四川省宜宾市叙州区第二中学2020届高三一诊模拟数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学2020届高三一诊模拟数学（理）试题

四川省叙州区第二中学高2020届一诊模拟考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．已知全集为，集合，，则元素个数为 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎2．设，则 ‎ A．0 B．‎1 ‎C． D．3‎ ‎3．已知，是两个不重合的平面，直线，，，则是的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知函数，则 ‎ A． B． C． D．5‎ ‎5．设，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下图可能是下列哪个函数的图像 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知曲线，，则下面结论正确的是 ‎ A．把曲线向右平移个长度单位得到曲线 B．把曲线向左平移个长度单位得到曲线 C．把曲线向左平移个长度单位得到曲线 D．把曲线向右平移个长度单位得到曲线 ‎8．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．‎2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知的最大值为，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知随机变量服从正态分布且，则 ‎_____________‎ ‎14．若二项式的展开式中的常数项为，则______.‎ ‎15．如图，求一个棱长为的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体 截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体，其三对棱长分别为，则此四面体的体积为_______；‎ ‎16．在四边形中，已知是边上的点，且，，若点在线段上，则的取值范围是______.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（12分）‎ 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．‎ ‎(1) 求和的值； (2) 求的值．‎ ‎18．（12分）某教师为了分析所任教班级某次考试的成绩，将全班同学的成绩作成统计表和频率分布直方图如下：‎ 分组 频数 频率 ‎[50，60)‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎[60，70)‎ m ‎0.10‎ ‎[70，80)‎ ‎13‎ n ‎[80，90)‎ p q ‎[90，100]‎ ‎9‎ ‎0.18‎ 总计 t ‎1‎ ‎(1)求表中t，q及图中a的值；‎ ‎(2)该教师从这次考试成绩低于70分的学生中随机抽取3人进行谈话，设X表示所抽取学生中成绩低于60分的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）在斜三棱柱中，侧面平面，，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在侧棱上确定一点，使得二面角的大小为．‎ ‎20．（12分）已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足 ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最小值.‎ ‎21．（12分）已知函数，.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：函数有两个不相等的零点，，且.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ ‎（l）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ 四川省叙州区第二中学高2020届一诊模拟考试 理科数学试题参考答案 ‎1．B 2．B 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B ‎13．0.76 14．124 15．2 16．‎ ‎17．（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.‎ ‎（2）,‎ ‎18．解：(1)由表格可知，全班总人数t＝＝50，则m＝50×0.10＝5，n＝＝0.26，所以a＝＝0.026，3＋5＋13＋9＋p＝50，‎ 即p＝20，所以q＝＝0.4.‎ ‎(2)成绩在[50，60)内的有3人，[60，70)内的有5人．‎ 由题意得X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝k)＝，所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.‎ 随机变量X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎19．（1）证：∵面面，,∴面，即有；‎ 又，为中点，则.∴面.‎ ‎（2）如图所示 以点为坐标系原点，为轴，过C点平行于AB的直线为y轴,CA1为轴，‎ 建立空间直角坐标系，则有，，，，，‎ 设，且，即有，‎ 所以点坐标为.‎ 由条件易得面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由可得，‎ 令，则有，‎ 则 ，得.‎ 所以，当时，二面角的大小为.‎ ‎20．解：（1） 设，由题意得：，由，可得点是的中点，‎ 故，所以，又因为点在圆上，所以得，‎ 故动点的轨迹方程为.‎ ‎（2）设，则，且，‎ 当时，，此时；当时，‎ 因为,即 故，，‎ ‎，‎ ‎①，‎ 代入①‎ ‎ ‎ 设 ‎ 因为恒成立， 在上是减函数，‎ 当时有最小值，即,综上：的最小值为 ‎21．（1）当时，，得，‎ 令，得或.‎ 当时，，，所以，故在上单调递减；‎ 当时，，，所以，故在上单调递增；‎ 当时，，，所以，故在上单调递减；‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）证明：由题意得，其中，‎ 由得，由得，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∵，， ，‎ ‎∴函数有两个不同的零点，且一个在内，另一个在内.‎ 不妨设，，‎ 要证，即证，‎ 因为，且在上是增函数，‎ 所以，且，即证.‎ 由，得 ，‎ 令 ，，‎ 则 .‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴时，，即在上单调递减，‎ ‎∴，且∴，，‎ ‎∴，即∴，故得证.‎ ‎22．（1）直线的极坐标方程为即，‎ 因为为参数，若，代入上式得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由，得，‎ 由，代入，得 ‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，‎ 得.（*）‎ 则且，，‎ 设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.‎ 则，，，‎ 由题设得.‎ 则有，得或.因为，所以 ‎23：（1）因为，‎ 所以当时，由得；‎ 当时，由得；‎ 当时，由得.‎ 综上，的解集为.‎ ‎（2）（方法一）由得，‎ 因为，当且仅当取等号，‎ 所以当时，取得最小值5，‎ 所以当时，取得最小值5，‎ 故，即的取值范围为.‎ ‎（方法二）设，则，当时，取得最小值5，‎ 所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.‎