东北三省三校2020年高三联合模拟理科数学试题（解析版）

东北三省三校2020年高三联合模拟理科数学试题（解析版）

‎2020年高考（理科）数学二模试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁UA）∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（　　）‎ A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（　　）‎ A．3 B．‎0 ‎C．﹣3 D．﹣9‎ ‎4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，则m∥β B．若α⊥β，则m⊥β ‎ C．若m∥β，则α∥β D．若m⊥β，则α⊥β ‎5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎6．已知正项等比数列{an}，若向量，则log‎2a1+log‎2a2+…+log‎2a9＝（　　）‎ A．12 B．8+log‎25 ‎C．5 D．18‎ ‎7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑的体积最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设函数f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1，则下列说法中正确的是（　　）‎ A．f（x）关于（0，1）中心对称 ‎ B．f（x）的极小值为 ‎ C．f（x）的最小正周期为π ‎ D．f（x）图象的一条对称轴为 ‎9．已知，则sin（60°+α）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（0，2] D．‎ ‎11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（　　）‎ A．2 B．‎1 ‎C．0 D．﹣1‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为　 　．‎ ‎14．习近平总书记在全军军事学院校长集训开班式上强调贯彻新时代军事教育方针，深化军事院校改革创新，培养德才兼备的高素质专业化新型军事人才要摆在突出位置．为配合总书记精神，安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职，每个军区至少1人，其中李校长必须去甲军区的概率为　 　．‎ ‎15．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝‎3ac，则B＝　 　；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝　 　．‎ ‎16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，4），则点P满足λ＝的阿波罗尼斯圆的方程为　 　．已知点C（﹣2，4），Q为抛物线E：y2＝8x上的动点，点Q在直线x＝﹣2上的射影为H，M为（x+2）2+y2＝4上动点，则|MC|+|QH|+|QM|的最小值为　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．已知数列{an}前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1，数列{bn}为等差数列，a3＝b4，且b2+b5＝b7．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，平面PBD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA＝PC；‎ ‎（Ⅱ）若PB⊥PD，PB＝PD＝，二面角B﹣PC﹣D为120°，求∠ABC的余弦值．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的极小值点；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）为函数y＝f（x）图象上的任意两点，f'（x）为函数f（x）的导函数，求证：．‎ ‎20．N95型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率服从正态分布N（0.97，9.025×10﹣5）．‎ ‎（Ⅰ）当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率为93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你依据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据；‎ ‎（Ⅱ）该厂将空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率达到95.1%以上的N95型口罩定义为“优质品”．‎ ‎①求该企业生产的一只N95型口罩为“优质品”的概率；‎ ‎②该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩相互独立，记X为这1000只口罩中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大（即概率最大）？‎ 参考数据：9.52＝90.25，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆E上任意一点，的最大值为1，点A1为椭圆E的左顶点，△A1PF2的面积最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l与椭圆E交于不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），O为坐标原点，M为AB的中点______．是否存在实数λ，使得|OM|•|AB|≤λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由．‎ 从①△AOB的面积为1，②（其中向量这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．‎ ‎（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣‎4c≥﹣2．