2018年全国统一招生考试最新高考信息卷（四）高中数学（文）Word版含解析

2018年全国统一招生考试最新高考信息卷（四）高中数学（文）Word版含解析

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2018年最新高考信息卷 文 科 数 学（四）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵复数对应的点是，∴，∴复数的共轭复数．故选D．‎ ‎2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，，当时，，‎ 所以，，故选B．‎ ‎3．若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点时，直线的纵截距最小，所以的最小值为．故选B．‎ ‎4．已知函数，，则函数的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于函数，当时，，所以，同理当时，，所以函数是偶函数．令，所以，所以函数是偶函数，所以排除B，D．‎ 当时，，，．故选A．‎ ‎5．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在，其中支出金额在的学生有人，频率分布直方图如图所示，则（ ）‎ A．180 B．160 C．150 D．200‎ ‎【答案】A ‎【解析】对应的概率为，所以．故选A．‎ ‎6．三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角满足，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得，，．设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，所以飞镖落在小正方形内的概率是，故选A．‎ ‎7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，表示的就是上半圆上的点到直线的距离，画图由数形结合可以得到，故选C．‎ ‎8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过，，三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先作出经过，，三点所在的平面，可以取上一点，使，则平行四边形就是过，，三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A．故选A．‎ ‎9．已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得，，．‎ 所以切线方程为，即，，，（当且仅当，时取等号）．‎ 故选D．‎ ‎10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到，与函数图象重合，则：，，解得：，，当时，，故选C．‎ ‎11．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】假设点在双曲线的右支上，由题得，，，，所以最短边是，最小角为．‎ 由余弦定理得，．，，，，，．，所以双曲线的渐近线方程为．‎ 故选B．‎ ‎12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前项的和为（ ）‎ A．2448 B．2525 C．2533 D．2652‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，‎ ‎，‎ 是周期为的函数，且，，，，‎ ‎．‎ 故选B．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知向量，满足，，，，则，的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得，因为，所以，，，．故填．‎ ‎14．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的周长的最大值为____________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】如图所示设椭圆的左焦点为，‎ ‎，则，∵，‎ ‎∴的周长，当且仅当三点，，共线时取等号．∴的周长最大值等于．故答案为．‎ ‎15．在三棱锥中，，，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，，，∴，即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为．‎ 故答案为．‎ ‎16．已知，，关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，令，，，所以在单调递减，在上单调递增，且，因为不等式有且只有两个整数解，则只需满足，即可，所以．故填．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）如图，中为钝角，过点作，交于，已知，．‎ ‎（1）若，求的大小；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）在中，由正弦定理得，，‎ 解得，又为钝角，则，故．‎ ‎（2）设，则．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 在中由余弦定理得，，‎ ‎∴，解得，故．‎ ‎18．（12分）某养殖的水产品在临近收获时，工人随机从水中捕捞只，其质量分别在，，，，，（单位：克），经统计分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求这组数据的众数；‎ ‎（2）现按分层抽样从质量为，的水产品中随机抽取只，在从这只中随机抽取只，求这只水产品恰有只在内的概率；‎ ‎（3）某经销商来收购水产品时，该养殖场现还有水产品共计约只要出售，经销商提出如下两种方案：‎ 方案：所有水产品以元/只收购；‎ 方案：对于质量低于克的水产品以元/只收购，不低于克的以元/只收购，‎ 通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）该样本的众数为．‎ ‎（2）抽取的只水产品中，质量在和内的分别有只和只．‎ 设质量在内的只水产品分别为，，，，质量在内的只水产品分别为，．从这6只水产品中选出3只的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计种，‎ 其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，共计种，‎ 因此概率．‎ ‎(3)方案：元；‎ 方案：低于克：元，不低于克：元，‎ 总计元．‎ 由，故方案获利更多，应选方案．‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱、的中点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）连接，由直三棱柱知，‎ ‎∵，又有，∴平面，‎ ‎∵，分别为，的中点，则，‎ ‎∴平面，∴，‎ ‎∵，所以，，‎ ‎∴平面，∴．‎ ‎（2）设点到平面的距离为，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴平面，由知，，‎ 很明显是边长为的等边三角形，其面积为，‎ 即，解得．∴点到平面的距离为．‎ ‎20．（12分）直线与抛物线交于，两点，且，其中为原点．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）当时，过，分别作的切线相交于点，点是抛物线上在，之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，，求与的面积比．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设，，将代入，得．‎ 其中，，．‎ 所以，．‎ 由已知，，．所以抛物线的方程．‎ ‎（2）当时，，，‎ 易得抛物线在，处的切线方程分别为和．从而得．‎ 设，则抛物线在处的切线方程为，‎ 设直线与轴交点为，则．‎ 由和联立解得交点，‎ 由和联立解得交点，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以与的面积比为．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，对任意，恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）的定义域为，，当时，由，得；由，得，∴在上递减，在上递增．‎ ‎(2)∵函数在处取得极值，‎ ‎∴，则，从而，．‎ 因此，对任意，恒成立‎⇔‎对任意，恒成立，令，则，‎ 令，得，则在上递减，在上递增，‎ ‎∴，即，故实数的最大值是．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线l交于点，，求的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，得圆的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入圆的方程可得：，‎ 整理得：．∴，．‎ 根据参数方程的几何意义，由题可得：‎ ‎．‎ ‎23．（10分）【选修4-5不等式选讲】‎ 已知，．‎ ‎（1）若且的最小值为，求的值；‎ ‎（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）(当时，等号成立），‎ ‎∵的最小值为，∴，∴或，又，∴．‎ ‎（2）由得，，∵，‎ ‎∴，，‎ 即，且，‎ 且．‎