2020-2021年新高三数学一轮复习训练：函数的概念与表示
2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：函数的概念与表示
求函数的定义域
(1)(2019·深圳模拟)函数 y＝ －x2－x＋2
ln x 的定义域为( )
A.(－2，1) B.[－2，1]
C.(0，1) D.(0，1]
(2)(2019·山西名校联考)设函数 f(x)＝lg(1－x)，则函数 f[f(x)]的定义域为( )
A.(－9，＋∞) B.(－9，1)
C.[－9，＋∞) D.[－9，1)
解析 (1)要使函数有意义，则
－x2－x＋2≥0，
ln x≠0，
解得
－2≤x≤1，
x>0且x≠1.
∴函数的定义域是(0，1).
(2)易知 f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]，
则
1－x>0，
1－lg（1－x）>0，解得－9
0)，且 f[f(x)]＝4x－3，则 f(2)＝________；
(2)若 f(x)满足 2f(x)＋f(－x)＝3x，则 f(x)＝________.
解析 (1)易知 f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b，
∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)，
因此
a2＝4，
ab＋b＝3，解得
a＝2，
b＝1.
所以 f(x)＝2x－1，则 f(2)＝3.
(2)因为 2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将 x 用－ x 替换，得 2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得 f(x)＝3x.
答案 (1)3 (2)3x[
分段函数
(1)(2019·合肥模拟)已知函数 f(x)＝
x＋ 1
x－2，x>2，
x2＋2，x≤2，
则 f[f(1)]＝( )
A.－1
2 B.2 C.4 D.11
(2)已知函数 f(x)＝
（1－2a）x＋3a，x<1，
2x－1，x≥1
的值域为 R，则实数 a 的取值范围是________.
解析 (1)由题意知 f(1)＝12＋2＝3，
因此 f[f(1)]＝f(3)＝3＋ 1
3－2＝4.
(2)当 x≥1 时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数 f(x)＝
（1－2a）x＋3a，x<1，
2x－1，x≥1
的值域为 R，
∴当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则
1－2a>0，
1－2a＋3a≥1，解得0≤a<1
2.
答案 (1)C (2)
0，1
2
1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大
于 6 时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函
数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( )
A.y＝
x
10 B.y＝
x＋3
10
C.y＝
x＋4
10 D.y＝
x＋5
10
2.设 f(x)＝
x，00，则实数 a 的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4.具有性质：f
1
x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：
①y＝x－1
x；②y＝ln 1－x
1＋x；③y＝
x，01.
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①
5.设函数 f(x)＝
－x＋λ，x<1（λ∈R），
2x，x≥1，
若对任意的 a∈R 都有 f[f(a)]＝2f(a)成立，则 λ 的取值范围是( )
A.(0，2] B.[0，2]
C.[2，＋∞) D.(－∞，2)
6.已知函数 f(x)满足 f
2
x＋|x| ＝log2 x|x|，则 f(x)的解析式是________.
7.设 f(x)＝
2ex－1，x＜2，
log3（x2－1），x≥2，则 f(f(1))＝________；不等式 f(x)＞2 的解集为________.
8. (多选题)已知定义域内的函数 f(x)满足：f(f(x))－x>0 恒成立，则 f(x)的解析式不可能是( )
A.f(x)＝2 019
x B.f(x)＝ex
C.f(x)＝x2 D.f(x)＝lg 1＋x2
9.函数 f(x)＝ln
1＋1
x ＋ 1－x2的定义域为________.
10.已知函数 f(x)满足 f
1
x ＋1
xf(－x)＝2x(x≠0)，则 f(－2)＝________.
11.下列四个结论中，正确的命题序号是________.
①f(x)＝|x|
x 与 g(x)＝
1，x≥0，
－1，x<0，表示同一函数；
②函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个；
③f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一函数；
④若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f
f
1
2 ＝0.
12.设函数 f(x)＝
2x，x≤0，
|log2x|，x>0，则使 f(x)＝1
2的 x 的集合为________.
13.根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f (x)＝
c
x，x0， 则 f (f (0))的值为________；方程 f (－x)＝1 的解是________．
14.函数 f(x)＝ 4－4x＋ln(x＋4)的定义域为________.
