东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020届高三第二次联合模拟数学（文）试题 Word版含解析

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020届高三第二次联合模拟数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合、均为集合的子集，且，，，则集合＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的运算性质得，代入已知条件得出结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算及性质，属于基础题.‎ ‎2.若（，，为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求.‎ ‎【详解】因为 ‎∴，解得 ‎∴复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.‎ - 24 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.‎ ‎3.若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 0 C. ﹣3 D. ﹣9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，目标函数值最大.‎ ‎【详解】画出的可行域，如图：‎ 联立，解得，即.‎ 令z＝y﹣x，变形为y＝x+z 作直线y＝x将其平移至时，直线的纵截距最大，最大值为0.‎ 故选：B.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义.‎ ‎4.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是( )‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过反例可确定错误；由面面垂直的判定定理可知正确.‎ ‎【详解】若且，则与相交、平行或，，错误；‎ 若且，则与可能相交或平行，错误；‎ 由面面垂直判定定理可知，选项的已知条件符合定理，则，正确.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.‎ ‎5.课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”.他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说谎话，其他人说真话，可推出.‎ ‎【详解】由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，‎ 则乙丁有一人说谎，‎ 则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，‎ 进而可以判断丁说了假话.‎ 故选：D.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查简单的合情推理，属于基础题.‎ ‎6.已知正项等比数列{an}，若向量，，，则＝（ ）‎ A. 12 B. C. 5 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算法则及等比中项的性质可得到正确选项.‎ 详解】由题意，向量，，，‎ 则，即，‎ 根据等比中项的知识，可得，‎ ‎∵，故，‎ ‎∴‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.本题属中档题.‎ - 24 -‎ ‎7.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中.《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1.再由棱锥体积公式求解.‎ ‎【详解】由三视图还原原几何体如图，‎ 可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，‎ 侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1.‎ ‎∴该几何体的体积.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.‎ ‎8.已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. （0，2] D. ‎ ‎【答案】D - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果.‎ ‎【详解】如图所示，设，，∠CAB＝45°，‎ 由图可知，当BC⊥AC时，的取值最小，此时，则，‎ 而没有最大值，‎ 故的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题.‎ ‎9.已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解.‎ ‎【详解】∵‎ 则 ‎.‎ 故选：A.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.‎ ‎10.设函数，则下列说法中正确的是（ ）‎ A. 关于中心对称 B. 的极小值为 C. 的最小正周期为π D. 图象的一条对称轴为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说的图象关于某个点中心对称，‎ 其次不恒等于2，所以A错误；‎ 对于B选项，∵，‎ ‎∴，‎ 令，有或.‎ 当时，有，‎ 当时，两边平方可得，，‎ 此时，‎ 所以的极小值不可能为，所以B错误；‎ 对于C选项，，‎ 所以π不是的最小正周期，所以C错误；‎ 对于D选项，∵‎ ‎，‎ - 24 -‎ ‎∴，所以图象的一条对称轴为，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果.‎ ‎【详解】双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB 若，可知MAOB是正方形，MO，‎ 所以双曲线的实半轴长的最大值为，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.‎ ‎12.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）‎ A. 81 B. ﹣81 C. ﹣9 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.‎ ‎【详解】‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 令，，则，‎ ‎∴‎ 令，解得 ‎∴时，，单调递减；时，，单调递增；‎ ‎∴，，‎ ‎∴a﹣3 ‎ ‎∴.‎ 设关于t的一元二次方程有两实根，，‎ - 24 -‎ ‎∴，可得或.‎ ‎∵，故 ‎∴舍去 ‎∴6，.‎ 又∵，当且仅当时等号成立，‎ 由于，∴，（不妨设）.‎ ‎∵，可得，，.‎ 则可知，.‎ ‎∴.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____.‎ ‎【答案】700‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数.‎ ‎【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4.‎ - 24 -‎ 由题意可得，∴.‎ 设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700‎ 故答案为：700.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.‎ ‎14.已知实数a、c满足，关于x的不等式的解集为_____.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可转化为二次不等式即可求解.‎ ‎【详解】由题意可得且，‎ 因，‎ 所以或，‎ 故不等式的解集为或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用.‎ ‎15.直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为_____.‎ ‎【答案】y2＝4x ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程.‎ ‎【详解】由题意如图所示，‎ - 24 -‎ 因为，F为AM的中点，所以，‎ 设，，所以，所以，‎ 代入抛物线的方程可得 即所以，‎ 所以直线AB的方程为：，‎ 直线与抛物线的方程联立可得：，‎ 整理可得：，‎ 所以，‎ 由抛物线的性质可得，解得，‎ 所以抛物线的方程为：，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题.‎ ‎16.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则B＝_____；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝_____.