2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知区间，求（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在数轴上画出区间A，B即可解.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 考查区间的并集.利用数轴解更直观.题目较易.‎ ‎2．若，则下列不等式不能成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；‎ 选项B：由于，即，所以，所以 ‎，所以不成立；‎ 选项C：由于，所以，所以，所以成立；‎ 选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等关系和不等式，属于基础题.‎ ‎3．某小学、初中、高中一体化学校，学校学生比例如下图，对全校学生采用分层抽样进行一次调查，样本容量为240人，则其中初中女生有（ ）人 A．18 B．42 C．32 D．48‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知初中男生占比为40%，可求出女生占比，则初中生人数乘以女生占比，即可解初中女生人数，‎ ‎【详解】‎ 由图可知，男生占比40%，则女生占比60%，初中生人 数为80，∴人.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 考查根据扇形图，条形图求样本中个体的数量.题目较为简单.‎ ‎4．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知函数是上的增函数,,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.‎ ‎【详解】‎ 函数是上的增函数,是上的增函数,‎ 故函数是上的增函数.‎ ‎,,‎ 则时,;时,,‎ 因为,所以函数在区间上存在零点.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.‎ ‎5．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）‎ A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 ‎【答案】A ‎【解析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 事件与事件不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.‎ ‎6．已知向量，，则是//的（ ）‎ A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】当时，求，然后再判断充分必要条件.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ ‎ ，即，‎ 解得：或，‎ 是的充分不必要条件.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行的坐标表示求参数和充分必要条件结合的简单综合问题，属于基础题型.‎ ‎7．已知,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将和比，和比即可解.‎ ‎【详解】‎ 由题意得： ‎ ‎. ‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 考查指数函数，对数函数的性质，利用特殊值比较即可解，题目较为简单.‎ ‎8．函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的解析式可得函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，当x＝0或x＝4时，函数值等于5，结合题意求得m的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1的对称轴为x＝2，此时，函数取得最小值为1，‎ 当x＝0或x＝4时，函数值等于5．‎ 且f（x）＝x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，‎ ‎∴实数m的取值范围是[2，4]，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．‎ ‎9．已知函数 ，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用分段函数的解析式，可得，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 则，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．‎ ‎【详解】‎ 在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且．‎ 在A中，，故A 正确； ‎ 在B中，，故B错误；‎ 在C中，，故C错误；‎ 在D中，，‎ 若，则，不合题意，故D错误．‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．‎ 二、多选题 ‎11．(多选题)下列命题正确的有（ ）‎ A．命题：“，使得”，则：“，”.‎ B．已知集合,那么集合=.‎ C．函数的定义域为，则k<0或k>4.‎ D．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为3，90%分位数为9.5.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】分别对A，B，C，D四个选项进行判断，找出正确的选项.‎ ‎【详解】‎ A. 命题：“，使得”， ，将存在 换成任意，再将结论否定，得：“，”，正确 B. 已知集合，那么 集合，应写成集合的形式，, B项错误.‎ C. 函数的定义域为，则恒大于0，‎ 当，则有，恒成立，当，不等式不恒成立,‎ 当，则，∴，C项错误.‎ D. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十个数字，，‎ 故25%分位数为3，90%分位数为9.5.正确.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】‎ 考查命题的否定，集合的形式，对数函数的定义域，以及求分位数的问题.属中档题.分位数补充：一般地，一组数据的第百分数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据大于等于这个值.可以通过以下步骤计算一组n个数的第百分位数：第一步，按从小到大排列原始数据.第二步，计算.第三步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据，若不是整数，则第百分位数为第与第项数据的平均值.‎ ‎12．（多选题）设函数，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．当时，函数在上有最小值；‎ B．当时，函数在是单调增函数；‎ C．若，则；‎ D．方程可能有三个实数根.‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】分析A，B，C，D四个选项，判断正确的选项，考虑用特殊值法.‎ ‎【详解】‎ A.当时，，令，则 ‎，可知函数在R上无最小值，A项错误. ‎ B.当时，，令，‎ 代入，，‎ 由可知，在 单调递增，同理可得在单调递增，‎ 且，函数在是单调增函数，‎ B项正确.‎ C. 由，将 代入 ，解得.C项正确.‎ D.令，则，解得.D项正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】‎ 考查分段函数，含绝对值的二次函数以及二次函数的性质.属中档题.‎ 三、填空题 ‎13．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．‎ ‎【答案】5 8 ‎ ‎【解析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图中的数据，得：‎ ‎∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；‎ 又∵乙组数据的平均数为16.8，‎ ‎∴16.8，‎ 解得：y＝8；‎ 综上，x、y的值分别为5、8．‎ 故答案为：(1). 5 (2). 8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．‎ ‎14．