2018届二轮复习选考系列：不等式的证明学案（全国通用）

2018届二轮复习选考系列：不等式的证明学案（全国通用）

不等式的证明 ‎【考点梳理】‎ ‎1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎2．不等式证明的方法 ‎(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.‎ 名称 作差比较法 作商比较法 理论依据 a＞b⇔a－b＞0 ‎ a＜b⇔a－b＜0‎ a＝b⇔a－b＝0‎ b＞0，＞1⇒a＞b ‎ b＜0，＞1⇒a＜b ‎(2)综合法与分析法 ‎①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．‎ ‎②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、比较法证明不等式 ‎【例1】已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.‎ ‎[解析] 法一：－(＋)‎ ‎＝＋＝＋ ‎＝＝≥0，‎ ‎∴＋≥＋.‎ 法二：由于＝ ‎＝＝－1≥－1＝1.‎ 又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)．‎ ‎2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．‎ ‎【对点训练】‎ 设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b).‎ ‎[解析] 因为a2＋b2－(a＋b)‎ ‎＝(a2－a)＋(b2－b)‎ ‎＝a(－)＋b(－)‎ ‎＝(－)(a－b)‎ ‎＝.‎ 因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有与同号，所以≥0，‎ 所以a2＋b2≥(a＋b).‎ 考点二、综合法证明不等式 ‎【例2】设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ ‎[解析] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 则＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数 定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．‎ ‎2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．‎ ‎【对点训练】‎ 已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ ‎[解析] (1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；‎ 当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 因为＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c).‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”)‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎ 考点三、分析法证明不等式 ‎【例3】设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ ‎[解析] (1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，‎ 欲证＋＞＋，‎ 只需证明(＋)2＞(＋)2，‎ 也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，‎ 只需证明＞，即证ab＞cd.‎ 由于ab＞cd，‎ 因此＋＞＋.‎ ‎(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 由(1)，得＋>＋.‎ ‎②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，‎ 即a＋b＋2>c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.‎ 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|<|c－d|.‎ 综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方 证明．‎ ‎2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法 寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．‎ ‎3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：‎ →→→…→ ‎【对点训练】‎ 已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a.‎ ‎[解析] 要证＜a，只需证b2－ac＜3a2.‎ ‎∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，‎ 只需证2a2－ab－b2＞0，‎ 只需证(a－b)(2a＋b)＞0，‎ 只需证(a－b)(a－c)＞0.‎ ‎∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0，‎ ‎∴(a－b)(a－c)＞0显然成立，‎ 故原不等式成立.‎