‎ 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．‎ 解：因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，‎ ‎∴a＝1+b且2＝b﹣1；‎ 所以：a＝4，b＝3；‎ ‎∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎2．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁UA）∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（　　）‎ A．{1，2，3} B．{1，2，6} C．{1，2} D．{1，2，3，4，5}‎ ‎【分析】根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．‎ 解：因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁UA）∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，‎ 所以：3∈B，6∉B，1，2∈B，4，5∉B，4，5∉A；‎ 故集合B＝{1，2，3}．‎ 故选：A．‎ ‎3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（　　）‎ A．3 B．‎0 ‎C．﹣3 D．﹣9‎ ‎【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．‎ 解：画出的可行域如图：‎ ‎⇒B（6，6）．‎ 令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移至B（6，6）时，直线的纵截距最大，最大为：0．‎ 故选：B．‎ ‎4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，则m∥β B．若α⊥β，则m⊥β ‎ C．若m∥β，则α∥β D．若m⊥β，则α⊥β ‎【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．‎ 解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．‎ 对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．‎ 对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．‎ 对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【分析】根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．‎ 解：由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，‎ 则乙丁有一人说谎，‎ 则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，‎ 进而可以判断丁说了假话．‎ 故选：D．‎ ‎6．已知正项等比数列{an}，若向量，则log‎2a1+log‎2a2+…+log‎2a9＝（　　）‎ A．12 B．8+log‎25 ‎C．5 D．18‎ ‎【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得a2•a8＝16，再根据等比中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．‎ 解：由题意，向量，‎ 则8•2﹣a2•a8＝0，即a2•a8＝16，‎ 根据等比中项的知识，可得a2•a8＝＝16，‎ ‎∵a5＞0，∴a5＝4，‎ ‎∴log‎2a1+log‎2a2+…+log‎2a9‎ ‎＝log2（a‎1a2…a9）‎ ‎＝log2[（a‎1a9）•（a‎2a8）•（a‎3a7）•（a‎4a6）•a5]‎ ‎＝log‎2a59‎ ‎＝9log24‎ ‎＝18．‎ 故选：D．‎ ‎7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑的体积最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知可得a＝2，且截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为r，则r＝1．由三角形面积相等结合基本不等式可得bc的最小值，则鳖臑的体积最小值可求．‎ 解：已知可得，堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长a，则a＝2．‎ 易知，截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为r，则r＝1．‎ 如图可知，‎ 根据三角形面积公式可得：‎ ‎，则2b+‎2c＝bc+2，‎ ‎∵b＞0，c＞0，∴2b+‎2c，当且仅当b＝c时取等号．‎ ‎∴bc+2，即．‎ 解得：0＜或．‎ 又∵内切圆半径r＝1＜b，r＜c，∴＞1．‎ ‎∴，即bc．‎ ‎∴鳖臑的体积为V＝．‎ 故选：C．‎ ‎8．设函数f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1，则下列说法中正确的是（　　）‎ A．f（x）关于（0，1）中心对称 ‎ B．f（x）的极小值为 ‎ C．f（x）的最小正周期为π ‎ D．f（x）图象的一条对称轴为 ‎【分析】借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．‎ 解：对于A选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中心对称，‎ 其次f（x）+f（﹣x）＝2cosx+2不恒等于2，所以A错误；‎ 对于B选项，∵f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1∴f′（x）＝cosx﹣sinx+cos2x，令f′（x）＝0有sinx＝cosx或sinx+cosx＝﹣1．