ‎2（a﹣1）x﹣2y+a2=0，‎ 设交点为（m，n），‎ ‎∴m2+n2+4n=0 ③‎ ‎2（a﹣1）m﹣2n+a2=0 ④，‎ ‎⑤，‎ 联立③④⑤，得 a=±2．‎ a=2时，方程x2+y2+2（a﹣1）x+2y+a2=0不表示圆，应舍去 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．‎ ‎（1）根据茎叶图计算样本平均值和方差；‎ ‎（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人．‎ ‎【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）根据茎叶图，计算平均数与方差；‎ ‎（2）根据样本数据中有2人日加工零件个数大于样本均值，估计优秀工人数．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，样本平均值为：‎ ‎=×（17+19+20+21+25+30）=22；…‎ 方差为：‎ s2= [（17﹣22）2+（19﹣22）2+（20﹣22）2+（21﹣22）2+（25﹣22）2+（30﹣22）2]=；…‎ ‎（2）因为样本数据中有2人日加工零件个数大于样本均值，‎ 据此可以估计该车间12名工人中有优秀工人：‎ ‎12×=4人．…‎ ‎　‎ ‎18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．‎ ‎（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．‎ ‎（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，‎ 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．‎ ‎（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为P=．‎ ‎　‎ ‎19．某食品安检部门调查一个养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：千克），并将所得数据进行统计得如表．‎ 鱼的重量 ‎[1.00，1.05）‎ ‎[1.05，1.10）‎ ‎[1.10，1.15）‎ ‎[1.15，1.20）‎ ‎[1.20，1.25）‎ ‎[1.25，1.30）‎ 鱼的条数 ‎3‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎31‎ ‎9‎ ‎2‎ 若规定重量大于或等于1.20kg的鱼占捕捞鱼总量的15%以上时，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．‎ ‎（1）根据统计表，估计数据落在[1.20，1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否有问题？‎ ‎（2）上面所捕捞的100条鱼中，从重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1，.25，1.30）中各有1条的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）捕捞的100条鱼中间，求出数据落在[1.20，1.25）的概率，再求出数据落在[1.20，1.30）中的概率，相加即得所求．‎ ‎（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作：B1，B2，写出所有的可能选法，再找出满足条件的选法，从而求得所求事件的概率．‎ ‎【解答】解：（1）捕捞的100条鱼中，数据落在[1.20，1.30）中的概率约为P1==0.11，‎ 由于0.11×100%=11%＜15%，故饲养的这批鱼没有问题．‎ ‎（2）重量在[1.00，1.05）的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1，A2，A3，‎ 重量在[1.25，1.30）的鱼有2条，分别记作B1，B2，‎ 那么从中任取2条的所有的可能有：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，‎ ‎{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，‎ ‎{A3，B2}，{B1，B2}共10种．‎ 而恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的情况有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，‎ ‎{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共6种．‎ 所以恰好所取得鱼的重量在[1.00，1.05）和[1.25，1.30）中各有1条的概率p==．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，‎ ‎（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；‎ ‎（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】（1）直线方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，根据点A（5，0）到l的距离为3，建立方程解出 λ值，即得直线方程．‎ ‎（2）先求出交点P的坐标，当l⊥PA时，点A（5，0）到l的距离的最大值，故最大值为|PA|．‎ ‎【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，‎ ‎∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．‎ 即 2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．‎ ‎（2）由解得，交点P（2，1），如图，‎ 过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|‎ ‎（当l⊥PA时等号成立）．‎ ‎∴dmax=|PA|=．‎ ‎　‎ ‎21．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ 附： =，a=﹣．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）由题意，计算、，求出回归系数，、，写出回归直线方程；‎ ‎（2）计算x=100时的值，预测生产100吨甲产品的生产能耗，再计算比技改前节约的标准煤．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得： =5， =4；…‎ xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5+7×6=108.5‎ ‎=32+42+52+62+72=135；…‎ ‎∴===0.85，…‎ ‎=﹣=4﹣0.85×5=﹣0.25，‎ ‎∴所求回归直线方程为=0.85x﹣0.25…‎ ‎（2）由（1）知，x=100时，‎ ‎=0.85×100﹣0.25=84.75吨，…‎ 预测生产100吨甲产品的生产能耗为84.75吨，‎ 比技改前节约了90﹣84.75=5.25吨标准煤．…‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，直线l的斜率为1，与圆交于A、B两点．‎ ‎（1）若直线l经过圆C的圆心，求出直线的方程；‎ ‎（2）当直线l平行移动的时候，求△CAB面积的最大值以及此时直线l的方程；‎ ‎（3）是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）圆C的圆心C（1，﹣2），半径为3，直线斜率为1，由此能求出直线l的方程．‎ ‎（2）设直线l的方程为：y=x+m，圆心C到直线l的距离为d，则|AB|=2，≤，当且仅当时取等号，由此能求出直线l的方程．‎ ‎（3）假设存在直线l：y=x+m满足题设要求，点A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为直径的圆过原点，得x1x2+y1y2=0，联立，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点，并能求出其方程．‎ ‎【解答】解：（1）圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9，所以圆心C（1，﹣2），半径为3；‎ 又直线斜率为1，所以直线l的方程为y+2=x﹣1，即x﹣y﹣3=0．…‎ ‎（2）设直线l的方程为：y=x+m，圆心C到直线l的距离为d，则|AB|=2，‎ ‎=≤，‎ 当且仅当，d=时取等号，由d==，得m=0或m=﹣6，‎ 所以直线l的方程为y=x或y=x﹣6…‎ ‎（3）假设存在直线l：y=x+m满足题设要求，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，有=﹣1，即x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①‎ 联立，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，‎ 由于△＞0，得﹣3﹣3＜m＜3，‎ x1+x2=﹣（m+1），，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②‎ 所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③‎ 由①②③解得m=1或m=﹣4，均符合△＞0，‎ 故存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点，其方程为y=x+1或y=x﹣4．…‎