2018年全国统一招生考试最新高考信息卷(四)高中数学(文)Word版含解析

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文档介绍

2018年全国统一招生考试最新高考信息卷(四)高中数学(文)Word版含解析

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2018年最新高考信息卷 文 科 数 学(四)‎ 注意事项:‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知在复平面内,复数对应的点是,则复数的共轭复数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵复数对应的点是,∴,∴复数的共轭复数.故选D.‎ ‎2.等比数列的前项和为,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,,当时,,‎ 所以,,故选B.‎ ‎3.若实数,满足约束条件,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.不存在 ‎【答案】B ‎【解析】由题得,不等式组对应的区域为如图所示的开放区域(阴影部分),当直线经过点时,直线的纵截距最小,所以的最小值为.故选B.‎ ‎4.已知函数,,则函数的大致图象是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于函数,当时,,所以,同理当时,,所以函数是偶函数.令,所以,所以函数是偶函数,所以排除B,D.‎ 当时,,,.故选A.‎ ‎5.为了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取了个同学进行调查,结果显示这些学生的支出金额(单位:元)都在,其中支出金额在的学生有人,频率分布直方图如图所示,则( )‎ A.180 B.160 C.150 D.200‎ ‎【答案】A ‎【解析】对应的概率为,所以.故选A.‎ ‎6.三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,其中直角三角形中较小的锐角满足,现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得,,.设直角三角形较短的直角边为,较长的直角边为,斜边为,则小正方形的边长为,所以飞镖落在小正方形内的概率是,故选A.‎ ‎7.如图所示的一个算法的程序框图,则输出d的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先读懂程序框图,由程序框图得,表示的就是上半圆上的点到直线的距离,画图由数形结合可以得到,故选C.‎ ‎8.如图,点在正方体的棱上,且,削去正方体过,,三点所在的平面下方部分,则剩下部分的左视图为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先作出经过,,三点所在的平面,可以取上一点,使,则平行四边形就是过,,三点所在的平面(两个平行的平面被第三个平面所截交线平行),所以剩下部分的三视图是A.故选A.‎ ‎9.已知函数在点处的切线为,动点在直线上,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得,,.‎ 所以切线方程为,即,,,(当且仅当,时取等号).‎ 故选D.‎ ‎10.设,函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合,则的最小值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象向右平移个单位长度后,得到,与函数图象重合,则:,,解得:,,当时,,故选C.‎ ‎11.设,是双曲线的两个焦点,是上一点,若,且的最小内角的大小为,则双曲线的渐近线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】假设点在双曲线的右支上,由题得,,,,所以最短边是,最小角为.‎ 由余弦定理得,.,,,,,.,所以双曲线的渐近线方程为.‎ 故选B.‎ ‎12.已知数列满足对时,,且对,有,则数列的前项的和为( )‎ A.2448 B.2525 C.2533 D.2652‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得,‎ ‎,‎ 是周期为的函数,且,,,,‎ ‎.‎ 故选B.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13.已知向量,满足,,,,则,的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得,因为,所以,,,.故填.‎ ‎14.已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点,点,当点在椭圆上运动时,的周长的最大值为____________.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】如图所示设椭圆的左焦点为,‎ ‎,则,∵,‎ ‎∴的周长,当且仅当三点,,共线时取等号.∴的周长最大值等于.故答案为.‎ ‎15.在三棱锥中,,,,当三梭锥的体积最大时,其外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,,,∴,即为直角三角形,当面时,三梭锥的体积最大,又∵,外接圆的半径为,故外接球的半径满足,∴外接球的表面积为.‎ 故答案为.‎ ‎16.已知,,关于的不等式有且只有两个整数解,则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,则,令,,,所以在单调递减,在上单调递增,且,因为不等式有且只有两个整数解,则只需满足,即可,所以.故填.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(12分)如图,中为钝角,过点作,交于,已知,.‎ ‎(1)若,求的大小;‎ ‎(2)若,求的长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)在中,由正弦定理得,,‎ 解得,又为钝角,则,故.‎ ‎(2)设,则.‎ ‎∵,∴,∴.‎ 在中由余弦定理得,,‎ ‎∴,解得,故.‎ ‎18.(12分)某养殖的水产品在临近收获时,工人随机从水中捕捞只,其质量分别在,,,,,(单位:克),经统计分布直方图如图所示.‎ ‎(1)求这组数据的众数;‎ ‎(2)现按分层抽样从质量为,的水产品中随机抽取只,在从这只中随机抽取只,求这只水产品恰有只在内的概率;‎ ‎(3)某经销商来收购水产品时,该养殖场现还有水产品共计约只要出售,经销商提出如下两种方案:‎ 方案:所有水产品以元/只收购;‎ 方案:对于质量低于克的水产品以元/只收购,不低于克的以元/只收购,‎ 通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多?‎ ‎【答案】(1);(2);(3)见解析.‎ ‎【解析】(1)该样本的众数为.‎ ‎(2)抽取的只水产品中,质量在和内的分别有只和只.‎ 设质量在内的只水产品分别为,,,,质量在内的只水产品分别为,.从这6只水产品中选出3只的情况共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共计种,‎ 其中恰有一个在内的情况有,,,,,,,,,,,共计种,‎ 因此概率.‎ ‎(3)方案:元;‎ 方案:低于克:元,不低于克:元,‎ 总计元.‎ 由,故方案获利更多,应选方案.‎ ‎19.(12分)如图,在直三棱柱中,,,,分别是棱、的中点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)连接,由直三棱柱知,‎ ‎∵,又有,∴平面,‎ ‎∵,分别为,的中点,则,‎ ‎∴平面,∴,‎ ‎∵,所以,,‎ ‎∴平面,∴.‎ ‎(2)设点到平面的距离为,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴平面,由知,,‎ 很明显是边长为的等边三角形,其面积为,‎ 即,解得.∴点到平面的距离为.‎ ‎20.(12分)直线与抛物线交于,两点,且,其中为原点.‎ ‎(1)求此抛物线的方程;‎ ‎(2)当时,过,分别作的切线相交于点,点是抛物线上在,之间的任意一点,抛物线在点处的切线分别交直线和于点,,求与的面积比.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)设,,将代入,得.‎ 其中,,.‎ 所以,.‎ 由已知,,.所以抛物线的方程.‎ ‎(2)当时,,,‎ 易得抛物线在,处的切线方程分别为和.从而得.‎ 设,则抛物线在处的切线方程为,‎ 设直线与轴交点为,则.‎ 由和联立解得交点,‎ 由和联立解得交点,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以与的面积比为.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数在处取得极值,对任意,恒成立,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)的定义域为,,当时,由,得;由,得,∴在上递减,在上递增.‎ ‎(2)∵函数在处取得极值,‎ ‎∴,则,从而,.‎ 因此,对任意,恒成立‎⇔‎对任意,恒成立,令,则,‎ 令,得,则在上递减,在上递增,‎ ‎∴,即,故实数的最大值是.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(10分)【选修4-4坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆与直线l交于点,,求的大小.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由,得圆的直角坐标方程为:.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入圆的方程可得:,‎ 整理得:.∴,.‎ 根据参数方程的几何意义,由题可得:‎ ‎.‎ ‎23.(10分)【选修4-5不等式选讲】‎ 已知,.‎ ‎(1)若且的最小值为,求的值;‎ ‎(2)不等式的解集为,不等式的解集为,,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)(当时,等号成立),‎ ‎∵的最小值为,∴,∴或,又,∴.‎ ‎(2)由得,,∵,‎ ‎∴,,‎ 即,且,‎ 且.‎
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