‎ 当sinx＝cosx＝±时，有f（x）＝±+，‎ 当sinx+cosx＝﹣1时，两边平方可得1+2sinxcosx＝1，sinxcosx＝0，此时f（x）＝sinx+cosx+sinxcosx+1＝0，‎ 所以f（x）的极小值不可能为﹣，所以B错误；‎ 对于C选项，f（x+π）＝﹣sinx﹣cosx+sinxcosx+1≠f（x），所以π不是f（x）的最小正周期，所以C错误；‎ 对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos（）+1＝cosx+sinx+sinxcosx+1＝f（x），‎ ‎∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的一条对称轴为x＝，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎9．已知，则sin（60°+α）的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三角恒等变换求出sin（15°﹣）的值，再利用二倍角求出cos（30°﹣α），用诱导公式求出sin（60°+α）的值．‎ 解：由 ‎＝﹣tan10°‎ ‎＝﹣tan10°‎ ‎＝，‎ 所以cos（30°﹣α）＝1﹣2sin2（15°﹣）‎ ‎＝1﹣2×‎ ‎＝，‎ 所以sin（60°+α）＝cos（30°﹣α）＝．‎ 故选：A．‎ ‎10．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（0，2] D．‎ ‎【分析】如图所示，设＝，＝，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．‎ 解：如图所示，设＝，＝，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，此时，则||＝，‎ 而||没有最大值，‎ 故则的取值范围为[，+∞），‎ 故选：D．‎ ‎11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．‎ 解：双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，‎ 可知MAOB是正方形，MO＝，所以双曲线的实半轴长的最大值为，‎ 所以a∈．‎ 故选：B．‎ ‎12．已知函数，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（　　）‎ A．2 B．‎1 ‎C．0 D．﹣1‎ ‎【分析】依题意，转化可得函数与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F（x）为偶函数，利用导数研究函数F（x）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a的取值范围，进而得到n的最大值．‎ 解：令，则，‎ 依题意，函数与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，‎ 易知函数F（x）为偶函数，故先研究x≥0时的情况，‎ 当x≥0时，，令F′（x）＜0，解得0≤x＜2，令F′（x）＞0，解得x＞2，‎ 故函数F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F（x）极小值＝F（2）＝ln2，‎ 由偶函数的对称性，可作出函数F（x）的图象，如下图所示，‎ 由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，‎ ‎∴n的最大值为2．‎ 故选：A．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．‎ ‎13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为　700　．‎ ‎【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．‎ 解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．‎ 由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．‎ 设我校高三年级的学生人数为N，再根据＝，求得N＝700，‎ 故答案为：700．‎ ‎14．习近平总书记在全军军事学院校长集训开班式上强调贯彻新时代军事教育方针，深化军事院校改革创新，培养德才兼备的高素质专业化新型军事人才要摆在突出位置．为配合总书记精神，安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职，每个军区至少1人，其中李校长必须去甲军区的概率为　　．‎ ‎【分析】基本事件总数n＝＝36，其中李校长必须去甲军区包含的基本事件总数m＝＝12，由此能求出李校长必须去甲军区的概率．‎ 解：安排了四位校长到甲、乙、丙三大军区挂职，每个军区至少1人，‎ 基本事件总数n＝＝36，‎ 其中李校长必须去甲军区包含的基本事件总数m＝＝12，‎ ‎∴李校长必须去甲军区的概率为p＝．‎ 故答案为：．‎ ‎15．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝‎3ac，则B＝　　；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝　　．‎ ‎【分析】（l）利用余弦定理容易求出B的大小；‎ ‎（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．‎ 解：（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝‎3ac，‎ 化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cosB＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝；‎ ‎（2）做出图形如下：‎ 由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABD＝﹣α，∠C＝α，所以A＝﹣α，‎ 在△ABD中由正弦定理得，‎ 将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．‎ ‎∴A＝，C＝，易得AB＝．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎16．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），B（0，4），则点P满足λ＝的阿波罗尼斯圆的方程为　x2+y2＝4　．