2014湖北（文科数学）高考试题
2014·湖北卷(文科数学)
1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝( )
A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}
C．{2，4，7} D．{2，5，7}
1．C [解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C.
2．[2014·湖北卷] i为虚数单位，＝( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
2．B [解析] ＝＝＝－1.故选B.
3．[2014·湖北卷] 命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．∀x∈/R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x0∈/R，x≠x0 D．∃x0∈R，x＝x0
3．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是“∃x0∈R，x＝x0”. 故选D.
4．[2014·湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是( )
A．2 B．4 C．7 D．8
4．C [解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．
设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7. 故选C.
5．[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则( )
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3
C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2
5．C [解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
则p1＝，p2＝，p3＝.故p1
0，所以a>0，b<0.故选A.
图11
7．[2014·湖北卷] 在如图11所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图12
A．①和② B．③和①
C．④和③ D．④和②
7．D [解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.
8．、[2014·湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8．A [解析] 由方程t2cos θ＋tsin θ＝0，解得t1＝0，t2＝－tan θ，不妨设点A(0，0)，B(－tan θ，tan2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xtan θ，该直线恰是双曲线－＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.
9．、[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
9．D [解析] 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .
求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．
当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；
当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－.故选D.
10．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A. B.
C. D.
10．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.
11．[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
11．1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则＝，解得n＝1800.
12．、[2014·湖北卷] 若向量＝(1，－3)，
||＝||，·＝0，则||＝________．
12．2 [解析] 由题意知，＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝＝2 .
13．[2014·湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．
13.或 [解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又因为b>a，所以B＝或.
14．[2014·湖北卷] 阅读如图13所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为 9，则输出S的值为________．
图13
14．1067 [解析] 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；
第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；
……
所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(29＋9)＝1067.
15．[2014·湖北卷] 如图14所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．
若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．
图14
15. [解析] “∀x∈R，f(x)>f(x－1)”等价于“函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方”，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a<1，所以a的取值范围为.
16．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，
F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．
(2)当l＝5时，
F＝＝≤2000，
当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．
17．[2014·湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则
(1)b＝________；
(2)λ＝________．
17．(1)－ (2) [解析] 设点M(cos θ，sin θ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cos θ－b)2＋sin2θ＝λ2，即－2bcos θ＋b2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得
18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.
故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
19．解：(1)设数列{an}的公差为d，
依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，
解得n>40或n<－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.
20．、[2014·湖北卷] 如图15，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：
(1)直线BC1∥平面EFPQ；
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
图15
20．证明：(1)连接AD1，由ABCD A1B1C1D1是正方体，
知AD1∥BC1.
因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.
21．[2014·湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)＝的单调区间；
(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．
21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)因为e<3<π，所以eln 3π3.
由<，得ln 3e.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ii)若或由②③解得k∈或－≤k<0.
即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
(iii)若由②③解得－1
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