15.已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1，4)，则 a＝________.
拓展练
1.答案 B
解析 代表人数与该班人数的关系是除以10 的余数大于 6，即大于等于 7 时要增加一名，故 y
＝
x＋3
10 .
2.答案 C
解析 由已知得 00 时，不等式 a[f(a)－f(－a)]>0 等价于 a2－2a>0，解得 a>2.
当 a<0 时，不等式 a[f(a)－f(－a)]>0 等价于 a2＋2a>0，解得 a<－2.
综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
4.答案 B
解析 对于①，f(x)＝x－1
x，f
1
x ＝1
x－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln 1－x
1＋x，则 f
1
x ＝
ln x－1
x＋1≠－f(x)，不满足；
对于③，f
1
x ＝
1
x，0<1
x<1，
0，1
x＝1，
－x，1
x>1，
即 f
1
x ＝
1
x，x>1，
0，x＝1，
－x，00，所以 f
1
x ＝log2x，则 f(x)＝log2
1
x＝－log2x.
7.答案 1 (1，2)∪( 10，＋∞)
解析 f(1)＝2e0＝2，f(f(1))＝f(2)＝log3(4－1)＝1.当 x＜2 时，f(x)＞2 即 ex－1＞1＝e0，∴x＞1，
∴1＜x＜2.当 x≥2 时，f(x)＞2 即为 log3(x2－1)＞2＝log332，
∴x2＞10，即 x＞ 10或 x＜－ 10，∴x＞ 10.
8.答案 ACD
解析 A 中，f(f(x))＝f
2 109
x ＝x(x≠0)恒成立，
所以 f(f(x))－x>0 不恒成立，A 正确；
B 中，因为 ex>x，所以 eex>ex>x，所以 f(f(x))＝eex>x 恒成立，B 错误；
C 中，f(f(x))＝x4＝x，此方程有 x＝0 或 x＝1 两个根，所以 f(f(x))－x>0 不恒成立，C 正确；
D 中，x＝0 时，f(f(x))＝x 成立，所以 f(f(x))－x>0 不恒成立，D 正确.
9.答案 (0，1]
解析 要使函数 f(x)有意义，
则
1＋1
x>0，
x≠0，
1－x2≥0
⇒
x<－1或x>0，
x≠0，
－1≤x≤1
⇒00，则|log2x|＝1
2，解得 x＝2
1
2或 x＝2－1
2.
故 x 的集合为
－1， 2， 2
2 .
13.答案 60 16
解析 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟，
所以 c
A＝15，①
所以必有 41，
∴f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，
因此 f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
5.答案 C
解析 f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.
当 x＝2 时，f(2)＝4.
由 f(x)＝－x2＋4x＝－5，得 x＝5 或 x＝－1.
∴要使 f(x)在[m，5]上的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
6.答案 B
解析 A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2].
7.答案 B
解析 对于 A，函数 y＝( x＋1)2 的定义域为{x|x≥－1}，与函数 y＝x＋1 的定义域不同，不是
相等函数；对于 B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于 C.函数 y＝x2
x ＋1 的
定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x＋1 的定义域 x∈R 不同，不是相等函数；对于D，定义域相同
，但对应法则不同，不是相等函数.
8.答案 A
解析 令 x5＝2，则 x＝2
1
5，∴f(2)＝lg 2
1
5＝1
5lg 2.
9.答案 C
解析 A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选
项 C 正确．
10.答案 AC
11.答案 [2，＋∞)
12.答案 x2－1(x≥0)
解析 令 t＝ x，则 t≥0，x＝t2，所以 f (t)＝t2－1(t≥0)，即 f (x)＝x2－1(x≥0)．
13.答案 1 0 或－1
解析 ∵f (0)＝1，∴f (f (0))＝f (1)＝1.当－x≤0 时，f (－x)＝－x＋1＝1，解得 x＝0；当－x>0 时，f (－x)＝
2－x－1＝1，解得 x＝－1.
14.答案 (－4，1]
解析 f(x)有意义，则
4－4x≥0，
x＋4>0， 解得－4
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