‎ - 24 -‎ ‎【答案】 (1). (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理容易求出B的大小；‎ ‎（2）引入角，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题得解.‎ ‎【详解】（1）根据题意，‎ 化简得，所以，‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）做出图形如下：‎ 由题意不妨设，则，，所以Aα，‎ 在△ABD中由正弦定理得，‎ 将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴.‎ ‎∴，，易得.‎ ‎∴.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题.‎ - 24 -‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列是公差不为0等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列是公差不为0的等差数列，可知，再列出、、关于d的表达式，根据有，代入表达式可得关于d的方程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和.‎ ‎【详解】（1）由题意，可知，‎ ‎，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ 整理，得，‎ 解得（舍去），或.‎ ‎∴‎ ‎∴，.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ - 24 -‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.‎ ‎18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AD∥BC，AB＝BCAD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°.‎ ‎（1）求证：PD⊥PB；‎ ‎（2）当PA＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面PAB，由此能证明PD⊥PB；‎ ‎（2）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解.‎ ‎【详解】（1）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，‎ ‎∵平面ABCD⊥平面PAD，交线为AD，‎ - 24 -‎ ‎∴BA⊥平面PAD，从而BA⊥PD，‎ ‎∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，‎ ‎∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面PAB，‎ ‎∵PB⊂平面PAB，∴PD⊥PB；‎ ‎（2）∵PA＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，‎ 由平面ABCD⊥平面PAD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD.‎ 又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，‎ ‎∴.‎ 即三棱锥P﹣BCD的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，及多面体体积的求法，是中档题.‎ ‎19.2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击.‎ ‎（1）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队.每支球队有四名参赛队员.若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？‎ ‎（2）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率.‎ ‎【答案】（1）从亚洲运动员中抽取3人，从美洲运动员中抽取2人，从欧洲运动员中抽取5人；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；‎ ‎（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.‎ ‎【详解】（1）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人）‎ 从美洲运动员中抽取102（人）‎ 从欧洲运动员中抽取105（人）‎ ‎（2）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，‎ 基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，‎ ‎{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，‎ ‎{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；‎ 其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若函数与图象交于、两点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间，单调递减区间；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；‎ ‎（2）由已知分离参数可得a在上有2个不同的零点，构造函数，，结合导数及函数的性质即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ - 24 -‎ 故的单调递增区间，单调递减区间；‎ ‎（2）由题意可得在上有2个不同的零点，‎ 即在上有2个不同的零点，‎ 令，，则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 且，时，，，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用.‎ ‎21.已知椭圆：，动直线l与椭圆E交于不同的两点，，且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点.‎ ‎（1）证明：为定值；‎ ‎（2）设线段AB的中点为M，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得到直线的距离，结合△AOB的面积为1，可得，则的值可求，从而说明 - 24 -‎ 为定值；‎ ‎（2）设，当直线的斜率不存在时，，，则|；当直线的斜率存在时，由（1）可得M的坐标，求得，写出，结合转化为关于的二次函数求最值.‎ ‎【详解】（1）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m 代入椭圆方程，得，即 由△AOB的面积为1，可得，‎ 解得：，则；‎ 当直线l的斜率存在，设，‎ 联立，‎ 化简整理可得，‎ 设，，‎ 可得，，‎ ‎，‎ 由△AOB的面积为1，可得，‎ 化简可得，‎ - 24 -‎ 则 ‎，‎ 而，‎ 综上可得，为定值4；‎ ‎（2）设，‎ 当直线的斜率不存在时，，‎ ‎，则|；‎ 当直线的斜率存在时，由（1）可得，‎ ‎，‎ 则，‎ 可得 ‎.‎ ‎∵，∴.‎ 可知.‎ 综上，的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ - 24 -‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；；（2）最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.‎ ‎（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.‎ ‎【详解】（1）直线l的方程是，转换为极坐标方程为，‎ 曲线C的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为，‎ 将代入，得 ‎∴，故.‎ 所以曲线C极坐标方程为.‎ ‎（2）点是曲线C上一点，‎ 所以：，所以，‎ 点是直线l上一点，‎ - 24 -‎ 所以，所以，‎ ‎，‎ 当时，最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知a、b、c∈R+，且.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）最小值为9；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；‎ ‎（2）将不等式左边化简可得，运用柯西不等式即可得证.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴，‎ 又（当且仅当a＝b时取等号），则，‎ ‎∴，即的最小值为9；‎ ‎（2）证明：，‎ - 24 -‎ 由柯西不等式有，（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