已知点C（﹣2，4），Q为抛物线E：y2＝8x上的动点，点Q在直线x＝﹣2上的射影为H，M为（x+2）2+y2＝4上动点，则|MC|+|QH|+|QM|的最小值为　　．‎ ‎【分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹．‎ ‎（2）先利用阿氏圆的定义将转化为M点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得|MC|+|QH|+|QM|的最小值．‎ 解：设P（x，y），由题意可得：＝，即＝，整理可得：x2+y2＝4．‎ 做出图象如右：设圆（x+2）2+y2＝4是动点M（x，y）到C（﹣2，4）与到定点D（﹣2，m）的距离比为2的阿氏圆．‎ 所以，化简得 则m﹣1＝0，所以m＝1，故D（﹣2，1），∴，结合抛物线定义|QH|＝|QF|，‎ ‎∴|MC|+|QH|+|QM＝|MD|+|QM|+|QF|≥|FD|（当且仅当D，M，Q，F四点共线，且Q，M在D，F之间时取等号），‎ 此时|FD|＝．‎ 故|MC|+|QH|+|QM|的最小值为．‎ 故答案为：x2+y2＝4，．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．已知数列{an}前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1，数列{bn}为等差数列，a3＝b4，且b2+b5＝b7．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先由题设条件得出数列{an}为等比数列，然后求出an与bn；‎ ‎（Ⅱ）先根据第（1）题的结果计算出cn，然后运用裂项相消法计算前n项和Tn．‎ 解：（Ⅰ）∵数列{an}前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1①，∴当n≥2时有Sn﹣1＝an﹣1②，‎ 由①﹣②可得：an＝an+1﹣an，即an+1＝2an，又当n＝1时，有S1＝a2﹣1＝1⇒a2＝2＝‎2a1也适合，‎ ‎∴an+1＝2an，即数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a．‎ 设等差数列{bn}的公差为d，∵a3＝b4，且b2+b5＝b7，∴解得：‎ ‎∴bn＝b4+（n﹣4）d＝n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a，bn＝n，∴＝＝．‎ ‎∴Tn＝（）+（）+（）+…+（）+（ ）＝＝．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，平面PBD⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA＝PC；‎ ‎（Ⅱ）若PB⊥PD，PB＝PD＝，二面角B﹣PC﹣D为120°，求∠ABC的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由面面垂直的性质可得AC⊥平面PBD，进而得到AC⊥PO，又AO＝OC，故PA＝PC；‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设C（0，t，0）（t＞0），求出两个平面的法向量，根据已知条件建立关于t的方程，解方程求得t，进而求得所求余弦值．‎ 解：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O，‎ ‎∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AC⊥BD，‎ ‎∴AC⊥平面PBD，‎ ‎∵PO在平面PBD内，‎ ‎∴AC⊥PO，‎ ‎∵AO＝OC，‎ ‎∴PA＝PC；‎ ‎（Ⅱ）∵PB＝PD，BO＝OD，‎ ‎∴PO⊥BD，‎ 又平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ 菱形ABCD中，OB⊥OC，故OB，OC，OP两两互相垂直，‎ 以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 在等腰三角形PBD中，记，‎ ‎∴B（1，0，0），P（0，0，1），D（﹣1，0，0），设C（0，t，0）（t＞0），‎ 设平面BPC的一个法向量为，则，可取，‎ 同理可得平面PCD的法向量，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴在Rt△OBC中，，故，‎ ‎∴．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的极小值点；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）为函数y＝f（x）图象上的任意两点，f'（x）为函数f（x）的导函数，求证：．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求导可得，令f′（x）＝0，可知其有一个正根，进而得到函数f（x）的单调性情况，由此求得极小值；‎ ‎（Ⅱ）计算可知，原命题即证，齐次化可得，再通过换元思想令，进一步等价于证明，构造函数，再利用导数求得函数h（t）＞0在（1，+∞）上恒成立即可得证．‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＝0，解得，‎ 易知当x∈（0，x4）时，f′（x）＜0，当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）在（0，x4）单调递减，在（x4，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）的极小值点为；‎ ‎（Ⅱ）证明：，，‎ ‎∴等价于，即证，‎ 令，即证，‎ 令，则，‎ ‎∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）＝0，‎ ‎∴，原命题得证．‎ ‎20．N95型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率服从正态分布N（0.97，9.025×10﹣5）．