2015年高考数学（文科）真题分类汇编M单元 推理与证明
数 学
M单元 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
16．M1[2015·陕西卷] 观察下列等式
1－＝
1－＋－＝＋
1－＋－＋－＝＋＋
……
据此规律，第n个等式可为____________．
16．1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ [解析] 根据给出的等式的规律归纳即得．
M2 直接证明与间接证明
6．E1，M2[2015·浙江卷] 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x
0.故选项A中的不是最低费用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故选项C中的不是最低费用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，选项D中的不是最低费用．
综上所述，选项B中的为最低费用．
M3 数学归纳法
M4 单元综合
10．M4[2015·广东卷] 若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤pb，那么>”时，假设的内容应是( )
A.＝
B.<
C.＝且<
D.＝或<
2．D [解析] 假设结论不成立，>的否定为≤，故选D.
3．[2015·湖北八校联考] 观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，….由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝______________________．
3．(－1)n＋1 [解析] 由于1＝(－1)1＋1×，－3＝(－1)2＋1×，6＝(－1)3＋1×，－10＝(－1)4＋1×，
因此12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
5．[2015·武汉武昌区调研] 给出以下数对序列：
(1，1)
(1，2) (2，1)
(1，3) (2，2) (3，1)
(1，4) (2，3) (3，2) (4，1)
……
记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3，2)，则a54＝________，anm＝________．
5．(4，2) (m，n－m＋1) [解析] 由前4行的特点归纳可得，若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，
∴a54＝(4，5－4＋1)＝(4，2)，anm＝(m，n－m＋1)．
图K501
8．[2015·泉州五校联考] 对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图像都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，计算f＋f＋f＋…＋f＝________．
8．2014 [解析] f′(x)＝x2－x＋3，由f″(x)＝2x－1＝0，得x＝，则点，1为y＝f(x)的图像的对称中心，故f＋f＝f＋f＝…＝2f＝2，故f＋f＋f＋…＋f＝2014.
9．[2015·武汉调研] 如图K502(1)所示，在平面几何中，设O是等腰直角三角形ABC
的底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有＋＝2.类比以上结论，将其拓展到空间中，如图K502(2)所示，设O是正三棱锥A BCD的底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有__________________．
图K502
9.＋＋＝3 [解析] 设O到正三棱锥A BCD三个侧面的距离为d，易知V三棱锥R AQP＝S△AQP·AR＝×·AQ·AP·AR＝AQ·AP·AR.又∵V三棱锥R AQP＝V三棱锥O AQP＋V三棱锥O ARP＋V三棱锥O AQR＝S△AQP·d＋S△ARP·d＋S△AQR·d＝(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d，
∴AQ·AP·AR＝(AQ·AP＋AR·AP＋AQ·AR)d，即＋＋＝.而V三棱锥A BDC＝××1×1×1＝，∴V三棱锥O ABD＝V三棱锥A BDC＝，
即·S△ABD·d＝××d＝，∴d＝，
∴＋＋＝3.