如图，在6×6的网格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】先作单位向量，再用单位向量表示，，，再根据平面向量的基本定理得出关于，的方程组，解出，，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 如同做单位向量，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴.‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】‎ 考查平面向量的基本定理,平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使．（不共线的向量，作为这一平面内所有向量的一组基底）‎ ‎15．已知x＞0，y＞0，,则的最小值是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据对数运算得，再利用基本不等式中“1”的用法求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由得.‎ 则，‎ 当且仅当,即，时取等号.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 考查对数运算，基本不等式中“1”的用法.注意取等号.题目较易.‎ ‎16．已知定义在的偶函数满足且当时，，则的解集为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求的值，再证明函数的单调性，再分类讨论即可解.‎ ‎【详解】‎ 令，则有，，令，则 ‎，. ‎ 令，，则，. ‎ 令，由时，，则，，‎ ‎，‎ ‎∴函数在为增函数，又∵函数在为偶函数，‎ ‎∴函数在为减函数.由，则或，‎ 解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 考查函数的奇偶性，单调性，抽象函数，解函数不等式.其中利用，证明函数的单调性为解题关键.‎ 四、解答题 ‎17．已知平面向量，，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，与共线，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】（1）结合已知求得：，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.‎ ‎（2）求得：，利用与共线可列方程，解方程即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）， ‎ 所以.‎ ‎（2）， ‎ 因为与共线，所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎18．已知关于的一元二次方程.‎ ‎(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)若方程两根为且满足，求的值．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】(1)方程总有两个不相等的实数根，只需根的判别式 即可；(2)由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简，代入韦达定理即可解出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)∵，‎ ‎∴方程有两个不相等的实根．‎ ‎(2)∵，，‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.‎ ‎19．已知函数的图像关于原点对称，其中为常数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）－1；（2）．‎ ‎【解析】（1）函数图象关于原点对称，则其为奇函数，根据奇函数定义可求得；‎ ‎（2）求得的最大值即可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数图象关于原点对称，∴它是奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎，在函数定义域内恒成立，‎ ‎∴，，‎ 时，不合题意，‎ 时，，定义域是，符合题意．‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）‎ 恒成立，‎ 而在上，是减函数，，∴，‎ ‎∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的性质，考查函数的奇偶性，解题时由奇函数定义求得参数，由对数函数的单调性求得函数的最值（需稍改变函数定义域）从而求得的取值范围．‎ ‎20．已知函数的最小值为 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）令，将函数化为二次函数来解，再分类讨论对称轴在区间的位置即可解.（2）画出图象即可解 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 令，则，对称轴为.‎ 当时，此函数在单调递增，.‎ 当时，此函数在先减后增，. ‎ 当时，此函数在单调递减，.‎ ‎ ‎ ‎∴.‎ ‎(2)由图可知，.‎ ‎【点睛】‎ 考查二次函数在给定区间求函数最小值问题，化为分段函数解更直观，以及二次函数的性质.‎ ‎21．[2019·龙泉驿区一中]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：‎ 交强险浮动因素和费率浮动比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎20‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；‎ ‎（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：‎ ‎①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示)．‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②元 ‎【解析】（1）利用等可能事件概率计算公式，能求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）①由统计数据可知，该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为，，5辆非事故车，设为，，，.利用列举法求出从7辆车中随机挑选两辆车的基本事件总和其中两辆车恰好有一辆事故车包含的基本事件个数，由此能求出该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率，②由统计数据可知，该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆，非事故车50辆，由此能求出一辆车盈利的平均值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为 ‎（2）①由统计数据可知，该销售商店内的7辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为，，5辆非事故车，设为，，，.从7辆车中随机挑选2辆车的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有，，，，，，，，‎ 共10种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆事故车的概率为.‎ ‎②由统计数据可知，该销售商一次购进70辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车20辆，非事故车50辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．‎ ‎22．已知函数，且满足.‎ ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）设函数，若在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）将代入函数解析式中即可解.（2）任取，且，再用，判断其结果正负即可证明.（3）将函数在上有两个不同的零点，转化为函数与直线有两个不同的交点，根据函数的单调性，求其值域来解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得或（舍去）.∴.‎ ‎（2）由，所以.‎ 当时，，任取，且，‎ 则 ‎，‎ 因为，则，，‎ 所以在上为增函数；‎ ‎（3）函数在上有两个不同的零点，转化为 函数与直线有两个不同的交点.由（1）可知，在 上为增函数,当时，.‎ 同理可得在上为减函数，当时，.‎ 所以直线和函数有两个交点，则.‎ ‎【点睛】‎ 考查函数的解析式，用定义法证明函数的单调性，以及函数的零点问题.‎