‎ ‎（Ⅰ）当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率为93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你依据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据；‎ ‎（Ⅱ）该厂将空气动力学直径≥0.3μm的颗粒的过滤效率达到95.1%以上的N95型口罩定义为“优质品”．‎ ‎①求该企业生产的一只N95型口罩为“优质品”的概率；‎ ‎②该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩相互独立，记X为这1000只口罩中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大（即概率最大）？‎ 参考数据：9.52＝90.25，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用3σ原则，当样本点数据出现在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外时，就认为生产异常．‎ ‎（Ⅱ）由①求出成功概率，然后第②问看成一个独立重复实验，则口罩优质品数服从二项分布，根据P（Y＝k）先增大后减少的规律列出不等式组即可．‎ 解：（Ⅰ）由已知过滤效果服从N（0.97，90.25×10﹣6），σ2＝（9.5×10﹣3）2，∴σ＝9.5×10﹣3＝0.0095，则0.936＜0.97﹣0.0095×3＝0.9415，‎ 由3σ原则可知，生产的口罩出现过滤效果在3σ以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产．‎ ‎（Ⅱ）①令Y＝事件“N95口罩的过滤效果”，则一只口罩为“优质品”的概率为：‎ P（Y＞0.951）＝P（Y＞0.97﹣2×0.0095）＝1﹣．‎ ‎②依题意X～B（1000，0.9772），记n＝1000，p＝0.9772．‎ P（X＝k）＝，要使可能性最大，只需 ‎，整理得，‎ 所以1001p﹣1≤k≤1001p，‎ ‎∴k＝978．‎ ‎∴当X为978件时可能性最大．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆E上任意一点，的最大值为1，点A1为椭圆E的左顶点，△A1PF2的面积最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l与椭圆E交于不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），O为坐标原点，M为AB的中点______．是否存在实数λ，使得|OM|•|AB|≤λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由．‎ 从①△AOB的面积为1，②（其中向量这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 ‎【分析】（Ⅰ）先由的最大值为1⇒b2＝1，再由△A1PF2的面积最大值为⇒a2＝4，从而求出椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）先设出直线l的方程，再与椭圆E的方程联立，求出|AB|、点O到直线l的距离d，接着求出△AOB的面积的关系式，进而得到变量之间的关系，最后解决λ的存在性与最值问题．‎ 解：（Ⅰ）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则，x0∈[﹣a，a]‎ ‎＝（﹣c﹣x0，﹣y0），＝（c﹣x0，﹣y0），‎ ‎＝x02+y02﹣c2＝，x0∈[﹣a，a]，‎ ‎∴当x0＝±a 时，（）max＝b2＝1．又S＝|y0|‎ ‎，‎ 又a2＝b2+c2，可解得：a＝2，b＝1，c＝．‎ 所以椭圆E的方程为．‎ ‎（Ⅱ）当选择①时，假设存在实数λ，使得|OM|•|AB|≤λ恒成立．‎ 设动直线l：x＝ky+t，由联立可得：（4+k2）y2+2kty+t2﹣4＝0．‎ ‎，M（，）．∵|AB|＝＝，‎ 点O到直线l：x＝ky+t的距离d＝，∴S△ABO＝|AB|×d＝＝1，整理得：‎ ‎∵|OM|•|AB|＝•＝，令4+k2＝m≥4，则＝2，m≥4．‎ ‎ 令y＝，m≥4，则y′＝，令y′＝0⇒m＝，y在[4，]单调递增，在[，+∞）单调递减，故当m＝也即k2＝时，‎ ymax，（|OM|•|AB|）max＝．‎ 又|OM|•|AB|≤λ恒成立，所以．故存在λ，使得|OM|•|AB|≤λ恒成立，且λ的最小值为．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ 解：（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，‎ 曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，‎ 所以：，所以，‎ 点是直线l上一点，‎ 所以，所以＝，‎ ‎＝＝，当时，最大值为．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．‎ ‎（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣‎4c≥﹣2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；‎ ‎（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣‎4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．‎ 解：（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，‎ ‎∴＝＝，‎ 又（当且仅当a＝b时取等号），则，‎ ‎∴＝，即的最小值为9；‎ ‎（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣‎4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，‎ 由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a＝b﹣1＝c﹣2时取等号），‎ ‎∴，‎ 又a+b+c＝6，‎ ‎∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣‎4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c ‎＝3时取等号）．‎